如何看待京都大学的望月新一教授证明「ABC 猜想」，发表在其主编的期刊上？ 第1页

1799年，在埃及尼罗河西河口的罗塞塔附近发现了一块石碑，现被称为“罗塞塔石碑“，高1.14米，宽0.73米，制作于公元前196年，其碑文是用象形文字、古埃及通俗文字和希腊文字三种不同的文字刻了同样的内容，这使得近代的考古学家得以有机会对照各语言版本的内容后，解读出已经失传千余年的埃及象形文之意义与结构，而成为今日研究古埃及历史的重要里程碑。

罗塞塔石碑

1940年，伟大的数学家安德烈·韦伊因拒绝参战而在法国被捕入狱。 在狱中， 韦伊给妹妹西蒙娜·韦伊 ——一位著名的哲学家和人文主义者——写了一封信， 这封信非常重要。 在信中，韦伊提出了现代数学的“罗塞塔石碑”：

我的研究目的是破译用三种语言写就的文本。 在这三个领域中， 我只有一些支离破碎的知识。 我对这三种语言分别有一些理解， 但是我也清楚这三个轨道彼此之间在内涵上存在巨大的分歧， 我到目前为止还没有充分掌握这些分歧。 经过几年的研究， 我只积累了一些知识的碎片， 这还不足以编纂出一本完整的翻译字典。

扯了这么多，现在回到题目上，我们知道ABC猜想很困难，它是位于“数域世界”的一座高峰，或许我们应该看看在另外平行世界——“函数域世界”——的”ABC猜想“。经验表明，“函数域世界”通常是更容易理解的，而且能启发我们对“数域世界”的理解。

（“函数域世界”的ABC猜想）设 （后面均简写为 ）是复数域 上的互素的多项式，不全为常数，满足 ，那么

其中符号 表示多项式 的次数， 表示多项式 在复数域 上不同不可约因子的乘积。（由代数基本定理可知 就是多项式 所有不同根的个数 ）

这个被称为

Snyder 在 2000 年（当时是哈佛的一个本科生）给出了一个简单的初等证明如下：

1. 对 等号两边求导可知 ；于是 这表明最大公因式 均整除 。
2. 式子 不为 ，反证法：如果 ，则 ，但 和 互素，故 ，这表明 ；由 同理可证 ，所以 ，这与题设矛盾。
3. 由 和 以及多项式 互素可知
4. 把 中式子左端移到右端，再两边加上 可知
5. 我们需要一个事实：设 是一个非零多项式，则 ，其中 表示 不同根的个数。证明如下：不妨设 ，由求导乘积法则 ，于是 ，同理可证 ；因此 ，由于 非零，计算两边的次数得证。
6. 对 用事实 可知

就好像在数域世界中ABC猜想可推出费马大定理那样，在函数域世界我们也可以做同样的事情：

（“函数域世界的费马大定理“）：设 是复数域 上的互素的多项式，不全为常数， 是一个大于 的正整数，如果它们满足 ，那么 .

证明：我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。

（你可以在Serge Lang 的《Algebra》 P195 找到两行的证明；顺便可以参见这一节Serge Lang对ABC猜想的介绍）

我们可以看到，在证明中起到关键作用的是可以对多项式取”形式导数“。但是数域上没有这玩意，怎么对一个整数”求导“？如果能在数域世界找到对应函数域世界的”形式求导“的东东，那么ABC猜想将是平凡的，就好像上面我们所作的那样。这启发了数学家对”算术导数“的研究，例如 Buium 的书：

数论学家有一个梦想，就是发展一套绝对几何学 来处理数域的情形：

-几何蓝图

当然这仍然是猜想性的，如果可以做到的话，也许就可以构造”正确“的“算术导数“——函数世界求导的类似物——那么就能证明ABC猜想。例如如下论文就描述了一种如何用 -几何证明ABC猜想的策略：

Alexander Smirnov. Hurwitz inequalities for number fields. Algebra i Analiz,4(2):186{209, 1992.

据说望月新一的证明也用到上述 -几何的思想：cf. [Moc12, Remark III.3.12.4 (iii)] and [Moc15, Remark 5.10.2(iii)].

[Moc12] Shinichi Mochizuki. Inter-universal Teichmüller theory I–IV. Preprint, 2012.
[Moc15] Shinichi Mochizuki. Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms. J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 22(4):939–1156, 2015