在一个现实中的数轴上可以找出无理数吗？

当然可以。数轴，顾名思义，就是用来表示实数的“轴”。而实数，大家知道，包含了两种大类：有理数和无理数。所以，既然数轴是实数的家，那无理数自然也是住在里面的。

不过，如果想要“找出”无理数，就得好好聊聊这个“找出”是怎么个意思了。

为什么说无理数“长在”数轴上？

我们先来看看数轴是怎么构建出来的。最开始，我们可能只有一个原点（代表0），然后向右画一条射线代表正方向，向左画一条射线代表负方向。接着，我们在正方向上取一个单位长度的点，把它标记为1。有了0和1，我们就能确定所有的整数点：在1的右边等距的点是2，3，4……在0的左边等距的点是1，2，3……

然后，我们开始填补整数之间的空隙。怎么填？通过“分”。比如，把0和1之间的单位长度分成两段，每段是1/2，我们就找到了1/2这个点。分成三段，找到1/3、2/3……如此下去，通过不断地将单位长度“n等分”（n是任意正整数），我们就能找到所有的分数，也就是所有的有理数。

到这里，数轴上看起来已经很热闹了，满了整数和分数。但是，还有一个“问题”存在：我们用几何的方法去构造一些非常“自然”的长度，但这些长度用分数却表示不出来。

举个最经典的例子：一个边长为1的正方形，它的对角线长度是多少？根据勾股定理，是 $sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$。

那么，我们怎么在数轴上找到代表 $sqrt{2}$ 的那个点呢？

很简单，我们可以利用尺规作图。在一个已知点（比如原点0）处，画一条与数轴垂直的射线。在这条射线上的某个点，我们标记为1（这个点距离原点距离为1）。然后，以原点0为圆心，以这个标记为1的点到原点0的距离为半径画一个圆。这个圆会和这条垂直射线相交于一个点。这个交点到原点0的距离，就是1。

现在，我们稍微改一下。在数轴上的点0处，画一条垂直于数轴的线段，长度是1。然后，以原点0为圆心，以这个“长度为1”的线段的终点（这个点不在数轴上）为半径画一个圆。这个圆会和数轴相交于两个点。其中一个点，它到原点0的距离，正好就是 $sqrt{2}$。这就是我们如何在数轴上“找出” $sqrt{2}$ 的方法。

你可能要问，$sqrt{2}$ 是无理数，怎么就这么“轻易”地找到了？这里所谓的“找”或者“找出”，是指在数轴上的一个具体位置。我们通过几何方法构造出这个长度，然后把这个长度沿着数轴的某个方向量过去，就能找到它在数轴上的对应点。

无理数不止一个，而且“无处不在”

更进一步说，不仅仅是 $sqrt{2}$，像 $sqrt{3}$、$sqrt{5}$，包括圆周率 $pi$、自然对数的底数 $e$ 等等，我们都可以通过不同的几何构造或者数学定义，在数轴上找到它们对应的点。

而且，无理数并不仅仅是零星散布在数轴上的几个点。事实上，无理数在数轴上的“密度”非常大，甚至比有理数还要“多”。我们可以这样理解：在任意两个不同的有理数之间，都存在无穷多个无理数；反过来，在任意两个不同的无理数之间，也存在无穷多个有理数（当然，也存在无穷多个无理数）。这种性质叫做“稠密性”。

所以，在一个现实中的数轴上，我们不仅可以找出无理数，可以说，无理数和有理数一起，“铺满”了整个数轴，共同构成了我们所说的“实数”的集合。我们所谓的“找出”，更多的是指通过某种可操作的几何或代数方法，确定它在数轴上的具体位置。

所以，答案是肯定的，而且不仅可以找，它们本身就是数轴不可分割的一部分。

当然不能。理由太多了：

1、你所谓的“最小长度单位”只能表示有理数（这是定义），而无理数是不可通约量（incommensurable quantities），意思就是不能用所谓的“最小长度单位”来表示（这也是定义）。

这是人类数学发展的历史决定的。人类先是自然而然地发现了整数，又自然而然地把整数加减乘除，早期学者就自信地认为所有长度都可表示为整数的加减乘除，但很遗憾，边长为1的等腰直角三角形的斜边就造成了尴尬，放不到之前的理论中。

所以为了解决尴尬，之前搞得明白的那种可写成整数比的数统一叫有理数，搞不明白的那种不能写成整数比的一股脑儿就叫无理数，就是那么简单粗暴，宛如把明白的东西都整整齐齐摆到的桌面上，不明白的就一团塞进一个大麻袋，摆在桌上的就一定不在麻袋里，有理数里也一定没有无理数。

2、即使每个有理数之间都可以挨得无限近，看起来非常稠密（dense），但有理数在直线上的分布依旧是离散的（dispersed），也就是说，有理数不能覆盖整条数轴。

甚至可以说，在数轴上随机取一个点取到有理数的概率为0（测度论思想）。

显然，有理数的数量远远远小于无理数，有理数的势（cardinality）比无理数小（集合论思想）。

3、现实中不存在数轴，数学只是一种人类头脑中的思想游戏，它的玩法就是演绎逻辑，演绎逻辑意味着绝对的规则性。

这就好像你要下某种棋，你就必须遵守这种棋的规则，除非你能发明一个更具有游玩性的新规则，不然你就乖乖遵守传统。

要玩好数学这个游戏，你必须打心底里理解每一个概念的内涵和外延，别人问你一个数学名词，你必须要明确地说得上至少一种定义，然后你才有资格参与这场游戏。如果连基本的定义都没学过就想玩数学，无异于连刹车油门是哪个脚都不知道就开车上路。

现在知乎上越来越多横冲直撞的数学月经题，诸如“0.999……为什么等于1”，“0.99……98是不是无理数”这样的车轱辘问题颠来倒去地问（题主的问题也类似如此），这些问题的本质其实就是基础概念不清造成的。

但凡把十分之一闭门造车的时间花在耐心阅读一些数学的基础教材上，都不至于产生这样的局面。

当然，越来越多的人去主动思考这些义务教育以外的问题，是非常好的一个开端。

警告：没理解本文数学知识、只看图片的小朋友，会获得“日常困惑于简单数学问题”的诅咒buff噢～

在一个现实中的数轴上可以找出无理数吗？

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