多元高斯分布的协方差矩阵为什么是可逆的？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
先来证明一个命题：
命题
成立的充分必要条件是 , ,…, 线性无关.
证明
充分性：
设 ，则
是一个二次型. , ,…, 线性无关的充要条件是对任意不全为 0 的 , ,…, ，都有 ，即有
故 是正定矩阵，当然 .
必要性：
成立，若有
则有
得到方程组，
由于 ，于是该齐次方程只有零解，即 ，故 , ,…, 线性无关.
Q. E. D
所以协方差矩阵 可逆的关键在于 , ,…, 线性无关，而根据 Gauss-Markov 条件， , ,…, 都是独立同分布的，独立必然不相关，不相关即为两两正交，正交必然线性无关，所以保证了协方差矩阵 可逆性.
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