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多元高斯分布的协方差矩阵为什么是可逆的? 第1页

  

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先来证明一个命题:


命题

成立的充分必要条件是 , ,…, 线性无关.


证明

充分性:

设 ,则

是一个二次型. , ,…, 线性无关的充要条件是对任意不全为 0 的 , ,…, ,都有 ,即有

故 是正定矩阵,当然 .

必要性:

成立,若有

则有

得到方程组,

由于 ,于是该齐次方程只有零解,即 ,故 , ,…, 线性无关.

Q. E. D


所以协方差矩阵 可逆的关键在于 , ,…, 线性无关,而根据 Gauss-Markov 条件, , ,…, 都是独立同分布的,独立必然不相关,不相关即为两两正交,正交必然线性无关,所以保证了协方差矩阵 可逆性.




  

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