粗糙圆弧轨道摩擦力做功怎么求?
好的，咱们来聊聊粗糙圆弧轨道上的摩擦力做功这事儿，我尽量把话说透彻，让你能明白其中的门道。
首先，得明确咱们讨论的是什么场景：有一个物体，它在一条弯曲的路径上滑动，这条路径是个圆弧，而且最关键的是，这条轨道表面可不是光滑的，它有粗糙的地方，这就意味着存在摩擦力。我们要算的，就是这个摩擦力在物体沿着这段圆弧滑动过程中，对物体做了多少功。
理解功和摩擦力是第一步
做功的根本概念是“力”作用在“位移”上，并且这个力要在位移的方向上有一个分量。公式是：$W = F cdot d cdot cos heta$。其中，$F$是力的大小，$d$是位移的大小，$ heta$是力和位移之间的夹角。
摩擦力，尤其是滑动摩擦力，它是阻碍相对运动的力。在我们的场景里，物体在圆弧轨道上滑动，摩擦力就一定与物体的运动方向相反。对于一个光滑的圆弧轨道，物体受到的力可能只有重力和支持力，如果从高处滑下，重力做功会转化为动能和势能。但有了粗糙的轨道，摩擦力就会“抢走”一部分能量。
摩擦力在圆弧轨道上的特点
摩擦力是个非常“配合”的力。它的大小总是等于“法向力”（也就是轨道对物体的垂直支持力）乘以一个“动摩擦因数”（通常用 $mu$ 表示）。关键在于，法向力在圆弧轨道上是不断变化的。
想想看，当你沿着圆弧轨道滑动时，重力是始终竖直向下的。但是，轨道对你的支持力（也就是法向力），它总是垂直于轨道表面，指向圆心方向（如果你是在轨道内侧滑动的话）。
在轨道的最低点： 此时重力大部分都被轨道支持力抵消了，支持力会是最大的。
在轨道的最高点（如果你是从最高点开始滑）： 此时重力大部分“帮助”了轨道支持力，支持力会相对较小，甚至在某些情况下可能为零（比如物体刚好要脱离轨道）。
在中间的任意一点： 支持力的大小是由重力在垂直方向上的分量和物体做圆周运动所需的向心力共同决定的。
用牛顿第二定律来分析一下在圆弧轨道上的受力：
假设物体质量为 $m$，轨道半径为 $R$。在轨道上某一点，物体与轨道之间的夹角为 $alpha$（从最低点开始算），那么在该点的速度为 $v$。
切向方向： 物体受到的重力分量是 $mgsinalpha$（如果从最低点算起，向上滑时这个力是向下的），还有切向的摩擦力。
径向方向（指向圆心）： 物体受到轨道支持力 $N$ 和重力在径向上的分量 $mgcosalpha$。这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即 $N mgcosalpha = frac{mv^2}{R}$ (如果物体在轨道内侧，且支持力也向内)。
从这个公式我们可以看出：$N = mgcosalpha + frac{mv^2}{R}$。
所以，在轨道上的摩擦力 $f = mu N = mu (mgcosalpha + frac{mv^2}{R})$。
计算摩擦力做功的方法
看到了吧？摩擦力 $f$ 的大小不是恒定的，它随着物体位置（ $alpha$）和速度（ $v$）的变化而变化。直接用 $W = f cdot d$ 这种简单公式是行不通的。我们需要用微元法来计算。
微元法讲解：
想象一下，我们把这段粗糙圆弧轨道分割成无数个非常非常小的、几乎可以看作直线段的微小位移，我们称之为 $ds$。
在每一个微小位移 $ds$ 上，我们可以近似地认为：
1. 轨道支持力 $N$ 是一个常数（因为 $ds$ 太小了）。
2. 摩擦力 $f = mu N$ 在这个微小位移上也近似是常数。
3. 摩擦力 $f$ 的方向总是与微小位移 $ds$ 的方向相反。
那么，在这一小段微小位移 $ds$ 上，摩擦力做的功 $dW$ 是多少呢？
因为摩擦力和位移方向相反，它们之间的夹角是 $180^circ$，$cos(180^circ) = 1$。
所以，$dW = f cdot ds cdot (1) = f cdot ds$。
如果我们把整个圆弧轨道从起点 $A$ 滑到终点 $B$，那么总的功 $W$ 就是所有这些微小功的累加，也就是一个积分：
$W = int_A^B dW = int_A^B (f cdot ds)$
这里的 $ds$ 是一个沿着轨道的微小弧长。
我们知道摩擦力 $f = mu N$。所以：
$W = int_A^B (mu N cdot ds)$
现在关键问题来了：怎么表示 $N$ 和 $ds$ 呢？
具体计算步骤（以常见的场景为例）：
假设物体从圆弧轨道的最高点（角度为 $ heta_1$）滑到另一个点（角度为 $ heta_2$），或者从一个角度滑到另一个角度。轨道是内弧，半径为 $R$。
