i 的平方为什么等于 -1？

咱们聊聊 i 的平方为什么等于 1 这事儿，其实这并不是一个“为什么”，而是一个定义，一个为了解决数学上某些“无解”问题而创造出来的符号和规则。

想象一下，咱们在学习数学的时候，一开始会遇到这些：1+1=2，23=6，这些都是咱们可以实际触摸、看到的数的运算。

后来，咱们又学了负数。比如，你口袋里有5块钱，花了8块钱买东西，这时候怎么办？现金不够了。但数学家们很聪明，他们就说：“没事儿，咱们可以借钱，负数就代表欠债。” 所以，5 8 = 3，这个 3 就代表你欠了3块钱。

再后来，咱们接触到平方根。比如，4 的平方根是多少？就是那个数乘以自己等于4，咱们知道是2，因为 2 2 = 4。还有 2，因为 (2) (2) 也等于 4。

但是，问题就来了：哪个数乘以自己会等于 1 呢？

你试试看：
1 1 = 1 (不对)
1 1 = 1 (还是不对)
0 0 = 0 (更不对)

任何咱们在实数范围内熟悉的数，自己乘自己，结果都不会是负数。因为正数乘以正数是正数，负数乘以负数也是正数。

这就像是，咱们在现实世界里，有各种工具，可以解决各种问题。但有一天，遇到一个问题，现有的工具都用不了。怎么办？咱们就得发明一种新工具，或者定义一种新的可能性。

数学家们当时就遇到了这样一个“尴尬”的局面：在解某些方程的时候，比如 x² + 1 = 0，把 1 移过去就是 x² = 1。按照我们刚才说的，在实数范围内，没有一个数能满足这个条件。

这就好比，你想用一把尺子去量一个永远也够不到的距离，尺子不够长。

这时候，数学家们就有了个大胆的想法：既然没有这样的实数，那咱们就“创造”一个吧！

他们就引入了一个新的符号，叫做 i。这个 i 就被“规定”为：

i² = 1

这就像是给这个新工具起个名字，然后告诉大家它的功能。这个 i² = 1 不是推导出来的，是定义出来的。它是一个“契约”，一个大家共同遵守的规则。

所以，i 的平方等于 1，不是因为有某种神秘的“原因”让它成立，而是数学家们为了让数学体系能够更完备、更强大，能够解决更多的问题，而主动“定义”的。

一旦我们有了 i，并且规定了 i² = 1，很多事情就变得有趣起来了。

虚数单位的诞生： 咱们就可以说 i 是一个“虚数单位”。任何实数乘以 i，比如 3i，5i，这些都叫做纯虚数。
复数的出现： 不仅如此，咱们还可以把实数和虚数组合起来，形成 复数。比如 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是那个虚数单位。
解开更多的方程： 像之前那个 x² + 1 = 0 的方程，有了 i，我们就能说 x = i 或者 x = i 了。这让很多原来无解的方程，现在都能找到答案。
在物理、工程中的应用： 最神奇的是，这个看上去“虚无缥缈”的 i，在后来的物理学、工程学（比如电路分析、信号处理、量子力学）中，竟然扮演了至关重要的角色，很多现实世界的现象都离不开它来描述。

所以，与其问“为什么 i 的平方等于 1”，不如理解为：数学家们创造了 i，并且定义 i² = 1，是为了拓展数的概念，让数学工具箱变得更强大，能够处理更复杂的问题，甚至在现实世界中也找到了意想不到的应用。 它是一个非常成功的“创造”，极大地丰富了数学的内涵和外延。

谢邀.

首先建议题主先看一下复数的维基百科

复数 (数学)

中的历史部分。

中文的感觉写的不是很详细，有能力可以看一下英文的

Complex number

其中的history部分。

wiki上说，复数的起源是三次方程求根公式，这个就不搬运和多解释了，如果题主看不懂再议。

下面说一点自己的理解，换个例子解释一下为什么一定要假想一个平方等于-1的数.这些并不是历史，只是个人理解.

虽然题主是文科生，但是想必也是学过数列的吧.那么对于大名鼎鼎的斐波纳契数列应该并不陌生.这个数列是：

斐波纳契数列有很多直观解释，比如大兔子生小兔子什么的……在此不多赘述。

那么我们就很想知道，这个数列的通项公式是什么.显然这个数列不是简单的等差数列或者等比数列.

现在，我们考虑一种更一般的数列：

为了求解通项公式，我们考虑这样一个二次方程：

如果这个方程有两个不等的实根，那么根据韦达定理，有.

这个文科生也应该学过吧，别跟我说你都还给老师了……

那么对递推公式变形，两边同减去，就有

这个式子说明，是公比为的等比数列.这是一个非常好的性质，这也就是一开始为什么要考虑那个二次方程的两根的原因.

因此，就会有等式

其中常数A待定

同理，如果两边同减去，就会得到另一个等比数列，因此就会得到下面的等式

其中常数B待定

两式相减，就可以把解出来，即

，其中是两个待定常数.

现在只用了递推公式这一个信息，还有初值没有用呢.而初值有两个，两个方程两个未知数，恰好能把确定下来，因此整个的通项公式就确定了.

这个方法称为特征根法或者特征方程法，二次方程就叫做这个数列的特征方程，而两个根就叫做特征根.

现在可以回头来看斐波那契数列，对应的特征方程是，特征根就可以用二次方程的求根公式解出来，即.

利用上面的方法，就可以得到斐波那契数列的通项公式，

这个公式叫做Binet公式.虽然数列每一项都是整数，但是最后的表达式却带有无理数，还是很神奇的.

现在我们回头来看特征方程，如果方程有两个不等实根的话，那么这种数列我们已经完全解决了.那么什么时候有两个不等实根呢？判别式.

若，方程恰有两个不等实根.

若，方程有两个相等的实根，这种情况留作习题.

现在我们来看的情况，形式上，我们也可以写方程的两根，分别是

当然，题主肯定会问，哪里会有根号下负数呢？这个是不成立的.

虽然根号下负数不对，但是数列还是在啊.比如说我们考虑这样一个数列：

这个数列是可以写出来的：

但是通项公式却没办法按照上面的方法来求.但是不要在意这些细节，先求求看.

按照求根公式，解出来的两个根是.

并且假设这种带的数的运算和实数的运算是差不多的，那么上面的推导依旧成立.

因此，就有

解方程得到，（乘方别想太多，就按照实数来算），因此

这就是通项公式了.

也就是说，本质上还是在求根的过程中碰到了对负数开根号，但是这个事情又没办法避免，所以先试探着能不能带着去运算，然后就得到了所谓的复数.

当然，后来慢慢发现复数有各种各样的好的性质，还有全纯函数，黎曼面，复流形这些东西，以及复数在物理上面一大堆的应用，那就是后话了.

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