是否存在这样一个非常数函数，定义域是实数集或其子集，值域仅为有理数集子集？是否有这样的函数是连续的呢？ 第1页

是否存在这样一个非常数函数，定义域是实数集或其子集，值域仅为有理数集子集？是否有这样的函数是连续的呢？

如果 的定义域是一个区间的话，那么如同题主所说，根据介值定理不存在这样的连续函数 。但如果 的定义域不是一个区间呢？考虑如下函数：

定义在 上，且 ，则 是连续函数。

这个确实符合题主条件，但也毕竟还算是分段常数。那我再举一个更加微妙的例子。

首先我们来看一下rudin给的连续函数的定义：

可以看到如果 是定义域的孤立点，那么 自动就在 处连续。所以举一个相当无聊的例子：

数列可以看成 的映射。在这个意义下，所有数列都是满足题意的连续函数，毕竟整数都是孤立点嘛。

举一个真正不平凡的例子吧：

（就是说 的定义域是 并且 ）

如果代入以上定义也会发现 是连续函数。

当然你会争辩道：不对啊，我记得当时连续函数是要求定义在一个邻域内定义的。这个确实是因为不同地方采用不同的定义。不过我们要记住，连续本质上是一个拓扑概念。如果意识到这一点，也会发现这个题目的答案可能不是唯一的，这取决于我们要装备什么样的拓扑（怎样定义开集）。比如采用最通常的方式：把 视为度量空间（度量 ），那么这就诱导出 上的度量拓扑。然后 视为 的子空间拓扑。为了验证 是连续函数，只需验证 上每个拓扑基的原像是 中的开集就行了。任给一个 中的拓扑基 （其实就是开区间），其原像是 ，根据子空间拓扑的定义知 是 上的拓扑基，那当然也是 中的开集了。因此 就连续了。（其实在这个拓扑下连续的含义和rudin书中连续的定义是一样的）