无理数为什么能用图形表示出来？ 第1页

毕达哥拉斯:我当年就是信了你的邪才没发现无理数的.

他一个几千年前的人觉得线段长度只能是有理数还有情可原…现在还这么觉得…

不是反直觉的东西是错的，而是只有错的东西才反直觉.

一个数是否能计算出精确值与能尺规作图是完全不搭界的事情。

什么叫能计算出精确值？可以定义为其所有数码可由有限次四则运算确定。(如果允许所有不同进制，这个问题相当好考虑)首先，能计算出精确值的只有有理数，不同进制的结果还不一样。可以证明无理数总是不能计算出精确值。(在大学更会接触到，无理数是靠有理数定义出来的造物)

什么叫a能尺规作图？就是通过一条单位长度的线段和(无刻度)直尺圆规可以作出长度为a的线段。这个比能计算出精确值要宽泛得多。数学家已经证明：只要是有理数经过有限次加减乘除以及开方运算(这里的开方不是所有开方，具体细节不详述了)得到的所有数都能尺规作图。所以可以画出来的不止是根号二，还有很多更加怪异的数，比如sin36º。甚至，正十七边形的边长：

然而，如果以另外一种方式定义「写出来」，它还可以比「画出来」的数更广泛。计算机的鼻祖、数学家图灵(Turing)定义了「可计算数」的概念。他说，可计算数是指图灵机(一种虚构的计算机)通过有限长度的算法(注意是有限长度的算法)可以求出该数的任意一个小数位的数。为什么有一些可计算数画不出来？Who knows?

最后说一说我们最熟悉的实数集。现在计算机功能这么强大，是不是实数都是可计算数？不是的。实数集要比可计算数集(不考虑复数)广泛得多。这个已经被证明，方法是证明无法建立有限算法集合到实数集的一一映射。

反不反直觉？

理解数学靠的不是直观，而是逻辑推理。你可以画出一条长为根号二的线段，那就是可以。(理想状态)这有时候让我们很苦恼，但是也很有意思。不是吗？