1. 确定法向力 $N$ 的表达式：
在轨道上的任意一点，设物体与竖直方向（或者以圆心为参考系的某个角度）的夹角为 $phi$。
重力是 $mg$。
重力在垂直于轨道方向上的分量是 $mgcosphi$。
如果物体在轨道内侧滑动，它做圆周运动的向心力是 $N mgcosphi = frac{mv^2}{R}$（这里假设 $phi$ 是从最低点往上算的，如果从最高点往上算，符号可能要调整）。
所以，法向力 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
一个常见的简化情况： 如果我们只关心 重力势能转化为摩擦力，并且忽略物体运动过程中动能的变化（比如物体是被匀速拉着走的，但题目没说这样），那么可以这样想：
在轨道上任意一点，重力垂直于轨道的支持力分量是 $mgcosphi$ (以最低点为 $phi=0$ 的角度)。
物体在做圆周运动时，除了重力的支持作用外，还需要额外的向心力来维持其运动轨迹。这个向心力是由轨道提供的支持力提供的。
然而，通常我们考虑的“粗糙圆弧轨道”是指 物体自身在重力作用下沿着轨道滑动。在这种情况下，法向力是变化的，并且物体的速度也是变化的。
我们更方便的计算方法是：
对于一个微小弧长 $ds$，摩擦力做的功是 $dW = mu N ds$。
$N$ 是轨道在那个点给物体的支持力。
我们也可以用能量守恒来间接思考：$E_{start} = E_{end} + W_{friction}$，其中 $E$ 是机械能（动能+势能）。
但是，题目问的是摩擦力做的功，所以我们还是要直接计算。
我们知道，在做圆周运动的物体，如果力的方向和速度方向的夹角是 $90^circ$ 的分量（也就是我们说的法向力），它不改变物体的动能大小，只改变方向。
积分的关键在于如何表示 $N ds$：
考虑一个极小的角度变化 $dphi$。那么微小的弧长 $ds$ 可以表示为 $ds = R dphi$。
法向力 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
这里 $v^2$ 本身也是和 $phi$ 相关的。根据能量守恒，$ frac{1}{2}mv^2 = frac{1}{2}mv_0^2 mgR(1cosphi) $ (如果从最高点 $phi=0$ 开始下滑，设最高点速度为 $v_0$)，或者 $ frac{1}{2}mv^2 = frac{1}{2}mv_0^2 + mgR(cosphi cosphi_0) $ (设 $phi$ 是从某参考点算起)。
将这些代入积分会非常复杂。
换个思路，更容易理解的计算方法：
我们通常考虑的摩擦力做功，是它阻碍运动的部分。
在整个过程中，重力做的总功是可以计算的，$W_g = mg Delta h$，其中 $Delta h$ 是高度差。
根据能量守恒（或动能定理）：
$W_{net} = Delta K$ （合外力做的功等于动能的变化）
$W_g + W_N + W_f = Delta K$
其中 $W_g$ 是重力做的功，$W_N$ 是轨道支持力做的功，$W_f$ 是摩擦力做的功。
轨道支持力 $N$ 总是垂直于物体的瞬时位移方向，所以轨道支持力做的功永远是零。
所以，$W_g + W_f = Delta K$。
如果你知道物体的初始速度 $v_i$ 和末速度 $v_f$，以及起止点的高度差 $Delta h$，那么：
$mgDelta h + W_f = frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2$
$W_f = (frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2) mgDelta h$
这个公式可以直接计算出摩擦力做的功，前提是你知道了初始速度、末速度和高度差。
但如果题目就是要求你根据轨道和摩擦因数直接算摩擦力做的功呢？那我们还是得回到积分。
为了简化积分，我们通常会把微元位移 $ds$ 和受力进行分解。
想象在轨道上取一个微小的弧段 $ds$。
重力 $mg$
支持力 $N$ (垂直于 $ds$)
摩擦力 $f = mu N$ (沿切线方向，与运动方向相反)
微小位移 $ds$ 也是沿着切线方向的。
摩擦力做的功是 $dW = f ds = mu N ds$。
关键在于如何计算 $int N ds$：
