有什么理论复杂但是实现简单的算法？

好的，我们来聊聊那些听起来高深莫测，但真要上手去实现时，却意外地直接的算法。

很多时候，我们提到“算法”，脑子里会浮现出那些涉及深邃数学、复杂逻辑或者大规模计算的景象。比如深度学习里那些层层叠叠的神经网络，又或者图论里那些需要遍历所有可能路径的搜索算法。这些确实是算法的精彩之处，但它们的实现也往往伴随着巨大的工程量和专业知识门槛。

但今天我们想聊的，是另一种类型的算法。它们的核心思想可能极其精妙，解决的问题也可能非常棘手，然而一旦你把那个“精妙的核心”给剥离出来，剩下的实现步骤可能就直白得如同组装乐高。

我一直觉得，Kadane's Algorithm (卡德恩算法) 就是这样一个极好的例子。

这算法是用来解决一个经典的问题：“在一个一维数组（或者称为序列）中找出连续子数组的最大和”。

听起来是不是挺一般的？但想象一下，一个由正数、负数、零混合组成的数字串，你得从中找到一连串相邻的数字，它们的总和是所有可能的连续子数组中最大的。

举个例子：

`[2, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 5, 4]`

你可能会手动去试：

`[1]` 的和是 1
`[3, 4]` 的和是 1
`[4, 1, 2, 1]` 的和是 6
`[2, 1, 3, 4, 1, 2, 1]` 的和是 2
`[4]` 的和是 4

等等。手动尝试很快就会变得混乱且低效，尤其是当数组非常长的时候。你需要考虑所有可能的起始点和所有可能的结束点，这在计算上是平方级的复杂度（O(n^2)）。

Kadane's Algorithm 的精妙之处就在于它能用线性时间（O(n)）解决这个问题，而且实现起来非常简洁。

它背后的核心思想是这样的：

当我们遍历数组时，我们总是尝试构建一个“当前正在考虑的子数组”。这个子数组的关键属性是：它要么是之前某个子数组的延续，要么是它自己本身（从当前位置开始一个新的子数组）。

更具体地说，让我们维护两个变量：

1. `current_max`: 这个变量记录的是以当前位置结尾的连续子数组的最大和。
2. `global_max`: 这个变量记录的是到目前为止我们找到的全局连续子数组的最大和。

现在来看怎么用这两个变量来“迭代”整个数组：

当我们处理数组中的每一个元素 `x` 时，我们有两条路可以选择来形成以 `x` 结尾的最大和子数组：

选择 1：将 `x` 加入到以前面的元素结尾的最大和子数组中。 也就是说，这个新子数组的和是 `current_max + x`。
选择 2：抛弃之前所有的子数组，从 `x` 本身开始一个新的子数组。 也就是说，这个新子数组的和是 `x`。

Kadane's Algorithm 的智慧在于，它知道我们只需要选择这两者中较大的那个来更新 `current_max`。所以，对于当前的元素 `x`，新的 `current_max` 就是 `max(x, current_max + x)`。

为什么这个简单规则有效？

考虑一下：如果以当前位置 `i1` 结尾的最大和 `current_max` 是负数，那么当我们遇到下一个元素 `x`（即位置 `i` 的元素）时，将 `x` 加入一个负数的前缀只会让总和变小。在这种情况下，从 `x` 开始一个全新的子数组 (`x`) 显然比 `current_max + x` 要好。如果 `current_max` 是正数，那么加入 `x` 可能会继续增大总和，或者在 `x` 是负数的情况下使其减小，但这个减小可能是值得的，因为它可能使得后续的元素能够构成一个更大的总和。核心是，`current_max` 总是维护着以当前位置结尾的最优解。

而 `global_max` 的更新则更直接：在每次更新完 `current_max` 之后，我们只需要比较一下当前的 `current_max` 和之前记录的 `global_max`。如果 `current_max` 更大，我们就更新 `global_max`。

