围棋有没有必胜策略？ 第1页

简单回答：存在必胜策略，可以证明存在必胜策略；但是人类现在没有找到必胜策略，在可以看到的将来也很可能找不到必胜策略。

解释：

“围棋是否存在必胜策略”这一问题其实是一个并不复杂的数学问题，不过其中有一个难点。

我们首先需要以下这个重要定理：

策梅洛定理（英语：Zermelo's theorem）是博弈論的一條定理，以恩斯特·策梅洛命名。定理表示在二人的有限遊戲中，如果雙方皆擁有完全的資訊，並且運氣因素並不牽涉在遊戲中，那先行或後行者當一必有一方有必勝/必不敗的策略。若運用至國際象棋，則策梅洛定理表示“要麼黑方有必勝之策略、要麼白方有必勝之策略、要麼雙方也有必不敗之策略”。

以上是策梅洛定理的非正式陈述。严格的陈述涉及博弈论的一些术语，稍微复杂，不过在这里非正式陈述就足够了。注意到，和国际象棋一样，围棋也是“二人、完全资讯、不涉及运气因素”的回合制游戏。

这里唯一有可能产生争议的地方是围棋是否为“有限游戏”，即一盘围棋是否总会在有限步之内结束。这个小问题涉及到围棋规则。目前围棋界有中国规则、日本规则、韩国规则、应氏规则等主流规则，也有美国规则、新西兰规则等改进版。这些规则中，除了数目和数子的差异之外，另一个主要差异在于“禁全同”，即是否“禁止全局同形再现”。而围棋规则研究者、数学家和计算机科学家一般公认采用“禁全同”的中国规则和类似规则（美国、新西兰）为逻辑自洽的规则，而日本、韩国规则有逻辑上的缺陷。

２００２中国现行围棋规则
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第一章　总则
第６条　禁止全局同形
着子后不得使对方重复面临曾出现过的局面

以上即所谓“禁全同”规则。关于“禁全同”可能造成的所谓“悖论”，请移步

。

严格采取“禁全同”的中国规则下，三劫循环不判和，而等效于打一个单劫。包括长生、双提二子等特殊棋形类似。这样一来，与3又3/4子的贴子（贴目）一起，和棋（无胜负）就不可能出现了。（当然现有中国规则在执行中仍然将三劫循环判为无胜负，这只是一个暂时的妥协。）

同时，围棋就变成了一个妥妥的有限游戏。事实上，计算机科学家已经给出了一个（19路）围棋所有可能局面的上界：2.08*10^170 （

）。

那么我们已经解决了采用策梅洛定理的所有小前提。根据策梅洛定理，在02版中国规则（黑贴3又3/4子，严格禁全同）下，对于19路围棋，以下两者之一有且只有一个成立：

1、黑方（先行者）有必胜策略；

2、白方（后行者）有必胜策略；

注意到，因为贴目（3.75子/7.5目）为非整数，和棋不存在，所以必不败策略等价于必胜策略。

那么到底是1还是2成立呢？我们不知道，也许我们很久以后也不能知道。

要证明其中之一成立，需要对围棋的游戏树进行穷举。然而10^170仅仅是局面（position）的数量而已，游戏树（棋局总数）是对所有局面的排列，不知道大到哪里去了，穷举谈何容易！在计算机产生革命性的变化之前恐怕是不用想了。

然而，我们可以做出这样一个大胆的猜测：

存在一个非负整数X, 使得：

1、当贴目小于X时，黑方有必胜策略；

2、当贴目大于X时，白方有必胜策略；

3、当贴目等于X时，双方最佳应对，结果是和棋。

直观上这很可能是对的，不过我不会证。

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我尝试证明一下，不知道对不对。第一遍阅读以下部分可以直接跳过，哈哈

