任意给一闭合光滑平面曲线，该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零？ 第1页

首先对于原问题，这个问题是说对于每个点受到一个若干大小的力。这样绕着曲线一圈求和，相当于对不可数个向量求和，如果考察分量的话，相当于要对不可数个实数相加，而这并没有良好的定义。因此对于这个问题无法回答，除非给出不可数个实数相加的定义。

但是可以对于这个问题略加修改。在物理中有“压强”的概念。我们可以假定，对于单位长度的曲线段，总受单位法向量的力。比如，考察一条线段，单位长度总受法向量 的力，那么长度为 的线段，所受合力就是积分 。对于曲线，在局部而言（即曲线段很小的时候）可以近似看成是直的，这一小段受的合力就是相对于这一小段长度的那么长的法向量。把各个小曲线段的合力加起来就是整个曲线受的总的合力。因此也可以用如上的积分去计算。

在这个意义下，题主的命题是对的（当然，题主还有一点没有说明。必须还要假定这些法向的力都指向曲线的同侧）。下面是证明。

设闭曲线 ： 。让曲线按长度参数化，即 。设在 处的单位法向量是 （都指向内侧或外侧），则由切向量是 可得单位法向量是 。因此 是光滑函数，即确实指向的是曲线的同侧（否则不会光滑），并且有