算法流程总结如下：

1. 初始化 `global_max` 和 `current_max` 为数组的第一个元素。
2. 从数组的第二个元素开始遍历（索引 `i` 从 1 开始）。
3. 对于当前元素 `array[i]`：
更新 `current_max` 为 `max(array[i], current_max + array[i])`。
更新 `global_max` 为 `max(global_max, current_max)`。
4. 遍历结束后，`global_max` 就是连续子数组的最大和。

现在，我们来聊聊它的“实现简单”这一面。

如果你用 Python 来写，它可能就几行代码的事：

```python
def max_subarray_sum(arr):
if not arr:
return 0 或者抛出异常，取决于需求

global_max = arr[0]
current_max = arr[0]

for i in range(1, len(arr)):
current_max = max(arr[i], current_max + arr[i])
global_max = max(global_max, current_max)

return global_max

示例用法
my_array = [2, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 5, 4]
print(f"The maximum subarray sum is: {max_subarray_sum(my_array)}") 输出: The maximum subarray sum is: 6
```

这就是全部了。没有复杂的嵌套循环，没有递归的深度，没有需要维护的数据结构（比如堆、栈等），甚至连条件判断都非常直接。你只需要两个变量，一个循环，以及一次简单的比较和赋值操作。

为什么我们会说它“理论复杂”？

“理论复杂”往往体现在它的 背后的证明 和 思考的深度。

为什么 `max(array[i], current_max + array[i])` 是正确的？ 这个决策点的背后，隐藏着动态规划的思想。我们正在利用“最优子结构”和“重叠子问题”。“最优子结构”指的是，一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。在这里，以当前位置 `i` 结尾的最大和子数组，要么是单独的 `array[i]`，要么是之前以 `i1` 结尾的最大和子数组加上 `array[i]`。如果以 `i1` 结尾的最大和子数组不是以 `i1` 结尾的“最优”子数组，那么它也不能帮助我们构建以 `i` 结尾的“最优”子数组。这就是动态规划的核心思考方式。
为什么线性时间复杂度是最优的？ 要确定整个数组中连续子数组的最大和，你至少得“看”到每一个元素一次，对吧？因为任何一个元素都可能是一个潜在的单元素最大子数组，或者它可能是构成一个更大子数组的关键部分。因此，至少需要 O(n) 的时间。Kadane's Algorithm 实现了这一点。
如何处理全负数数组？ 如果数组全是负数，比如 `[5, 1, 3]`，那么最大的连续子数组和就是最大的那个负数本身（在这里是 `1`）。Kadane's Algorithm 也能正确处理。初始时 `global_max = 5`, `current_max = 5`。
处理 `1`：`current_max = max(1, 5 + 1) = max(1, 6) = 1`。`global_max = max(5, 1) = 1`。
处理 `3`：`current_max = max(3, 1 + 3) = max(3, 4) = 3`。`global_max = max(1, 3) = 1`。
最终结果是 `1`，正确。

它的理论严谨性体现在它如何巧妙地避开了 O(n^2) 的蛮力搜索，而是通过一个“贪婪”的局部决策（总是选择当下最好的延续或重开始）来达到全局最优。这种将局部最优决策推广到全局的思路，在很多算法设计中都非常强大。

所以，Kadane's Algorithm 就像一位穿着朴素但思想深邃的老者，你可能一眼看去觉得他没什么特别，但一旦你听他讲几句话，就会发现他脑子里装着整个宇宙的智慧。它的实现如此简洁，以至于在第一次接触时，你会怀疑“就这么简单吗？”但它确实就是这么简单，却又如此强大。这大概就是“理论复杂，实现简单”的魅力所在吧。

网友意见

提名MCMC（Markov Chain Monte Carlo），用于从一个目标分布 中抽样。通常抽样的目的是为了计算一个积分，在统计中最为常用的例子就是贝叶斯了。