在径向方向上，合力提供向心力：$N mgcosphi = frac{mv^2}{R}$ (假设 $phi$ 从最低点开始算，物体向右上滑)。
所以 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
我们要计算的是 $int_A^B mu (mgcosphi + frac{mv^2}{R}) ds$。
其中 $ds = R dphi$。
代入 $v^2$ 也会很复杂。
一个更精妙的拆解：
考虑一个微小弧段 $ds$。
重力 $mg$ 可以分解为沿切线方向的 $mgsinphi$ 和垂直于切线方向的 $mgcosphi$。
摩擦力 $f = mu N$ 是沿切线方向的。
支持力 $N$ 是垂直于切线方向的。
摩擦力做的功，本质上是摩擦力 $f$ 和它作用的位移 $ds$ 的乘积（考虑方向）。
在某个点，法向力是 $N$。我们知道 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
这里的 $mgcosphi$ 是重力垂直于轨道的那个分量。而 $frac{mv^2}{R}$ 是物体做圆周运动所需的向心力，这个力是由轨道支持力提供的。
重点来了：
如果轨道是粗糙的，摩擦力是 $f=mu N$。
我们计算的是 $W_f = int (mu N) ds$。
一个可以简化计算的技巧：
在计算 $int N ds$ 的时候，我们有没有办法避免直接计算 $v$ 的复杂关系？
考虑 动量矩 或者 角动量 的变化，有时候能简化问题，但在这里似乎没有直接帮助。
我们回到能量的角度：
$W_f = Delta K W_g$
$W_g = mg Delta h$
所以，摩擦力做的功等于 动能的变化量 减去 重力做的功。
这说明摩擦力做的功与物体最终的动能（或速度）和重力势能的变化是直接相关的。
如果你必须从力和位移的角度计算，那么：
$W_f = int mu N ds$
为了避免计算 $v$，我们可以尝试利用 切向动力学：
切向合力 $F_{tangent} = mgsinphi f = m a_{tangent}$ (如果 $phi$ 是从最低点算起，向上滑，重力切向分量向上)
$F_{tangent} = mgsinphi mu N = m frac{dv}{dt}$
这里 $ds = v dt$，所以 $dt = ds/v$。
$m frac{dv}{ds} v = mgsinphi mu N$
$m v frac{dv}{ds} = mgsinphi mu (mgcosphi + frac{mv^2}{R})$
$v frac{dv}{ds} = gsinphi mu gcosphi mu frac{v^2}{R}$
这个微分方程本身非常难以求解，特别是当 $phi$ 和 $v$ 都依赖于轨道位置时。
最直接也最常用于求解这类问题的，仍然是能量法。
但如果一定要从 $W_f = int mu N ds$ 出发，并且假设我们已经知道 物体在轨道上任意位置的速度 $v$ 和轨道支持力 $N$ （这通常是能量守恒或者动力学分析的结果），那么就可以进行积分了。
举个例子（假设已知）：
假设物体从最高点（角 $ heta=pi$）滑到最低点（角 $ heta=0$），轨道半径为 $R$。
在任意角度 $ heta$（从最低点算起 $ heta=0$），物体的速度为 $v( heta)$，支持力为 $N( heta)$。
微小弧长 $ds = R d heta$。
摩擦力 $f( heta) = mu N( heta)$。
摩擦力做的功 $dW = f( heta) ds = mu N( heta) R d heta$。
总功 $W_f = int_{pi}^{0} mu N( heta) R d heta = mu R int_{0}^{pi} N( heta) d heta$。
其中 $N( heta) = mgcos heta + frac{mv( heta)^2}{R}$ （这里假设 $ heta$ 从最低点算起，且物体在内侧轨道）。
代入后变成 $W_f = mu R int_{0}^{pi} (mgcos heta + frac{mv( heta)^2}{R}) d heta$。
$W_f = mu R mg int_{0}^{pi} cos heta d heta + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$。
