为何乘法比加法具有运算优先权？或者说加减乘除的本质是什么？
加减乘除的本质：从“计数”到“累积”再到“倍数”
我们可以把四则运算想象成一个逐步抽象和概括的过程：
加法： 最基础的运算，本质上是“合并”或“计数”。当你把一堆苹果和另一堆苹果合在一起数数量时，就是在做加法。它代表了数量的增加。
例如：3个苹果 + 2个苹果 = 5个苹果。这里是简单的集合合并。
减法： 加法的逆运算，本质上是“去掉”或“剩余”。从一个集合中拿走一部分，看还剩下多少。它代表了数量的减少。
例如：5个苹果 2个苹果 = 3个苹果。
乘法： 乘法可以看作是重复的加法，或者说是一种更高效的计数方式。当你需要计算“3个苹果，每个苹果有2个种子”时，你可以一个一个地数，或者说 2+2+2，或者直接用 3 x 2。乘法允许我们用更简洁的方式表达“多少个多少”。
例如：3 x 2 意味着“2 + 2 + 2”。这里的“3”告诉你重复了多少次，“2”是你每次重复加的量。
更进一步，乘法也代表了规模的扩大，或者说比例的缩放。比如，一个矩形的面积是“长乘以宽”，它代表了将一个单位面积在两个方向上拉伸了相应的倍数。
除法： 乘法的逆运算，本质上是“分组”或“分配”。当你有一堆东西，要平均分成几份，或看看一份里有多少时，就是在做除法。它代表了平均分配或测量倍数。
例如：6个苹果 ÷ 2人 = 每人3个苹果（平均分配）。
或者：6个苹果 ÷ 2个/袋 = 3袋（测量倍数，6个苹果是多少个2个苹果的集合）。
为什么乘法优先于加法？—— 抽象层级的差异与简洁性
这种运算优先级的设定，核心在于数学的简洁性和效率。数学家们设计运算规则，是为了让表达式能够清晰、无歧义地表达复杂的概念，并且计算起来最高效。
想象一下，如果没有任何运算优先级规则，我们看到 `3 + 2 4` 会怎么计算？
1. 可能的解释一（从左到右）： 先算 3 + 2 = 5，再算 5 4 = 20。
2. 可能的解释二（乘法优先）： 先算 2 4 = 8，再算 3 + 8 = 11。
显然，这会导致结果不唯一，数学表达式的意义就会变得模糊不清。为了避免这种混乱，数学家们约定了一套规则。
乘法为何优先于加法，可以从以下几个角度理解：
1. 乘法是对加法的“打包”与“压缩”：
前面提到，乘法 `a b` 本质上是 `b` 加上 `b`，重复 `a` 次。
当我们在表达式中遇到 `a + b c` 时，`b c` 本质上是一系列 `b` 的加法（`b + b + ... + b`，共 `c` 次）。
如果先计算加法 `a + b`，再乘以 `c`，就变成了 `(a + b) c = ac + bc`。这和 `a + bc` 的意思完全不同！
为了让 `a + b c` 这个形式明确地代表 “a 加上 b 重复c次”，而不是 “a和b的和，再重复c次”，就必须先执行乘法。乘法将“重复加法”这个概念“打包”起来，成为一个更基础、更概括的单元。
2. 代数结构与分布律的体现：
数学上的运算优先级是与代数结构紧密相关的。在实数域（以及更广泛的环、域结构）中，乘法对加法满足分配律：`a (b + c) = a b + a c`。
如果乘法不优先，比如我们计算 `a + b c` 时，如果先做了加法 `a+b`，然后再乘以 `c`，得到 `(a+b)c`。这与 `a + bc` 在大多数情况下是不同的。
而如果我们遵循乘法优先的规则，`a + b c` 就会被理解为 `a + (bc)`。这个结果更符合我们直觉上对“数量相加”和“规模放大”的区分。
举个例子：你有 3 元钱，然后你赚了 2 元，现在你又用你的钱（3+2=5元）去买了 4 倍的商品。这里是 `(3+2)4`。
但如果你说，你本来有 3 元，然后你又“赚了 2 元，这个赚是赚了 4 次”，那么总共就是 `3 + (24) = 3 + 8 = 11` 元。
运算优先级的规则，就是为了让表达式 `3 + 2 4` 明确地指向后者，而不是前者。
3. 历史的沉淀与约定俗成：
这种优先级的规定并非一夜之间形成，而是数学发展过程中，为了方便表达和计算而逐渐形成的约定。当数学符号系统建立起来后，一套明确的规则就变得至关重要，使得不同的人看到同一个表达式时，都能得到同样的结果。
算术表达式的“嵌套”与“层级”
我们可以将四则运算看作是将数字组合起来构建更复杂数值的过程。这个过程可以被看作是一种“嵌套”或“分层”：
最内层（或最优先）： 括号（它们强制改变运算顺序），然后是乘除。
外层（或后执行）： 加减。
当一个表达式中同时存在乘法和加法时，乘法就像是在为加法“构建”一个更基础的数值单元。
例如：`5 + 3 (4 2)`
1. 最内层括号： `4 2 = 2`
2. 表达式变为： `5 + 3 2`
3. 乘法优先： `3 2 = 6` (这代表“3，重复2次”这个概念，它先被计算为一个整体)
4. 表达式变为： `5 + 6`
