如何证明这个复分析问题？ 第1页

这题小喵知道两种证法，一种办法是找答案，因为题述的f必须是旋转、反演或他们的复合，我们只要证明这一点当然也就证明了这题结论，参见https://math.stackexchange.com/questions/133578/when-can-we-find-holomorphic-bijections-between-annuli 。另外一种办法就是直接证明f一定能延拓为连续到边界的函数，这个可以参考Walter Rudin，Real and complex anaylsis（实分析与复分析） Theorem 14.18 (证明要用到Hardy空间理论，很难懂，慎入)，或者在target set是disk的时候（不cover你的case）参见史济怀复变函数定理7.3.1（边界对应定理），或者也可以参看小喵下面的证明（完整证明太麻烦了，小喵这里只提供一个sketch）：

记 、 . 我们只需要证明对任意 ， 都存在即可。也就是要证明对任意到z距离小于 的a、b， 、 都很接近即可。

观察下面的图片，我们假设a、b距离很近 （ ），但是 、 距离很远（ ）.

我们假设有一条线段[a,b]（上图所示左边圆环中绿色线段）连接a、b，且其长度小于 。但是它在f的像集 很长， 、 距离约为M（ 为上图中右边环面中的绿色线段，它本应是曲线，简单起见我们画成直线）。

考虑 f 的旋转 ，[a,b]在 下的像集 如上图红色线段们所示。其中 取的足够小使得 、 相交 ， 、 相交。。。（不见得非得首尾相接，相交即可）。

再考虑 的反演 , [a,b]在 下的像集 如上图褐色线段们所示。

令 、 、 ，考虑 。和 f 相反，G、g、 将右边圆环应到左边圆环。考虑上图中紫色阴影区域（红色线段和褐色线段所围成区域），注意到 ，容易证明在这个区域边界上 ，所以由最大模原理在区域内部也有 。固定一内点 ，注意到 可以任意小，令其趋于0我们得到 . 故存在 使得 或者 。这是不可能的，因为 、 都是双全纯映射，它们不可能将内点 映到边界点 .