事实1：贴目为-361目（即白贴黑361目）时黑棋不败；

事实2：贴目为361目时白棋不败；

定理（策梅洛）：当贴目值为Y时（Y为任意整数），以下三者有且只有一个成立：

a）黑棋有必胜策略；b）白棋有必胜策略；c）黑白双方均有不败策略，即最佳应对下双方为和棋。

引理1：假设贴目为X时黑棋有不败策略（X为任意整数），那么贴目为X-1时黑棋有必胜策略；

同样地，假设贴目为X时白棋有不败策略，那么贴目为X+1时白棋有必胜策略。

证明：假设贴目为X时黑棋有不败策略，即存在一个黑方策略，使得（无论白棋怎么下），黑方至少盘面X目；那么黑棋在贴目为X-1时采取同样策略即可获胜。

推论1：假设贴目为X时双方均有不败策略，那么贴目小于X时黑方有必胜策略，贴目大于X时白方有不败策略。

证明：数学归纳法

引理2：假设贴目为X时黑棋有必胜策略，那么贴目为X+1时以下两者有且只有一个成立：

a）黑棋有必胜策略；b）黑白双方均有不败策略；

证明: 假设贴X目黑必胜。那么对于黑棋，存在一种策略，使得不管白方怎么应对，黑方在终局时都能够至少盘面X+1目（否则贴X目黑棋不是必胜）。那么在贴X+1目的情况下，黑棋只需采取相同的策略就可以至少保住和棋，即白方不能必胜。

定理：存在一个整数X（-361<X<361）, 使得：

1、当贴目小于X时，黑方有必胜策略；

2、当贴目大于X时，白方有必胜策略；

3、当贴目等于X时，双方最佳应对，结果是和棋。

证明：假设不存在这样的X。根据事实1和引理2，可以得出当贴目Y满足（-361<Y<361）时，黑方均有必胜策略（否则根据引理2，存在某一个Y，黑白双方均有不败策略，再根据引理1，该Y就是所求的X）。即贴目为360时黑方必胜，贴目为361时白方必胜。这又与引理2矛盾。故假设不成立，证毕。

这里只能证明X是一个整数，而不是正整数。虽然直观上看X几乎一定是个自然数，但是想要证明黑棋在不贴目的情况下有不败策略好像也很难（还是不可能？）。注意模仿棋可以被轻易破解。

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从现在棋手胜率的统计来看，这个X很可能就在7-8左右。

“柯洁认为贴6目半都多了。。仅供参考”

然而我们已经确定的是什么呢？

First player scores MxN Go

19路不知道谁赢，小棋盘总知道谁赢吧。

从1*1到5*5的棋盘，包括一些长方形的（5*6,2*10, 等等)棋盘，学者已经通过穷举找到了上述的X值，都在以上链接里。不管怎么样，这也是一个进步吧。有关于小棋盘上围棋的拆解，可以移步一下答案。

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插播一篇文学作品。刘慈欣《诗云》节选

　　“那好，我就让你这个白痴虫子看看它有多么精练！” 大牙说着走到桌前，用爪指着上面的棋盘说：“你们管这种无聊的游戏叫什么，哦，围棋，这上面有多少个交叉点？”
　　“纵横各19行，共361点。”
　　“很好，每点上可以放黑子和白子或空着，共三种状态，这样，每一个棋局，就可以看作由三个汉字写成的一首19行361个字的诗。”
　　“这比喻很妙。”
　　“那么，穷尽这三个汉字在这种诗上的组合，总共能写出多少首诗呢？让我告诉你：3的361次幂，或者说，嗯，我想想，10的172次幂！”
　　“这……很多吗？”
　　“白痴！”大牙第三次骂出这个词，“宇宙中的全部原子只有……啊——”它气恼得说不下去了。
　　“有多少？”伊依仍然是那副傻样。
　　“只有10的80次幂个！你个白痴虫子啊——”
　　直到这时，伊依才表现出了一点儿惊奇：“你是说，如果一个原子存贮一首诗，用光宇宙中的所有原子，还存不完他的量子计算机写出的那些诗？”
　　“差远呢！差10的92次幂呢！再说，一个原子哪能存下一首诗？人类虫子的存贮器，存一首诗用的原子数可能比你们的人口都多，至于我们，用单个原子存贮一位二进制还仅仅处于实验室阶段……唉。”
　　“使者，在这一点上是你目光短浅了，想像力不足，是吞食帝国技术进步缓慢的原因之一。”李白笑着说，“使用基于量子多态叠加原理的量子存贮器，只用很少量的物质就可以存下那些诗，当然，量子存贮不太稳定，为了永久保存那些诗作，还需要与更传统的存贮技术结合使用，即使这样，制造存贮器需要的物质量也是很少的。”