$W_f = mu R mg [sin heta]_0^pi + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$
$W_f = 0 + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$。
这个结果表明，摩擦力做的功与速度的平方的积分有关。
总结一下如何“求”：
1. 理解概念： 摩擦力做功是负功，它消耗机械能。摩擦力大小 $f = mu N$，其中 $N$ 是法向力，随位置和速度变化。
2. 找到法向力 $N$： 通过受力分析和牛顿第二定律，在轨道上任意一点，确定 $N$ 与物体位置（角度 $phi$）和速度 $v$ 的关系。通常 $N$ 包含 $mgcosphi$ 和 $frac{mv^2}{R}$ 两部分。
3. 找到速度 $v$ 的变化规律： 这通常需要结合能量守恒或动能定理，将 $v$ 表示成位置（角度 $phi$）的函数。例如，$v^2$ 可能与 $1cosphi$ 成正比。
4. 选择积分变量： 通常选择角度 $phi$ 作为积分变量，将微小弧长 $ds$ 表示成 $R dphi$。
5. 建立积分式： $W_f = int_{phi_1}^{phi_2} mu N(phi) R dphi$。将 $N(phi)$ 和 $v^2(phi)$ 的表达式代入。
6. 计算积分： 将整个表达式化简并进行积分计算。
重要提示：
很多时候，直接用能量守恒来求摩擦力做的功会更方便快捷，前提是你知道物体的始末速度和高度差。
如果题目硬性要求从力和位移角度出发，那么微元积分是必然的选择。核心在于准确表达出法向力 $N$ 以及微小位移 $ds$（通常用角度表示）的关系。
其实，如果你仔细观察，会发现 $int N ds$ 的计算往往会涉及到物体在轨道上运动时动能的变化和重力势能的变化。所以说到底，这些方法都是相互关联的。最重要的是理解摩擦力是如何影响物体能量的。
希望我这么详细的解释，能够让你对粗糙圆弧轨道上的摩擦力做功有了一个清晰的认识。如果还有不清楚的地方，随时可以再问！
首先，得明确咱们讨论的是什么场景：有一个物体，它在一条弯曲的路径上滑动，这条路径是个圆弧，而且最关键的是，这条轨道表面可不是光滑的，它有粗糙的地方，这就意味着存在摩擦力。我们要算的，就是这个摩擦力在物体沿着这段圆弧滑动过程中，对物体做了多少功。
理解功和摩擦力是第一步
做功的根本概念是“力”作用在“位移”上，并且这个力要在位移的方向上有一个分量。公式是：$W = F cdot d cdot cos heta$。其中，$F$是力的大小，$d$是位移的大小，$ heta$是力和位移之间的夹角。
摩擦力，尤其是滑动摩擦力，它是阻碍相对运动的力。在我们的场景里，物体在圆弧轨道上滑动，摩擦力就一定与物体的运动方向相反。对于一个光滑的圆弧轨道，物体受到的力可能只有重力和支持力，如果从高处滑下，重力做功会转化为动能和势能。但有了粗糙的轨道，摩擦力就会“抢走”一部分能量。
摩擦力在圆弧轨道上的特点
摩擦力是个非常“配合”的力。它的大小总是等于“法向力”（也就是轨道对物体的垂直支持力）乘以一个“动摩擦因数”（通常用 $mu$ 表示）。关键在于，法向力在圆弧轨道上是不断变化的。
想想看，当你沿着圆弧轨道滑动时，重力是始终竖直向下的。但是，轨道对你的支持力（也就是法向力），它总是垂直于轨道表面，指向圆心方向（如果你是在轨道内侧滑动的话）。
在轨道的最低点： 此时重力大部分都被轨道支持力抵消了，支持力会是最大的。
在轨道的最高点（如果你是从最高点开始滑）： 此时重力大部分“帮助”了轨道支持力，支持力会相对较小，甚至在某些情况下可能为零（比如物体刚好要脱离轨道）。
在中间的任意一点： 支持力的大小是由重力在垂直方向上的分量和物体做圆周运动所需的向心力共同决定的。
用牛顿第二定律来分析一下在圆弧轨道上的受力：
假设物体质量为 $m$，轨道半径为 $R$。在轨道上某一点，物体与轨道之间的夹角为 $alpha$（从最低点开始算），那么在该点的速度为 $v$。
切向方向： 物体受到的重力分量是 $mgsinalpha$（如果从最低点算起，向上滑时这个力是向下的），还有切向的摩擦力。
径向方向（指向圆心）： 物体受到轨道支持力 $N$ 和重力在径向上的分量 $mgcosalpha$。这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即 $N mgcosalpha = frac{mv^2}{R}$ (如果物体在轨道内侧，且支持力也向内)。
