神经网络中 warmup 策略为什么有效；有什么理论解释么？

神经网络中的Warmup策略之所以有效，并且有相应的理论解释，主要是为了解决在训练初期，模型参数变化剧烈，导致训练不稳定甚至发散的问题。下面我们来详细阐述其有效性、理论解释以及一些相关的细节。

Warmup策略为什么有效？

Warmup策略的核心思想是：在训练初期，逐渐增加学习率，而不是一开始就使用一个较大的学习率。这样做的好处主要体现在以下几个方面：

1. 避免训练初期梯度爆炸或过大：
在神经网络的训练过程中，尤其是在训练的早期阶段，模型的权重通常是随机初始化的。这时，激活函数的输出和其梯度可能都非常大（例如，在ReLU激活函数中，如果输入很大，梯度就很大；或者在一些深度网络中，经过多层非线性变换后，梯度可能会被放大）。
如果一开始就使用一个较大的学习率，那么这些巨大的梯度会乘以较大的学习率，导致参数更新的幅度非常大。这可能使得模型在极短的时间内就跳过最优解，或者在损失曲面上剧烈震荡，无法收敛。
Warmup策略通过从小到大的学习率，使得模型有足够的时间“适应”当前的参数空间，让梯度逐渐变得温和，从而避免了剧烈的参数更新。

2. 帮助模型找到一个更好的局部最优解：
一个过大的学习率可能会让模型“粗暴地”跳过一些平坦区域或者浅层的局部最小值，直接“冲向”某些区域。这可能导致模型最终收敛到一个相对较差的局部最优解，或者在训练过程中卡在鞍点附近。
Warmup策略允许模型在学习率较低时，进行更精细的搜索。这有助于模型在损失曲面上进行更平滑的移动，更容易“找到”并落入到一个更深、更优的局部最小值。它提供了一个“探索”模型参数空间的机会，而不是一开始就“开发”它。

3. 稳定批归一化（Batch Normalization, BN）等正则化层的行为：
像Batch Normalization这样的层，在训练初期对批次的统计信息（均值和方差）的估计可能非常不稳定，因为模型尚未学习到有意义的特征。
如果训练初期学习率很大，这些不稳定的统计信息会直接影响到模型后续层的计算，进一步加剧了训练的不稳定性。
Warmup策略通过缓慢增加学习率，使得模型能够有更多的时间来学习有效的特征，从而为BN层提供更稳定和有意义的批次统计信息，提升BN层的效果。

4. 与更复杂的优化器（如Adam, RMSprop）的结合：
像Adam这样的自适应学习率优化器，在内部维护了梯度的二阶矩估计（例如，`v`参数）。在训练初期，这些估计值可能不稳定且不准确。
如果一开始就使用Adam等优化器，并且学习率设置得很大，那么这些不准确的二阶矩估计可能会放大不稳定的梯度，导致训练过程更加混乱。
Warmup策略可以看作是与这些自适应优化器配合的一种“预热”机制。在Warmup阶段，学习率逐渐增大，为Adam等优化器提供了相对稳定的梯度信息，使其能够更准确地估计二阶矩，从而在Warmup结束后，优化器能够更有效地工作。

理论解释

从理论上讲，Warmup策略的有效性可以从以下几个角度进行解释：

1. 损失曲面的几何形状与梯度行为：
在高维非凸神经网络损失曲面上，存在大量的局部最小值、鞍点和巨大的平坦区域。
在训练初期，由于随机初始化的权重，模型的参数可能位于一个“不熟悉”的区域。在这个区域，梯度可能非常大，并且方向变化剧烈。
从微积分的角度来看，学习率可以被视为一个步长。一个过大的步长会使得模型在梯度下降时，很容易错过局部最小值，或者在平坦区域快速移动而无法捕捉到细微的曲率变化。
类比：想象一下在一个崎岖的山区行走，如果一开始就让你迈出非常大的步伐，你很可能会摔倒或者无法在狭窄的山路上稳定前行。但是，如果你先用小步子适应地形，再逐渐加大步幅，就会更容易到达山顶。
Warmup策略就像是为模型提供了一个“安全模式”的初期探索，允许模型以较小的步长在损失曲面上进行试探，以避免因过大的梯度而导致的不稳定性。

