如何通俗解释伯努利原理？ 第1页

更新说明：有网友认为伯努利方程没有被那么多误解，我在本文底部展示了一个非常流行的误解与误用，并且增加若干实验视频。

==================

伯努利方程大概是流体力学中最为大众所知，也是最为误解度的一个原理。我听过无数次有人说，“流速快导致压力降低”。请注意这种表述是不对的。真正比较严格的说法是：

对定常流的不可压缩的无粘流体，在同一条流线上，速度快的地方压力低。

请注意，一般而言伯努利方程必须在满足如下条件下才成立：

1. 定常流（Steady flow）：也就是说，整个流场不随时间变化；
2. 不可压缩流体（Incompressible fluid）：流体的密度不随压力变化；
3. 无粘（Inviscous）：流体粘度可忽略，用更容易懂的语言通俗说，就是流体无摩擦；
4. 同一条流线（Stream Line）：也就是说，压力的比较必须在同一流线上才有意义（“前后”比较而不是“左右”比较）

除了满足这些条件以外，最重要的，伯努利方程说的是流速快总是伴随着压力低，这是一种“相关性”的陈述，而不是流速快导致压力低这样的“因果性”陈述。前者说的是，在流速快的地方总是压力低，但是绝不是因为流速快所以导致压力低。事实上恰恰相反，是因为压力低所以导致流速快。

我们来看一个简单的例子。比如说有这样一条稳定流动的水管，水管在B点处流道狭窄，产生一个“喉部”（工业上叫做文丘里管）。

因为管道的流动是稳定的，内部任意一点的流场并不随时间发生变化。那么在不同区域它的流速会如何呢？比如说我们选取AB两个界面之间的一段，对其中的水做质量守恒运算：

每秒钟进入该段的水-流出该段的水=该段内部水的增加

既然是定常流，那么这一段管道内部的流体性质不随时间发生变化，也就是说，这一段管道内的水质量会保持不变。这样一来，我们就有：

进入该段的水的流量 = 流出该段的水的流量

由于B处狭窄，因此它的流速必然比A处更快，这样才能达到上述的质量平衡。同理我们也可以知道，B处的流速必定要大于C处，而AC两处流速相等。我们必然就知道三处的速度关系：

现在，我们在管道中放入一个轻质的小球，这个小球，随着水流而下。那么小球在从A到B的行进过程中，其速度必然随着水流越来越快 - 它在一直加速运动。而从B到C处，它速度随着水流越来越慢 – 它一直在做减速运动。

根据牛顿第二定律，我们知道，从A到B这段过程加速过程中中它必然受到一个向前的净作用力。这个作用力从何而来呢？

这个力显然是流水作用产生的。请注意，由于小球与水流保持相对静止，它所受的力全部来自水的静压力，而不包括水流的曳力以及其他的动力学力。那么小球的受力就包括了两部分：来自后面向前的压力，以及来自前面向后的压力。由于小球受到的净力向前，则必然有其后部的压力大于前部的压力。也就是说，小船在从A到B的过程中，其周围的压力一直在减小，一直到达B点，小球不再加速。所以，在A到B过程中，流速总是增加，而相应地压力总是降低。在压力最低处，流速也就达到了最高。

同理可知，在从B到C的过程中，小球一直在减速，也就是说，小球受到前方的压力总是大于后方的压力，因而在这个过程中，流速总是在减小，而压力却总是在增加。

那么，整个过程中我们就知道了，在流速最高的地方，压力最低。

从这个例子中我们看出，伯努利方程所谓的“流速高压力低”，其真正原因无非就是牛顿第二定律：流体在从高压向低压流动的过程中加速运动，在从低压向高压流动过程中减速运动。

这个其实非常容易理解：在AB段，当我们努力将流体挤出喉部时，喉部的速度必须加快，否则就会造成A段“拥塞”，从而使上游压力增加，所以PA>PB。

在BC段也同理。从B点喷出的流体速度很快，虽然在下游有扩径，但是由于惯性，这个速度有保持下去的趋势，必然会使B部流出的液体就有“跟不上前面”的趋势，从而产生一个从而产生一个向后的“拉扯”的净力，让C处的流速降下来。因而B处的压力就低，C处就高。

我们不必考虑能量守恒，单纯地直觉就能很好地理解伯努利方程。

我们进一步来看看这里的关键之处，在于流体流动的驱动力来自压力梯度，而不是压力。如下图是一个立方体的流体微元，我们可以在一个一维简化情况下分析其前后的受力：

这个流体微元的净受力就是：

根据牛顿第二定律我们有：

因而，就有：

请注意上述公式的右侧就是压力梯度。也就是说，驱动流体流速变化的是压力梯度。进而我们就会想到，压力，其实就是这种驱动力的“势”，压力场就是一个势场。如果你对场论不太熟悉，可以想一想电势场是怎么来的。那么我们就可以形象地理解这个伯努利方程了：我们很自然地把势类比于高度，那么流场内部的压力分布，就像是一个地形起伏一样，压力高的地方，等效于地势高，压力低的地方，等效于地势低。无粘度流体的流动，就像是一个光滑物体在这个势场中的运动一样。所以，压力低的地方流速快，就像是从山坡上滑落的石头，越往低处（压力低）其滑落速度（流速）就越快一样自然而然。

我们熟知的对伯努利方程的推导过程是用能量守恒来做的，很多人看完了推导后仍然一头雾水。这里我们可以应用牛顿第二定律来推导一遍。首先，为了便于直观理解，我用简化的方法，做一个一维计算。直观理解之后我再用流体力学原理推导一遍。