从这个公式我们可以看出：$N = mgcosalpha + frac{mv^2}{R}$。
所以，在轨道上的摩擦力 $f = mu N = mu (mgcosalpha + frac{mv^2}{R})$。
计算摩擦力做功的方法
看到了吧？摩擦力 $f$ 的大小不是恒定的，它随着物体位置（ $alpha$）和速度（ $v$）的变化而变化。直接用 $W = f cdot d$ 这种简单公式是行不通的。我们需要用微元法来计算。
微元法讲解：
想象一下，我们把这段粗糙圆弧轨道分割成无数个非常非常小的、几乎可以看作直线段的微小位移，我们称之为 $ds$。
在每一个微小位移 $ds$ 上，我们可以近似地认为：
1. 轨道支持力 $N$ 是一个常数（因为 $ds$ 太小了）。
2. 摩擦力 $f = mu N$ 在这个微小位移上也近似是常数。
3. 摩擦力 $f$ 的方向总是与微小位移 $ds$ 的方向相反。
那么，在这一小段微小位移 $ds$ 上，摩擦力做的功 $dW$ 是多少呢？
因为摩擦力和位移方向相反，它们之间的夹角是 $180^circ$，$cos(180^circ) = 1$。
所以，$dW = f cdot ds cdot (1) = f cdot ds$。
如果我们把整个圆弧轨道从起点 $A$ 滑到终点 $B$，那么总的功 $W$ 就是所有这些微小功的累加，也就是一个积分：
$W = int_A^B dW = int_A^B (f cdot ds)$
这里的 $ds$ 是一个沿着轨道的微小弧长。
我们知道摩擦力 $f = mu N$。所以：
$W = int_A^B (mu N cdot ds)$
现在关键问题来了：怎么表示 $N$ 和 $ds$ 呢？
具体计算步骤（以常见的场景为例）：
假设物体从圆弧轨道的最高点（角度为 $ heta_1$）滑到另一个点（角度为 $ heta_2$），或者从一个角度滑到另一个角度。轨道是内弧，半径为 $R$。
1. 确定法向力 $N$ 的表达式：
在轨道上的任意一点，设物体与竖直方向（或者以圆心为参考系的某个角度）的夹角为 $phi$。
重力是 $mg$。
重力在垂直于轨道方向上的分量是 $mgcosphi$。
如果物体在轨道内侧滑动，它做圆周运动的向心力是 $N mgcosphi = frac{mv^2}{R}$（这里假设 $phi$ 是从最低点往上算的，如果从最高点往上算，符号可能要调整）。
所以，法向力 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
一个常见的简化情况： 如果我们只关心 重力势能转化为摩擦力，并且忽略物体运动过程中动能的变化（比如物体是被匀速拉着走的，但题目没说这样），那么可以这样想：
在轨道上任意一点，重力垂直于轨道的支持力分量是 $mgcosphi$ (以最低点为 $phi=0$ 的角度)。
物体在做圆周运动时，除了重力的支持作用外，还需要额外的向心力来维持其运动轨迹。这个向心力是由轨道提供的支持力提供的。
然而，通常我们考虑的“粗糙圆弧轨道”是指 物体自身在重力作用下沿着轨道滑动。在这种情况下，法向力是变化的，并且物体的速度也是变化的。
我们更方便的计算方法是：
对于一个微小弧长 $ds$，摩擦力做的功是 $dW = mu N ds$。
$N$ 是轨道在那个点给物体的支持力。
我们也可以用能量守恒来间接思考：$E_{start} = E_{end} + W_{friction}$，其中 $E$ 是机械能（动能+势能）。
但是，题目问的是摩擦力做的功，所以我们还是要直接计算。
我们知道，在做圆周运动的物体，如果力的方向和速度方向的夹角是 $90^circ$ 的分量（也就是我们说的法向力），它不改变物体的动能大小，只改变方向。
积分的关键在于如何表示 $N ds$：
考虑一个极小的角度变化 $dphi$。那么微小的弧长 $ds$ 可以表示为 $ds = R dphi$。
法向力 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
这里 $v^2$ 本身也是和 $phi$ 相关的。根据能量守恒，$ frac{1}{2}mv^2 = frac{1}{2}mv_0^2 mgR(1cosphi) $ (如果从最高点 $phi=0$ 开始下滑，设最高点速度为 $v_0$)，或者 $ frac{1}{2}mv^2 = frac{1}{2}mv_0^2 + mgR(cosphi cosphi_0) $ (设 $phi$ 是从某参考点算起)。
