数列{tan n/n}有界吗? 第1页

同样，我也没彻底解决这个问题，但我可以提供一个思路。

首先，我们有如下引理：

引理：

（ Hint: 对 的 Weierstrass无穷乘积取对数导数即可证明。）

于是，对给定的 , 我们有：

记 , 不难验证我们有：

当 时，

当 时，

因此我们可以考虑将 式中的求和分成三个部分：

而且，根据上面的估计，我们有：

换言之，我们有如下命题：

命题：对任意自然数 , 记 , 并记：

则 .

根据上面这个命题，我们有：

推论：数列 的有界性，等价于数列

的有界性。其中， .

接下来应该就是超越数论的内容了。这等价于回答下面这个问题：

如果我们希望 和离其最近的整数之差不超过 的话， 至少需要多大？

感觉上， 的超越性应该蕴含着，当 很小的时候， 是不可能和某个整数离的很近的。反之，当它和某个整数离得非常近的话， 应该会很大。

目光回到 式。当 的绝对值很小的时候，意味着 离 很近，于是 会很大，此时 是一个绝对值很大的负数（因为它的分母很小），而 则是一个很大的正数（因为 很大。这可以证明。）二者能否抵消，便成了 是否有界的关键。类似的的，当 很小的时候，意味着 离 很近，那么相应的， 也会很大，从而第一项的绝对值也会很大。同样，二者能否抵消便是关键所在。

但很抱歉，我对超越数论等内容并不熟悉，所以没法继续做下去了。如果想顺着这个思路做下去，就是要回答我刚刚提出的问题...