2. 二阶信息（Hessian矩阵）的隐式处理：
虽然我们通常使用一阶梯度下降法（如SGD），但理解二阶信息有助于解释Warmup的有效性。
在损失曲面的某些区域（如曲率很大或接近鞍点），二阶信息（Hessian矩阵）在决定最优更新方向和步长方面起着关键作用。
自适应学习率方法（如Adam）通过估计梯度的二阶矩来近似Hessian矩阵的逆。在训练初期，这些估计可能非常不稳定。
理论联系：牛顿法是一种二阶优化方法，其更新步长与Hessian矩阵的逆成正比。`step = H^{1} gradient`。如果H的特征值很大，步长就会变小，反之亦然。
Warmup策略可以看作是一种对二阶信息的近似处理。通过在初期用较小的学习率，模型对梯度的响应更加“温和”，这类似于在曲率非常大的区域（Hessian矩阵的特征值很大）采取小的步长，从而避免了参数的剧烈更新。随着训练的进行，学习率逐渐增大，模型可以开始利用更平坦区域的梯度信息，并在后期逐渐增加步长。

3. 信息传播与特征学习的累积效应：
深度神经网络的学习是一个逐步累积信息和特征的过程。每一层都在前一层的输出基础上进行学习。
在训练初期，较低的层可能还没有学会到任何有用的特征，其输出的分布可能非常接近随机。
如果较大的学习率被应用于一个尚未学到有意义特征的网络，那么这些“无意义”的特征的梯度也会被放大，并传播到整个网络，扰乱了整个训练过程。
Warmup策略确保了在学习率增加之前，模型有足够的时间进行信息传播和初步的特征学习。低学习率使得参数更新更加缓慢和稳定，允许信息在网络中逐步传递和稳定下来，从而为后续的学习打下良好的基础。

4. 正则化效应的关联：
虽然Warmup本身不是一种显式的正则化技术（如L1, L2, Dropout），但它具有一定的隐式正则化效应。
在一个更大的学习率下，模型可能更容易过拟合到训练数据中的噪声。
Warmup策略通过在初期使用较小的学习率，限制了参数更新的幅度，这在某种程度上可以被看作是一种约束模型的复杂度的手段，有助于防止模型在早期阶段就过度拟合。

详细的理论解释举例（以Adam优化器为例）

Adam优化器通过维护两个动量项来更新参数：

m_t: 一阶动量，即梯度的指数加权平均。`m_t = beta1 m_{t1} + (1 beta1) g_t`
v_t: 二阶动量，即梯度平方的指数加权平均。`v_t = beta2 v_{t1} + (1 beta2) g_t^2`

Adam的参数更新公式（简化版）为：
`theta_t = theta_{t1} alpha m_hat_t / (sqrt(v_hat_t) + epsilon)`

其中 `alpha` 是基础学习率，`m_hat_t` 和 `v_hat_t` 是对 `m_t` 和 `v_t` 的偏差校正项。

Warmup与Adam的结合：

1. 初期 `m_t` 和 `v_t` 的不稳定性：
在训练开始时，`g_t`（当前梯度）可能很大且方差较大。
由于 `m_t` 和 `v_t` 是指数加权平均，它们需要一些时间才能稳定下来，并准确反映梯度的长期行为。
特别是 `v_t`，由于它是平方梯度的平均，如果梯度初期非常大，`v_t` 就会急剧增大，导致 `sqrt(v_t)` 很大。
如果此时基础学习率 `alpha` 也很大，那么 `alpha / sqrt(v_t)` 这个更新比例可能会非常小，或者由于 `v_t` 的不稳定而剧烈波动，导致参数更新效率低下或不稳定。

