广义相对论场方程看上去很简洁，但是实际上这个方程到底有多复杂？ 第1页

(很多谢各位捧场，既然有这么多知友捧场，我不更新一下写多点东西就对不起大家了）

这个，只能用太太太复杂了来形容了。真是太太太太复杂了。

爱因斯坦引力场方程的未知函数最多时可以有15个，其中度规共有10个未知分量，物质的能量动量张量有密度、压强和三个三维速度分量共有5个未知函数，所以共有15个未知函数。但场方程本身只给出6条独立方程，因为毕安基恒等式天然成立，它消去了4条方程。但毕安基恒等式使得爱因斯坦张量的协变散度天然为0，所以场源的能量动量张量的协变散度也应为0又可给出4条独立方程，所以最后还是会有10条独立方程。但是，我们现在有15个未知函数呀，还差5条方程呢。这时我们需要引入谐和坐标条件，这个谐和坐标条件又可以给出4条独立方程。但还是差一条，所以还需引入一条新的方程：物态方程，这个物态方程原则上是由量子场论和热力学决定的，以表征物质本身的特性。下面是场方程的全景图（这个全景图是为答谢各位朋友的捧场而新增的）：

可见爱因斯坦场方程有多复杂。而上面的公式全是缩写形式，如果把这些缩写全展开的话，这个场方程到底会有多复杂，大家可以从下面的结果感受一下。下面仅仅是一个相对简单点的能量动量张量的一个协变散度为0 即 的展开式，就有76页之多，这还是理想流体。没错，是76页！因为我们要求的是（清晰的脉络见上面的图）：

其中 是要求解的三个未知函数，且有 ， 。按上面的全景图，它的展开顺序是首先给出能量动量张量 的混变形式：

然后计算其协变散度：

而其中克氏符的计算表达式是：

而克氏符中的 还不直接是要求的未知度规， 才是，而用表示的就很复杂，它是：

就这么一步一步的算下去，把 展开成用待求解的未知函数及其导数来表示，最后导出成pdf文档就已经是有76页pdf文档的体量了。如下：

（这前面省去了75页...........................，下面只贴出最后一页，没错，是76页)

76页！！这还只是15条方程中的一条，还有14条呢。而且这76页算什么呀，再算一下爱因斯坦张量 展开吧，有多少页呢？大家可以猜，其实我没有算之前也不知道有多少页，但算出来之后大吃一惊，居然有1850多页，这使得我把它转换成pdf输出时不得不分成两个文件，第一个文件750多页（只贴头尾）：

（这里省去了755页............)

第二个文件有1112页，下面的第一页是紧接着前面的第757页的：

（这里省去了1100多页............)

下面我们看到它妥妥的是二阶的偏微分方程：

这么复杂的方程——共有15条同等甚至还要复杂的方程呀！不敢相信呀！我们再一步一步的看这么复杂的 是怎样炼成的。下面我们从度规开始，一步一步的给出这个方程的各个部件的展开式。首先是 的展开式，这前面已经贴出过了，大家可以看前面的，这已经相当复杂了。下面我们来看“第一层零件”克氏符 的一个分量 的展开式：

注意！上面仅是克氏符的一个分量，而克氏符可写成4个 的矩阵，由于对称性每个矩阵和度规一样有10个像上面那么复杂的独立分量，所以像上面这么复杂的独立分量就一共有40个。可见单是组成场方程的零件克氏符就已经够复杂了。

接下来我们来看“第二层零件”曲率张量 的一个分量 的展开式：

（这里省去了33页............)

看到了吧，共有35页。而就算省去对称的分量，曲率张量是有20个独立的分量，即共有20个这么复杂的表达式。所以，进一步运算出的 有1800多页pdf文档也就不奇怪了。当然，这是完全的展开，考虑到有一些项可以化简，那么就算化简后可以“减肥一半”，那也有900页呀。而由于我的计算机只是个人电脑，要把这么复杂的表达式化简，不知要算多少天了。所以化简后可以“减肥”多少，我也不知道。

而这上面的仅仅只是基本的方程，还有定解条件呢，这是二阶偏微分非线性方程，每个4元二阶的未知待解函数要有8个边界条件（阶数乘以自变量的个数，有4个自变量），待解的度规分量就是4元二阶的，10个未知度规分量将需要高达80条边界与初值条件。来台超级计算机并专门编写优化的程序吧，普通人是玩不起这东西的。这就是——广义相对论场方程从尝试求解到放弃。当然，真正求解场方程时，可不是这么暴力的玩的，科学家们研究爱因斯坦场方程的解法已经有100多年了，对于怎样用计算机求解这个场方程（如计算两个黑洞的合并等）已经发展成了一门学科——《数值相对论》）：

全书正文共有400多页。为解一个方程而发展出一门学科，其教材有400多页厚，这个方程有多复杂可想而知。这本书说是《数值相对论》，但全书你不会看到一条程序代码，既没有c++语言，更不会有java、python 或Mathematica 。全书只有公式，除了公式之外还是公式，眼花缭乱的公式！

当然，世事是没有绝对的，对于简单的情形（如球对称），我们还是可以对它求数值解的。例如：

最后，想跟大家说一下的是，学习知识、思考问题和上网、看书等固然重要，但让自己保持着一个健康的体魄更为重要。我们在努力学习、工作或者玩游戏的时候，但别忘了还要注意自己的身体。如果你由于长时间的学习、看书、上网或玩游戏等而使得自己的颈椎出现了一些小问题，不妨试试下面这些。相当好用的。