将这些代入积分会非常复杂。
换个思路，更容易理解的计算方法：
我们通常考虑的摩擦力做功，是它阻碍运动的部分。
在整个过程中，重力做的总功是可以计算的，$W_g = mg Delta h$，其中 $Delta h$ 是高度差。
根据能量守恒（或动能定理）：
$W_{net} = Delta K$ （合外力做的功等于动能的变化）
$W_g + W_N + W_f = Delta K$
其中 $W_g$ 是重力做的功，$W_N$ 是轨道支持力做的功，$W_f$ 是摩擦力做的功。
轨道支持力 $N$ 总是垂直于物体的瞬时位移方向，所以轨道支持力做的功永远是零。
所以，$W_g + W_f = Delta K$。
如果你知道物体的初始速度 $v_i$ 和末速度 $v_f$，以及起止点的高度差 $Delta h$，那么：
$mgDelta h + W_f = frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2$
$W_f = (frac{1}{2}mv_f^2 frac{1}{2}mv_i^2) mgDelta h$
这个公式可以直接计算出摩擦力做的功，前提是你知道了初始速度、末速度和高度差。
但如果题目就是要求你根据轨道和摩擦因数直接算摩擦力做的功呢？那我们还是得回到积分。
为了简化积分，我们通常会把微元位移 $ds$ 和受力进行分解。
想象在轨道上取一个微小的弧段 $ds$。
重力 $mg$
支持力 $N$ (垂直于 $ds$)
摩擦力 $f = mu N$ (沿切线方向，与运动方向相反)
微小位移 $ds$ 也是沿着切线方向的。
摩擦力做的功是 $dW = f ds = mu N ds$。
关键在于如何计算 $int N ds$：
在径向方向上，合力提供向心力：$N mgcosphi = frac{mv^2}{R}$ (假设 $phi$ 从最低点开始算，物体向右上滑)。
所以 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
我们要计算的是 $int_A^B mu (mgcosphi + frac{mv^2}{R}) ds$。
其中 $ds = R dphi$。
代入 $v^2$ 也会很复杂。
一个更精妙的拆解：
考虑一个微小弧段 $ds$。
重力 $mg$ 可以分解为沿切线方向的 $mgsinphi$ 和垂直于切线方向的 $mgcosphi$。
摩擦力 $f = mu N$ 是沿切线方向的。
支持力 $N$ 是垂直于切线方向的。
摩擦力做的功，本质上是摩擦力 $f$ 和它作用的位移 $ds$ 的乘积（考虑方向）。
在某个点，法向力是 $N$。我们知道 $N = mgcosphi + frac{mv^2}{R}$。
这里的 $mgcosphi$ 是重力垂直于轨道的那个分量。而 $frac{mv^2}{R}$ 是物体做圆周运动所需的向心力，这个力是由轨道支持力提供的。
重点来了：
如果轨道是粗糙的，摩擦力是 $f=mu N$。
我们计算的是 $W_f = int (mu N) ds$。
一个可以简化计算的技巧：
在计算 $int N ds$ 的时候，我们有没有办法避免直接计算 $v$ 的复杂关系？
考虑 动量矩 或者 角动量 的变化，有时候能简化问题，但在这里似乎没有直接帮助。
我们回到能量的角度：
$W_f = Delta K W_g$
$W_g = mg Delta h$
所以，摩擦力做的功等于 动能的变化量 减去 重力做的功。
这说明摩擦力做的功与物体最终的动能（或速度）和重力势能的变化是直接相关的。
如果你必须从力和位移的角度计算，那么：
$W_f = int mu N ds$
为了避免计算 $v$，我们可以尝试利用 切向动力学：
切向合力 $F_{tangent} = mgsinphi f = m a_{tangent}$ (如果 $phi$ 是从最低点算起，向上滑，重力切向分量向上)
$F_{tangent} = mgsinphi mu N = m frac{dv}{dt}$
这里 $ds = v dt$，所以 $dt = ds/v$。
$m frac{dv}{ds} v = mgsinphi mu N$