2. Warmup的作用：
在Warmup阶段，学习率 `alpha_t` 是从一个非常小的值线性或指数级增长到预设的基础学习率 `alpha_base`。
增加 `alpha_t` 意味着在每一时刻，模型参数更新的“潜在幅度”在增加。
同时，随着 `alpha_t` 的增加，模型也正在学习。这意味着 `m_t` 和 `v_t` 也在逐渐积累更准确的梯度信息。
当 `alpha_t` 增加到 `alpha_base` 时，`m_t` 和 `v_t` 也已经积累了一段时间的梯度信息，变得相对稳定。
因此，在Warmup结束时，Adam优化器能够以一个稳定且恰当的学习率（`alpha_base`）来利用稳定且可靠的一阶和二阶动量估计，从而进行更有效的参数更新。

总结一下理论核心： Warmup策略通过在训练初期使用较小的学习率，为模型提供了一个“适应期”。这个适应期允许模型：

避免了因初始大梯度和大学习率导致的参数更新爆炸或震荡。
帮助模型逐步探索损失曲面，寻找更优的局部最小值。
为BN等正则化层提供更稳定的统计信息。
与Adam等自适应优化器协同工作，使其动量估计在后期更加可靠有效。

实践中的Warmup策略：

线性Warmup：在前N个训练迭代中，学习率从0线性增加到目标学习率。
指数Warmup：在前N个训练迭代中，学习率以指数方式增加到目标学习率。
多项式Warmup：学习率按照多项式函数进行增长。

Warmup的持续时间（N）是一个超参数，通常需要根据具体的模型和数据集进行调整。一般而言，对于较大的模型或更复杂的任务，可能需要更长的Warmup周期。

总而言之，Warmup策略并非“魔法”，而是基于对神经网络训练动力学和优化过程的深刻理解而提出的一个行之有效的工程技巧，它通过改善训练初期的学习过程，显著提升了模型的稳定性和最终性能。

网友意见

这个问题目前还没有被充分证明，我们只能从直觉上和已有的一些论文[1,2,3]得到推测：

有助于减缓模型在初始阶段对mini-batch的提前过拟合现象，保持分布的平稳
有助于保持模型深层的稳定性

下面来看一下为什么warmup会有这样的效果。

首先，[1]告诉我们，当我们的mini-batch增大的时候，learning rate也可以成倍增长，即，mini-batch大小乘以k，lr也可以乘以k。这是为什么呢？比如现在模型已经train到第t步，权重为，我们有k个mini-batch，每个大小为n，记为。下面我们来看，以学习率训k次和以学习率一次训时学习率的关系。

假设我们用的是SGD，那么训k次后我们可以得到：

如果我们一次训就可以得到：

显然，这两个是不一样的。但如果我们假设，那么令就可以保证。那么，在什么时候可能不成立呢？[1]告诉我们有两种情况：

在训练的开始阶段，模型权重迅速改变
mini-batch size较小，样本方差较大

第一种情况很好理解，可以认为，刚开始模型对数据的“分布”理解为零，或者是说“均匀分布”（当然这取决于你的初始化）；在第一轮训练的时候，每个数据点对模型来说都是新的，模型会很快地进行数据分布修正，如果这时候学习率就很大，极有可能导致开始的时候就对该数据“过拟合”，后面要通过多轮训练才能拉回来，浪费时间。当训练了一段时间（比如两轮、三轮）后，模型已经对每个数据点看过几遍了，或者说对当前的batch而言有了一些正确的先验，较大的学习率就不那么容易会使模型学偏，所以可以适当调大学习率。这个过程就可以看做是warmup。那么为什么之后还要decay呢？当模型训到一定阶段后（比如十个epoch），模型的分布就已经比较固定了，或者说能学到的新东西就比较少了。如果还沿用较大的学习率，就会破坏这种稳定性，用我们通常的话说，就是已经接近loss的local optimal了，为了靠近这个point，我们就要慢慢来。

