作为高中生是否应该学习一些超纲的知识（相对论，大学的微积分，量子力学......）这些对高考成绩有影响吗？ 第1页

我觉得有些稍微超纲的小技巧还是比较有用的，比如用欧拉公式 ，可以很自然地导出大部分三角公式，比如说三倍角公式：

右边部分的实部、虚部分别代表 和 。

众所周知，高中数学三角公式种类繁多，而且有很多坑，比如和差化积的正负号，万能公式的分子分母等，比较容易记错。欧拉公式的好处是只用掌握欧拉公式和基本的多项式乘法，就可以得到大量三角公式，记忆量小、灵活（几乎可以做任何三角形式之间的变换），而且不会犯错。更重要的是，用欧拉公式得到结果之后，可以转写为三角函数的基本形式，也就是说在考卷上不会出现任何有关欧拉公式的内容。

我记得物理上也有一些小trick，想起来再补充吧。

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整系数多项式的有理根

定理：设 是一个次数n大于0的整系数多项式，如果 是 的一个有理根，其中q，p是互素的整数，那么 。

高中阶段大部分人只掌握了二次多项式的求根公式。然而，在某些特殊情况下，我们会遇到三次甚至三次以上多项式。事实上，对n次多项式而言，只需要得到n-2个根，即可根据多项式除法，得到剩下的二次因子，求出剩下的两个根。因此，对于四次或三次方程而言，一个合理的手段是通过某些方法“猜”出该多项式的一两个根。

上述整系数多项式有理根的定理告诉我们，对于一个整系数多项式（有理系数多项式总可以化成整系数多项式），它的所有有理根 必须满足 。因此，我们可以根据 的性质，找到一个小小的集合，该集合必包含全部有理根。再一一代入方程，以期找到一个根（一般是一个小根），破局。

例：求三次多项式 的根（作因式分解）。

解：将最高次系数和最低次系数做素因子分解

互素因子两两组合，得到可能的有理根集合 。

代入测试，得到根 ，从而

注：以上解题过程中，并不一定需要在有理根集合中找到全部的解，只需要碰巧找到一个就可以用传统方法找到剩下的两个根。另外，并不是所有根都出现在该集合内，因为可能存在无理根的情况。

有人会问，高次多项式的根是否属于高考数学的纲内范围。出现要求求解高次多项式根的问题确实较少。但我当年在刷各省高考题时，确实遇到过使用某些方法处理解析几何和压轴题的时候，中间过程出现了三次方程的求解（虽然这些情况下一般会有一个根为 ，比较好猜）。掌握这个定理之后可以做到基本不虚。另外，该定理对自主招生是一个很大的buff，印象中12年北约自招（或是11年北大信科暑期夏令营，记不清了）的数学部分就有考到复杂三次方程的解，绕不掉（同样的还有n倍角公式）。

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向量积（又称叉乘、矢积、外积）

看到评论里很多人有提到，就详细地讲解下。向量积确实是一个非常好用的运算，在物理、数学中都有很好的应用，可以辅助公式记忆、加快解题速度，甚至产生出新的解题思路。

三维空间中向量 的向量积记作 ，是一个向量（与内积不同），其模长为 ， 是两向量的夹角；其方向为 向 的右手螺旋。

与内积的重要区别在于，向量积具有外对称性： 。而且，当 垂直时，外积的模为 ，当 平行时，外积为零向量。这与内积正好相反。

应用一：安培定则与洛伦兹力

高中物理比较坑爹的一点是，安培定则的方向是右手螺旋，而洛伦兹力的方向是一种奇怪的“左手螺旋”，容易记混。事实上，安培定则和洛伦兹力的真正定义都是用向量积来做的：

这两个公式非常统一。首先，两种力的方向均可以通过右手螺旋得到。其次，两个向量积都是位移矢量在前，磁感应矢量在后。（这蕴含了一个事实：安培力是载流子洛伦兹力的叠加）最后，向量积定义还适用于位移与磁场不垂直的情况。

应用二：向量积在立体几何中的应用

向量积在立体几何中有重要应用，一个是求三角形面积，另一个是求定向法向量。

向量积的计算依赖于行列式的知识。这里先给出二阶、三阶行列式的计算方法：对角线法（ Sarrus' rule ）。详见Determinant - Wikipedia

有了行列式的知识，对于三维空间中任意两个矢量 和 ，我们可以用行列式快速算出其向量积

其中， 为, 的坐标， 为三维空间中的三个基矢。详见Cross product - Wikipedia

a) 求三角形面积

定理： 和 张成的平行四边形的面积为 ，张成的三角形面积为 。

应用：立体几何题经常涉及求一个不规则三角形的面积。标准做法是求出两个边的长和其夹角的大小，相当繁琐。有了上述定理，只需要找到三角形任意两条边的向量，便可以用向量积求出其面积。

b) 求平面的定向法向量

定理： , 。

这样的话，只需要找到平面上两个不平行的向量 和 ，便可得到其法向量 。

求平面法向量的传统方法是解欠定方程组。这种方法最大的问题是，其法向量的方向是不能确定的（比如，一个多面体的面的法向量，是指向多面体内部还是多面体外部？）。这就需要一个额外的工序来判断法向量的朝向（还特容易出错）。使用向量积的方法就没有这个问题：可以通过右手螺旋快速准确地判断求出的法向量的朝向。

c) 混合积：求多面体的体积

定义：三个向量 的混合积（又名三重积）为 ，又记作 。这种记号的合理性在于混合积的高度循环对称性： 和

可以通过行列式快速得到：

定理： 张成的平行六面体的体积为。相应的，张成的四面体的体积为 。

证明见Triple product - Wikipedia。

这个公式还是非常厉害的。在高中时期，求一个棱锥的体积往往需要先算出一个底边三角形的面积，再求出另一个顶点到该三角形的距离，相当繁琐。有了混合积的知识，得到一个顶点出发的三条棱的向量后，只需要再求一个三阶行列式即可，比求叉乘还简单。