为什么许多问题几何性质很明确，但却还要证明呢？ 第1页

因为数学大厦不是建立在几何之上的。

不过这只是在说当下的数学。毕竟集合这个概念也只是一百多年前才提出的。

数学家需要预先挑选一些定义，命题和推理规则，作为预先设定的公理，就像是“起点”，然后利用它们导出其余结论。现在的数学体系使用集合论和数理逻辑作为起点。至于选择几何作为出发点的数学，也有，古希腊就是这么玩的。《几何原本》就是写这个的，大家可以去赏析一下～

不过这种方法的缺点显而易见。古希腊人要建起代数和算数结构就相当费劲了。毕达哥拉斯甚至因为根号2是不是数这个问题，而干掉了他的一个学生，不愧是引发了第一次数学危机的男人(◐‿◑)

总之，现在的数学不这么处理问题就是了。可能老师提醒过你，“用几何性质证明”不是证明。

（当然几何性质也不是没有意义的。可以当个Remark～）

上面这个是技术问题。

另外还有一个学习方法上的问题，就是不能对自己的直觉太过自信。

当然，人人都喜欢欧氏空间，喜欢连续，连续可微，光滑甚至解析的函数。性质好得一塌糊涂。

可问题是，怎么可能一直天上掉馅饼呢？

比方说，微积分里典型的“废话”，介值定理，大概就是一个连续函数 ，则任意 ，肯定存在一点 ，使得 。行，可以，这乍一看就是天然的成立的。问题是这是在温室里，在欧式空间里。那在别的空间呢？给一个抽象的拓扑空间，这个定理长啥样？或者说还成不成立？什么时候成立？

另外还有一个“废话”，最值定理，还是一个连续函数 ，那肯定存在 ，使得 ， 。很废话，是不是？那还是老问题，在一般的拓扑空间里它长啥样？

另外这两个定理还谈到了函数的“连续”这个概念。那什么是连续？当然如果你高数学的好，那 语言肯定就是张口就来了。那一般的集合上定义的某个映射，能谈“连续”吗？一堆散点上定义的函数可以“连续”吗？

有人可能会问，干嘛非要跳出欧式空间？有必要吗？emm... 从某种意义上是挺没必要的。虽然这个宇宙的时空可能是弯曲的，但至少我们的感知范围内它“几乎”就是个欧式空间。但是，数学还是有自己的初心的... 就不描述了，我一介理科生，语文造诣不行。总之就是情怀吧~只可意会，不可言传

比如在情怀的鼓励下，我们认识到了上面第一个定理本质上在说闭区间的连通性，第二个在说紧致性。

不过，回过头来，回到欧式空间，事情也没大家想得那么美好... 比如，什么是面积？什么是维数？当然如果你学过实变，你就会明白Vitali集是没有“面积”的（不是面积是0，也不是面积无穷大算不过来，是真的“不存在”），也会明白为什么雪花边的维数不是整数。导数几乎处处为0的函数可以不是常数，有处处连续处处不可导的函数...

总之等你回过神来，你才发现看似很乖的欧式空间其实是很皮的。（不说了，正为实变期末而发愁）

最后想粗浅地介绍一下数学是怎么引出大家都知道的那些定理结论的。

就从集合论出发吧。集合大概是少有的数学家承认的不加定义的概念。因为真的太基本了。

公理集合论建立起了一系列概念：并集交集等集合运算，映射，函数，等势等定义。特别地，定义出了自然数集。

再从自然数定义出整数，整数定义出有理数，有理数定义出实数，blabla

上面的流程可能需要一些特殊的结构作为辅助…集合上可以建立起代数结构，拓扑结构，序结构，度量结构，线性结构，blabla

注意：上面这些东西的导出完全没有用超出集合论能推导的范围之外的概念（其实后面也不会用）

然后才有了我们如今熟悉的缤纷的数学世界：算数与数论，线性代数，拓扑空间，人人都喜爱的欧氏空间，点线面，群环域，微积分blabla

然后终于到咱们课本里那些东西：介值定理，中值定理，还有其它一些看起来很像废话的结论。

为了接纳它们，数学走过了一段漫长的道路。所以说，为什么要把走过的阶梯拆了？