可以毫不夸张的说，MCMC算法拯救了贝叶斯统计学派。

实现有多简单呢？MCMC中最为通用的一个算法是Metropolis-Hastings算法，非常简单：

其中 为一个工具分布，通常设置为对称的即 ，最简单的方法是设定一个随机游走： 。

比如，一个最简单的随机游走的M-H算法的函数：

       ##随机游走的MCMC算法，输入： ##    N_samples  : 抽样次数 ##      pai(x)   : 目标密度函数 ##   q_sampler(x): 给定x，从q中抽样的函数 ##      x0       : 初始值 def MH_RW(N_samples, pai, q_sampler, x0):     X=[]     x=x0     for i in range(N_samples):         y=q_sampler(x)         rho=min(1,pai(y)/pai(x))         if nprd.uniform()<=rho:             X.append(y)             x=y         else:             X.append(x)     return X     

就这么简单

理论有多复杂呢？

MCMC构造了一条马尔可夫链，可以证明在适当的条件下，这个马尔可夫链的平稳分布就是 ，但是这个马尔可夫链不是最简单的离散状态空间的马尔可夫链，而是一个一般状态空间上的（至少是 的状态空间）一个马尔可夫链。对于离散状态的马尔可夫链，遍历性、常返性、周期性之类的还算是比较容易定义的（虽然本科非数学专业的可能已经有一定接受难度了），对于一般状态空间上的马尔可夫链的遍历性，至少离开测度都很难定义常返性了。

总之，挺难的。

提名并查集。在《算法导论》中被称为“不相交集合森林”。

没人能否认并查集实现简单（除非毒瘤出题人进行毒瘤扩展），因为其核心函数一行就可以实现。

       int findSet(int x) {     return par[x] == x ? x : par[x] = findSet(par[x]); } // par数组中，par[x]表示结点x的父结点。若x为根结点，par[x] = x。      

但当初学习时并没有深入思考其复杂度，只是简单接受了“近似O(1)”的这个结论。

然而这个复杂度分析比实现要复杂得多。后文主要着眼于复杂度分析，假设读者对并查集有一定了解，至少知道这玩意是啥。

以下需要对并查集有基本的了解。

一.并查集简述（回顾)

并查集是一个森林，由许多棵有根树组成，每棵树都表示一个集合，树的一个结点表示一个元素。这实际上就是并查集的精髓，两个元素所对应的结点在同一棵树中，意味着两个元素在同一个集合中，反之亦然。

而并查集的功能（操作），就如它的名字：合并和查询。

• 合并 unionSet：把森林中的两棵树合并为一棵树，也就是合并两个集合。
• 查询 findSet：查询某个结点所在的树的根结点。通过比较两次查询操作，我们就可以得知两个结点在不在同一棵树中，实际上也就是得知两个元素在不在同一个集合中。

二.实现方式及复杂度分析

并查集有多种实现方式（优化方式），比如按秩合并和路径压缩。上面的代码就采用了路径压缩，相信OIer们都看得懂。findSet函数经过一系列递归，最后的返回值是这棵树的根结点，于是par[x] = findSet(par[x])这句代码就将结点x的父结点标记为树的根，从而实现了路径的压缩。

一步一步来。

以下假设n为总结点数，m为操作数。初始情况下，我们有n棵只有一个结点的树。

1.最朴素的（没人写的）并查集

最朴素的并查集，也就是没有按秩合并，也没有路径压缩。这就导致我们可以构造出一组数据，在n次合并之后得到一个长度为n的链，使得这个并查集的时间复杂度非常高。这其实和二叉查找树（BST）有一点相似，都可以通过构造数据使树退化一条链。为了防止这种退化，BST被改进为平衡二叉树（BBST）；而并查集则通过种种启发式策略进行优化。

如果树退化为链，我们对叶结点进行查询/合并操作，那就需要遍历整个树（链），复杂度达到了 ，高的可怕。

2.按秩合并的并查集

按秩合并，略显晦涩的名字，但它的英文union by rank很容易理解。秩（rank）的定义并不固定，有的人定义树的大小即结点数量（size）为秩，有的人定义树的高度（height）为秩。但无论如何，它们合并操作的思想是一样的，如下：

       void unionSet(x, y) {     x = findSet(x); y = findSet(y); // 找到它们的根     if(rank[x] > rank[y]) par[y] = x;  // 数组rank储存结点的秩，可以是size或者height     else                  par[x] = y;     update(rank, x, y); // 自由发挥啦，是size改size，是height改height }      