第二种情况其实和第一种情况是紧密联系的。在训练的过程中，如果有mini-batch内的数据分布方差特别大，这就会导致模型学习剧烈波动，使其学得的权重很不稳定，这在训练初期最为明显，最后期较为缓解（所以我们要对数据进行scale也是这个道理）。

这说明，在上面两种情况下，我们并不能单纯地成倍增长lr 。要么改变学习率增长方法，要么设法解决上面两个问题。

有趣的是，warmup在ResNet[4]中就已经提到了，原文说的是：

We further explore n = 18 that leads to a 110-layer ResNet. In this case, we find that the initial learning rate of 0.1 is slightly too large to start converging . So we use 0.01 to warm up the training until the training error is below 80% (about 400 iterations), and then go back to 0.1 and continue training.

在注释中说的是：

With an initial learning rate of 0.1, it starts converging (<90% error) after several epochs, but still reaches similar accuracy.

这两句话是说，如果一开始就用0.1，虽然最终会收敛，但之后acc还是不会提高（使用了pateaus schedule）；如果用了warmup，在收敛后还能有所提高。也就是说，用warmup和不用warmup达到的收敛点，对之后模型能够达到的suboptimal有影响。这说明什么？这说明不用warmup收敛到的点比用warmup收敛到的点更差。这可以从侧面说明，一开始学偏了的权重后面拉都拉不回来……

同时，[2]中也提到：

The main obstacle for scaling up batch is the instability of training with high LR. Hoffer et al. (2017) tried to use less aggressive "square root scaling" of LR with special form of Batch Normalization ("Ghost Batch Normalization") to train Alexnet with B=8K, but still the accuracy (53.93%) was much worse than baseline 58%.

这说明一开始的高lr对深度模型的影响是很显著的。它的不稳定性（instability）也就是上面我们提到的两个点。

[3]通过一些实验告诉我们：

We show that learning rate warmup primarily limits weight changes in the deeper layers and that freezing them achieves similar outcomes as warmup.

从图二(b,c)可以看到，加了warmup增加了模型最后几层的相似性，这表明warmup可以避免FC层的不稳定的剧烈改变。从图一中可以看到，在有了warmup之后，模型能够学得更稳定。

综上所述，如果来总结一下现在大batch size和大learning rate下的学习率变化和规律的话，可以认为，学习率是呈现“上升——平稳——下降”的规律，这尤其在深层模型和具有多层MLP层的模型中比较显著。如果从模型学习的角度来说，学习率的这种变化对应了模型“平稳——探索——平稳”的学习阶段。

那么你也许会问，为什么早期的神经网络没有warmup？这就回到了之前我们说的两点，与它们对应，早期神经网络的环境是：

网络不够大、不够深
数据集普遍较小，batch size普遍较小

这两点和之前[1]中提到的两点是对应的。网络不够大不够深就意味着模型能够比较容易地把分布拉回来，数据集比较小意味着mini-batch之间的方差可能没有那么大。从而学习率不进行warmup可能不会出现很严重的学习问题。

更新：最新的研究可以看“On Layer Normalization in the Transformer Architecture”这篇文章

之前写过一篇介绍，参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/84614490

在这里就不具体展开了。

[1] Accurate, Large Minibatch SGD: Training ImageNet in 1 Hour

[2] LARGE BATCH TRAINING OF CONVOLUTIONAL NETWORKS

[3] A CLOSER LOOK AT DEEP LEARNING HEURISTICS: LEARNING RATE RESTARTS, WARMUP AND DISTILLATION

[4] Deep Residual Learning for Image Recognition

[5] On Layer Normalization in the Transformer Architecture

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