$m v frac{dv}{ds} = mgsinphi mu (mgcosphi + frac{mv^2}{R})$
$v frac{dv}{ds} = gsinphi mu gcosphi mu frac{v^2}{R}$
这个微分方程本身非常难以求解，特别是当 $phi$ 和 $v$ 都依赖于轨道位置时。
最直接也最常用于求解这类问题的，仍然是能量法。
但如果一定要从 $W_f = int mu N ds$ 出发，并且假设我们已经知道 物体在轨道上任意位置的速度 $v$ 和轨道支持力 $N$ （这通常是能量守恒或者动力学分析的结果），那么就可以进行积分了。
举个例子（假设已知）：
假设物体从最高点（角 $ heta=pi$）滑到最低点（角 $ heta=0$），轨道半径为 $R$。
在任意角度 $ heta$（从最低点算起 $ heta=0$），物体的速度为 $v( heta)$，支持力为 $N( heta)$。
微小弧长 $ds = R d heta$。
摩擦力 $f( heta) = mu N( heta)$。
摩擦力做的功 $dW = f( heta) ds = mu N( heta) R d heta$。
总功 $W_f = int_{pi}^{0} mu N( heta) R d heta = mu R int_{0}^{pi} N( heta) d heta$。
其中 $N( heta) = mgcos heta + frac{mv( heta)^2}{R}$ （这里假设 $ heta$ 从最低点算起，且物体在内侧轨道）。
代入后变成 $W_f = mu R int_{0}^{pi} (mgcos heta + frac{mv( heta)^2}{R}) d heta$。
$W_f = mu R mg int_{0}^{pi} cos heta d heta + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$。
$W_f = mu R mg [sin heta]_0^pi + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$
$W_f = 0 + mu m int_{0}^{pi} v( heta)^2 d heta$。
这个结果表明，摩擦力做的功与速度的平方的积分有关。
总结一下如何“求”：
1. 理解概念： 摩擦力做功是负功，它消耗机械能。摩擦力大小 $f = mu N$，其中 $N$ 是法向力，随位置和速度变化。
2. 找到法向力 $N$： 通过受力分析和牛顿第二定律，在轨道上任意一点，确定 $N$ 与物体位置（角度 $phi$）和速度 $v$ 的关系。通常 $N$ 包含 $mgcosphi$ 和 $frac{mv^2}{R}$ 两部分。
3. 找到速度 $v$ 的变化规律： 这通常需要结合能量守恒或动能定理，将 $v$ 表示成位置（角度 $phi$）的函数。例如，$v^2$ 可能与 $1cosphi$ 成正比。
4. 选择积分变量： 通常选择角度 $phi$ 作为积分变量，将微小弧长 $ds$ 表示成 $R dphi$。
5. 建立积分式： $W_f = int_{phi_1}^{phi_2} mu N(phi) R dphi$。将 $N(phi)$ 和 $v^2(phi)$ 的表达式代入。
6. 计算积分： 将整个表达式化简并进行积分计算。
重要提示：
很多时候，直接用能量守恒来求摩擦力做的功会更方便快捷，前提是你知道物体的始末速度和高度差。
如果题目硬性要求从力和位移角度出发，那么微元积分是必然的选择。核心在于准确表达出法向力 $N$ 以及微小位移 $ds$（通常用角度表示）的关系。
其实，如果你仔细观察，会发现 $int N ds$ 的计算往往会涉及到物体在轨道上运动时动能的变化和重力势能的变化。所以说到底，这些方法都是相互关联的。最重要的是理解摩擦力是如何影响物体能量的。
希望我这么详细的解释，能够让你对粗糙圆弧轨道上的摩擦力做功有了一个清晰的认识。如果还有不清楚的地方，随时可以再问！
网友意见
设「滑块和圆周运动圆心的连线」与「水平方向」的夹角为 ，记初始位置 ，则该段圆弧的圆心角可表示为 。由能量守恒，
其中 。化简可得
左边可凑微分 ，进而地，
通过 并代入 可得到 处速度平方为
由条件，
联立 可得到一个关于 的方程组，但其根将不再具有初等表达。
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