首先需要指出的是多项式的系数到根的映射并不是定义良好的,因为它可能是多值的。 具体地说,代数基本定理告诉我们 次多项式 在复数域 上有 个根 。用 表示多项式的系数到根的映射。如果直接将 定义成多项式的系数映射到根的序列,那么比如说 的值可能是 或 或 任一排列。这里的原因是没有一个简单的顺序来排列多项式的根(还保持连续性),当然你可以强行定义一个顺序,但这样不一定能保证 是连续的。事实上,不能可能存在连续的映射 将多项式的根映到系数。比如考虑多项式 , 是复数,当 单位圆上变化时,我们看到这个多项式的两个根(即使允许排列)也不可能连续变化,感谢评论@王筝指出。但我们可以模掉排列这个等价关系,将多项式的系数到根的映射看成 到 的映射,即定义
这里 表示 元对称群。这样定义的 可以是连续映射。
下面我们来证明映射 是连续的。首先可以验证 上的商拓扑可以由下面度量诱导
这里 是 上的标准范数。将这个度量下函数 的连续性翻译成 语言就是对于给定的 ,存在 ,对于多项式
满足 ,存在排列 使得 ,这里 和 分别是 和 的零点。
映射 的连续性可以使用Rouche定理,回忆一下复分析中Rouche定理说的是
(Rouche 定理) 如果复函数 和 在一个闭曲线 内部及边界全纯,满足
那么 和 在 内部零点个数相同,这里零点按重数计算
现在考虑多项式
设 是它的一个零点 ,要说明 是连续的,我们需要证明对于 ,存在 ,对于多项式
满足 ,在以 为圆心半径为 的圆 内, 和 的零点个数相同。
我们可以假设 小于 到 其他零点的距离,这样使得 在 上没有零点。因为 是紧的,因此 在上面存在最小值 。
另一方面,令 ,那么在 上,我们有
如果选择 ,那么在上, 。因此根据Rouche定理 和 在中零点个数相同,这样就完成了证明。