5. 加法： `5 + 6 = 11`
这里的 `3 2` 先被计算，是因为它代表了一个“3的两个复制品”的概念，这个概念比“5加上这个概念”更基础，或者说，是“5”这个基础数，加上一个由“3”和“2”构成的“倍数”关系。
总结
乘法优先于加法，不是偶然，而是基于其“重复加法”的本质，以及数学体系对简洁性、无歧义性的追求。它反映了数学中不同运算抽象层次的差异。乘法将“累积”的过程进一步概括为“倍增”，当它与加法（“相加”）同时出现时，先执行乘法，是为了确保表达式准确无误地表达“基础数量加上某个倍数”的含义，而不是“基础数量与倍数相加后的总和的倍数”。这种规则是数学语言严谨性的基石。
网友意见
想了想，感觉说可以定义加减优先应该不太对，这个有点落入到语言文字游戏的嫌疑。
可能数学领域把乘法的优先级与加减进行区分是独立的事件，但是从我们目前的自然科学体系来说，乘法优先才能计算出正确的路径。
首先，乘法与加法不能就理解为我们熟悉的四则计算，这样一个带了很多隐藏假设条件的特殊场景。
目前，我们分析世界的基本方法是把复杂的宏观对象拆分成简单的微观单元对象，然后组合这些单元对象来描述宏观对象。这样就引申出三个问题：
微观单元怎么分以及如何标准化；
微观单元内的关系如何描述；
微观单元间的关系如何描述；
（有点像哲学三问我是谁，我从哪里来，我到哪里去）
这里的第二条微观单元内的关系，就对应的我们的乘法；第一条中的诸多假设条件，我们通常默认省略；第三条才是附注一些假设条件下的加法；从方法逻辑上，我们必须先清晰微观单元内的关系，再在第一条和第三条的假设环境中进行组合，最终得到结果。这一计算关系，在逻辑电路计算加法和乘法中可以看到。
上面是一种非常特殊的场景，我们可以再具体一些，尝试说说它的本质：我们研究世界的基本方法是用正交量框定一个满足一定条件的空间，然后这个空间可以进行无限细分，并继承上一级空间的所有属性（某种守恒对称关系）；细分空间因为继承了上一级空间的正交属性，所以可以用乘法描述两个对象之间的关系，完整的关系是（x，y，三角函数）描述；细分空间之间的关系可简单可复杂，加法是其中一个特殊例子，即连续线性关系。在这样的特殊条件下，我们才能先计算微观空间的关系，再应用线性关系进行加法计算得到结果。
所以个人理解乘法的重要性更大一些，于是我们看到绝大多数的基本公式都是用乘法关系描述，加法更多的是用于描述对称性。
从物理的角度讲，每一个量必须具有相同的量纲相加才有意义，而乘法没有此限制。
例如， 先做乘法是不需要对量纲有要求的，任何三个物理量放进式子是有意义的。而 则不同，相加的物理量必然量纲相同，否则无意义，那么括号可以强调 是同量纲的物理量。
括号本身必须存在在式子中，因为它强调哪些量要先被计算，而强制阔加法运算同时还强调他们可以先被计算。
注意，就算标注量纲，括号依然是必须的。以下式子表明，不管是哪种运算有优先级，物理式都可以是有意义的
因此还是需要括号来强调优先计算的运算。在加法乘法很多的长式子中，这时候加括号就能很大程度明白应该具有相同量纲的物理量有哪些，使得整个公式含义更清晰。
当然有人会说，就算是乘法优先级高，先做乘以后依然不一定保证量纲一致来保证加法是合法的。这个就和优先级没有关系了，因为随便一个只有加法的式子 都是同样会出现这种问题的。加括号并不能保证合法性，但是可以反应出你要检查合法性时需要首先关注的物理量在哪里。换句话说，在物理式有意义的情况下，乘法高优先级更能使得式子反应出各个物理量之间的关系。括号括起来的物理量一定是有相同意义的物理量。
从数学角度来讲，更加是这个道理，一个代数系统中所包含的运算之间一定有某种联系，否则这两个运算互相是独立的，我们完全可以把他们分离出来。最简单的联系就是分配律，一般若运算1可以分配运算2，则称运算1优先级高。（注意此时我们并未强调高优先级就要先做运算）
若把加法看作高优先级
分配律体现了被分配运算（低优先级）的线性性，即若把分配运算（高优先级）看作一个作用关系。那么分配律体现了运算（合）起来作用和作用了再运算（合）起来是一样的，这就是线性性。
这里的作用有两个方面，既可以认为是 在作用 也可以认为 在作用 。但是无论哪一种理解， 的地位都是相同的，即高级别的运算在对低级别做分配的时候是平权的，是无差别的。在式子的括号运用上，加了括号就表示一起作用，而不加括号就表示分开作用，和我们公式本身的意义是一致符合的。而若反过来，要理解成 作用（加） 再做运算（乘）等于 和 同时做一个运算再作用，体现得不够真切，也无法特别直观反应 地位相等。
当然，其实也有互相可以分配的运算，比如集合运算的交并运算。这时候由于互相可以分配，所以他们有更多对偶的性质，并且也认为他们是同一优先级的，即等地位的，所以这种情况无论谁先算都要先加括号，可以同时体现他们各自的性质。
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