我们选取一个流体微元，沿着其流线l进行分析。

所以，沿着其走过的路径，牛顿第二定律成立：

而根据链导公式：

这个公式是什么意思呢？它把我们的微元运动参考系变成了“静止”流场的参考系。如果你对坐标变换不熟悉，你可以想象一下这样一个场景：你在爬山的时候，你在某一时刻t的高度，取决于两个因素，一个是山坡的陡峭程度，另一个是你爬山的速度。在这里，微元的速度变化也取决于两个因素，一个是不随时间变化的流速场中速度随着位置的变化（陡峭程度），另一个就是流速。

这其实是一个简版的雷诺传递定理（Reynold's Transport Theorem）。有兴趣的可以自己查一下资料。

所以：

也就是说，对整条流线上：，

因而我们就得到了这样的结果：

对整条流线成立。

这就是伯努利方程。我们可以看到，这是牛顿第二定律的直接结果。当然，这是一个非常不严谨的推导，严格说甚至是错误的推导。但是却可以帮助我们直观理解。

最后，我再来一个严谨但不失简单粗暴的“闭嘴计算”推导。对于无粘度流体，我们有：

对定常流，速度不随时间发生变化：

又因为：

所以，

上面这个公式告诉我们什么？这个公式中左侧括弧内的那一套的梯度必然垂直于速度以及速度的旋度。也就是说，在沿着流线和涡线方向上它是常数。事实上，更广泛地说，在涡线和流线组成的Lamb平面上，它是常数。

那么，我们可以看到，如下公式：

不仅仅对整条流线成立。而是在同一个Lamb平面中都成立。

如果我们进一步假设流体是一个无旋场，那么，我们就得到一个推广的结论：

在无旋场中，伯努利方程处处成立。

我们可以看到，经由严谨的计算，我们发现伯努利方程中的“同一条流线”其实并不是必要条件。

严谨则严谨矣，但是在这样的推导过程中，我们很难有“直觉”的认识，就是算算算，然后突然咦，有一个挺好看的结论。就酱紫。

来说一个流传最广泛的（之一）对伯努利方程的误解和误用吧。

这是一个流传非常广的，用于“证明伯努利效应”的实验：在纸条上方吹气，纸条会向上扬起。我这里用视频展示一下（请忽视视频中那只蠢猫）：

科普中（甚至有些正经论文中或科教片中）会把这个现象归结为伯努利原理：看，上面的流速高，所以压力低，所以纸片就飘起来了。

但是，这个解释是错误的，这个现象所展示的，也不是伯努利效应，而是其它。这里最大的错误就是对“同一条流线”这一条件的忽视，从而导致了误用。没错，流速高的地方压力低，但是，所谓的“低”，是比哪儿低？我们前面一再强调，伯努利方程是沿着同一条流线成立的，而不是在不同的流线之间成立。我们沿着流线上溯，很明显伯努利方程说的是，压力比吹风机内部低（如果你用嘴吹气，那么说的是压力比肺部低）！纸片上部与下部根本不是同一条流线，完全没有可比性。

不信吗？请看这个视频：

我们把让纸片自由垂落，然后在纸片的一侧竖直向下吹气。按照前面的逻辑，纸片应该向着吹气的一侧运动。事实上我们会发现，它几乎不发生什么偏移。那么，说好的“流速快压力低”呢？这恰恰说明，纸条两侧的压力并不会因为流速的变化而产生变化：因为它们根本就不在同一条流线上。

那么，奥秘在何处呢？请接着看视频：

看出什么没有？纸片偏移的方向根本不是取决于气流在哪一侧，而是取决于气流吹的方向与纸片的夹角！

真正的原因，恰恰在于伯努利方程忽略掉的粘度。下面我来分析一下。如下图，当气流高速地从喷嘴处吹出的时候，由于粘度（你可以把它简单地理解为摩擦力）的存在，它会带动周边的空气随着它一起运动，进而会带动周边的周边。这样一来就会导致周边的空气流走，进而吸引周围的空气流过来补充：

那么对于一张纸片，这种情形会是如何呢？我们看下图表示的纸片飘起来的过程（）：

图中黑色的线代表纸片，红色的线代表流线。一开始，纸片竖直下垂（图A），在纸片上方吹气，将会因为粘度把纸片右侧的空气带走（这叫做entrainment），因而就会形成一个低压地带。由于这个低压地带的存在，就会使纸片向右上方飘起，同时，会使流线向下弯折（图B）。进而最终会使得流线与纸片紧贴。这时候，空气的流动已经不再是笔直向前了，而是走了一条向下的弧线（图C）。而这就是一个有旋场。我们上面的最一般的公式可以完美解释这个过程。但是这里我只给出直观解释：向下弯折的流线，会产生离心力，这个离心力就会把纸片带起来。这个效应，叫做Coanda Effect（康达效应）。

康达效应指的是，在有粘度的流体流经一个壁面时，产生一种“附壁”效应，使得流体发生弯折，沿着壁面转向的现象。

在这里，恰恰是由于粘度的存在，才会使得纸片飘起来。而纸片飘起的动力来源于弯曲流线的离心力。而伯努利方程是忽略粘度的，用在这里不免驴唇不对马嘴。

我们还可以把上述飘带实验做些微改动，来展示这种曲线流线的效应。我们把纸片的轻轻放在一个物体上，使它产生一点凹面，然后做同样的实验，我们会发现，纸片不再飘起，相反它还会下沉！

伯努利效应经常时常以及惯常被大众科普（甚至某些专业论文）与这种效应（以及大量其他的流体力学效应）混淆在一起。例如飞机的升力、香蕉球的偏折等等莫不如此。比如说，一个比较流行的、用于“展示伯努利原理”的实验是这样的：

中间流速高，所以压力低，是不是很有道理啊？其实大错特错，不信请把杯子改成牛奶盒子看看？