我们先分析以高度height为秩的并查集。

• 引理1：以高度height为秩的按秩合并并查集中，每棵树的高度最多为 ，且可达到 （此处及此后均假设 以2为底）

证明：首先显然，被我们合并的两棵树，当且仅当高度相同时，合并后得到的树高度会变化为原高度+1；其余情况，合并得到的树高度与原来两棵树中最高的那棵高度相同。因此，想得到一棵高度为的树，就必须由两棵高度为 合并得到……一直推下去，我们至少需要 个结点才行。而要得到高度为 的树，就需要 个结点。显然 ，证明完毕。

这样，在一系列合并之后，我们就可以使查询操作的最坏情况达到 。

更进一步，我们分析以大小size为秩的并查集。一个显而易见的思路是建立size和height之间的关系，从而间接得到复杂度。

• 定义：
• 引理2：单调性：对任意 ，有 ，这是显然的。
• 推论3：若 是使 的最小的 ，则 是使 的最小的 。用引理2反证可得。
• 推论4： 。数学归纳法，显然 ，由推论3可得推论4。

推到推论4，我们已经得到size和height的关系。

于是有结论：对于按秩合并的并查集，不论以size为秩，还是以height为秩，单次操作最坏情况都是 ，m次操作的总复杂度也就是 .

到这为止，一切都并不很复杂。但一旦涉及到路径压缩，分析的困难就增加了。因为路径压缩有多种启发式策略，其本身还可以和按秩合并结合。这方面的很多成果都由Tarjan先做出来的，其中使用了摊还分析。

正在治疗懒癌，活下来再更新……

Batch Normalization

实现有多简单，标准化+反标准化。

理论有多复杂，到目前为止，都没有很好的理论证明，绝大多数文章还停留在实验阶段。

据我所知，BN的解释经历了这么几个主要阶段：

1. 避免Internal Covariate Shift

原始的BN论文给出的解释是BN可以解决神经网络训练过程中的ICS（Internal Covariate Shift）问题，所谓ICS问题，指的是由于深度网络由很多隐层构成，在训练过程中由于底层网络参数不断变化，导致上层隐层神经元激活值的分布逐渐发生很大的变化和偏移，而这非常不利于有效稳定地训练神经网络。

2. 平滑loss landscape

BN效果好是因为BN的存在会引入mini-batch内其他样本的信息，就会导致预测一个独立样本时，其他样本信息相当于正则项，使得loss曲面变得更加平滑，更容易找到最优解。相当于一次独立样本预测可以看多个样本，学到的特征泛化性更强，更加general。

这个结论在之前的How Does Batch Normalization Help Optimization?文章中明确提出来过。

图中展示了用L-Lipschitz函数来衡量采用和不采用BN进行神经网络训练时两者的区别，可以看出未采用BN的训练过程中，L值波动幅度很大，而采用了BN后的训练过程L值相对比较稳定且值也比较小，尤其是在训练的初期，这个差别更明显。这证明了BN通过参数重整确实起到了平滑损失曲面及梯度的作用。

3. 导致Information Leakage

在最近很火的对比学习中，如果在mini-batch内计算BN统计量，就会导致预测一个独立样本时，会引入其他mini-batch样本的信息，造成信息泄露，骗过模型。

如图所示，当使用random采样的mini-batch统计量时，验证误差会增加，当使用population统计量时，验证误差会随着epoch的增加逐渐增大，导致明显的过拟合，验证了BN信息泄露问题的存在。

即便是在理论如此匮乏的情况下，BN也孕育出了许许多多的变体，比如GN、LN、IN等等。

batch normalization可以说是深度学习时代的black art，或者说是necessary evil。

Reference

[1] Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift

[2] How Does Batch Normalization Help Optimization?

[3] Rethinking "Batch" in BatchNorm

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