详解见下。此回答受到了龚漫奇老师的启发。
大家都是直接算积分证明的。我来一个别的思路。
1.证明Gamma函数是满足下面条件的唯一的函数。
(1)对任意 有 ,且 。
(2)对任意 有 。
(3) 是凸函数。
2.证明函数 满足上面的条件。
有时间再写。