晾一件刚洗的衣服，有可能计算出每滴水落地的时间间隔吗？ 第1页

分析与假设

从微观的角度看，刚洗的衣服的纤维储藏着大量水分，我们假设每根竖直的纤维之间不存在水分的交流（就算有，总体上也是出入相抵），于是我们只需要研究单根浸湿纤维滴水的情形即可。假设纤维水分分布初始状态是均匀的，然后受到重力的作用，水分沿着纤维下落，在末端聚集，当水滴足够大时，由于超过纤维对其的吸力而脱落。由于脱落的瞬间带走末端大量水分，于是在纤维末端重新聚集水滴……

我们模型假设有：

• 纤维为圆柱状，截面面积为 ；
• 纤维的阻力加速度为常值 ；
• 液滴下落的重力阈值为 ；
• 纤维内的小液滴大小一致，且初速度为零。

加速阶段

因为纤维内初速度为零的小液滴在初始时刻受到的合外力是一样的：重力减去纤维的阻力，于是纤维上的液滴在接下来的时刻速度始终一致，也就是说流量 在纤维处处一致，于是在纤维的末端截面 ，可以得知

设液滴下落的重力阈值为 ，则

通过解该方程，我们能得到时间阈值 ，这也是我们的目标。于是完成第一次水滴积累的水分，来自于在 内能流到纤维末端的水分。我们把时间 等分 份，每份为 ，那么第一批水分到达末端时的速度为：

第二批水分来到末端时的速度为：

……

令 ，我们得知关于 的函数表达式：

代入到 得到

再将上式代入到 式，得到

这些量都是可以通过测量得到的，比如阻力加速度 可以比较水滴自由落体运动和在纤维中的运动，从而解出阻力在其中的影响。

至于第二滴落下去的水，

其中 ， 是二次方程 的解，

易知 。这个阶段我们称之为加速阶段，即水滴越滴越快，甚至涌流如注，此时纤维中的水分非常充分，就和水管没有分别。

但是当纤维中的水分不是很充足时，显然上面的模型不再适用。

减速阶段

为了修正模型，我们需要考虑纤维中水量对于液滴流速的影响。水量充足时，大量液滴与纤维接触较少，更多地是液滴之间的接触，摩擦力较小；水量不足时，大量液滴直接与纤维接触，摩擦力逐渐上升。于是我们假设水量越少，摩擦越大：

于是损失第一滴水量后，

带入到方程 时

推而广之

R 语言程序

       #知乎问题：湿衣滴水时间间隔 T <-function(n, k = 10, Q = 0.3) {     if(n==1)return(1)     T = 1     for(i in 1:(n-1))     {         k = k - Q         T = sqrt(T*T+1/k)-T     }     T }  look <- function(N) {     x = 1:N     y = c()     for(i in x)y[i]=T(i)     plot(x, y, ylim = c(0,1.5), xlab = "n", ylab = "time gap", pch = 19, col = "blue") }  look(34)     

最近知乎不能插入图片，就请诸位自己在 上运行这段代码。

结论

我大致描述一下这个图像：

起初散点略有些波动，但是往后立即变得平稳起来，早期增长缓慢，水滴时间间隔几乎一样。但是进入后期，时间间隔迅猛增加，最终到达无穷，这意味着衣服的水分不足以汇聚成水珠，最终停止滴水。

这个结果还是比较合理的（虽然这个模型很弱智、过度简化）。

知乎好了，能插图片了。