为什么，概率论与测度论的分水岭是引入条件概率与独立性这两个概念？ 第1页

谢邀。简单的来说，“条件概率”和“独立性”不是测度论中天然产生的概念，但是这两个概念天然就是概率论的。

首先，“条件概率”和“独立性”等概念对于测度本身来说不是“自然的” 。积分、各种极限公式对于测度论是自然的，因为你一旦讨论到测度，自然就有可测函数，自然就有讨论积分、函数和函数的极限问题，微分问题也是自然的。但是，条件概率和独立性却不是，虽然它们的确可以用测度论的语言刻画，但是它们的产生本质上是来自经验的。

在历史上独立性和条件概率这两个概念的产生是远早于测度产生之前的，古典概率论用不到什么测度论，但是帕斯卡和贝叶斯已经开始做概率了。换句说说，这两个概念是非常本质的，是灵魂，测度论是工具。

测度论是工具的另一个原因如下：特仑苏陶（陶哲轩）在下面的文章中介绍了用纯代数的方法搞概率这种非常脑洞大开的东西，大家有兴趣可以看看。这也更加说明了，概率论中最重要的概念本质上不依赖于测度，这两个最重要的概念才是灵魂。

实际上概率中的大数定理和中心极限定理都需要独立性这个重要的概念。没有独立性，你无法得到大数定理，你得到的是一个遍历定理（pointwise ergodic theorem）, 中心极限定理就是一个弱收敛(如下图)。

利用这个，我们首先得到是一个奇怪的大数定理

这个定理最后和独立性联姻才能产生一般的大数定理。另一方面，失去独立性后，中心极限本质上是下面一个结果，其中 是一个和 相联系的有界算子。

当你想知道一个概念有什么用的时候，你得试试看没了它你最好可以得到什么结果。类似的，概率论中的很多重要结果依赖于那两个概念，虽然用了很多其他工具，但是这两个概念是才是重要的结构。

总结起来就是下面这句话：

“Probability theory is measure theory with a soul“ --- M. Kac
概率论是有灵魂的测度论

我不是做概率的，所以只能泛泛而谈了，算是抛砖引玉了。