f'(x)=f(f(x))这类迭代常微分方程是否有相应的方法求它们的性质？ 第1页

正如Mathoverflow回答里说的那样，“Nothing is new under the Moon...”，这个问题在Mathoverflow^[1]和StackExchange的Mathematics^[2]版都被问过了，而且即使是Mathoverflow也是给出了这个问题在AoPS Online的大学数学社区里的回答^[3]。实际上这一类“迭代函数”的微分方程，Mathoverflow上该问题^[1]的一个回答给出了该问题相应的求解技巧的来源——陈的论文^[4]综述了迭代函数微分方程的光滑解的求解技巧。包含形如 项（以及包含有限次迭代的项）的微分方程问题学术上被称为Iterative Functional Differential Equations，即迭代函数的微分方程，即对于

如下方程为迭代函数的微分方程：

迭代函数是在分形和动力系统中深入研究的对象，迭代函数的微分方程是动力系统的重要课题。这一类问题相关的文献相当的多，例如专门归纳研究这一类问题的教材^[5]，这已经是90年代的老书了。

至于为什么你本科的常微分课本不教，嘛，这是研究生课程，而且方向不涉及微分方程的都不会碰的这个的，你不学是正常的，微分方程是很难的学问，如果还掺进了迭代函数，那就别想有几个人及格了。你没发现，当分析、代数、几何、拓扑等学科都在系统地建立知识体系的时候，微分方程的课却往往只是抛给你几个“形如XXX的微分方程”么？因为这门课水太深了。

就这个问题而言，AoPS Online的回答^[3]最为详细，如果有空我再翻译，否则还是请题主学点英语（捂脸）。不过这个问题在Mathoverflow^[1]的一个简单回复我还是可以翻译一下的，尽管我不是做方程的，不过翻译一下简单的回复还是可以做到的，这个问题有两个闭式解：

.

对于一般的情形，即 有解

其中 和 是方程组

的解.

这个回答来自于Anixx (https://mathoverflow.net/users/10059/anixx), Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL (version: 2012-11-01): https://mathoverflow.net/q/111096^[6]

同样这名答主还给出了基于泰勒级数的通解所具有的形式^[7]。一样是有空再翻译吧（捂脸

最后知乎里应该还是有不少做动力系统的童鞋的，他们应该比我答得好，我就做了点苦力搜了搜文献，抛砖引玉。写了半天发现评论区有人找到了啊，来，找他答吧，这不就逮着一个做方程的 @Lewis Liou

参考

1. ^ ^{a b c} https://mathoverflow.net/questions/111066/are-there-any-techniques-for-solving-a-differential-equation-of-the-form-f-x
2. ^ https://math.stackexchange.com/questions/916967/how-do-you-solve-fx-ffx
3. ^ ^{a b} https://artofproblemsolving.com/community/c7h321705
4. ^Cheng S S. Smooth solutions of iterative functional differential equations[J]. Proceedings, pp, 2004, 228: 252. http://faculty.kfupm.edu.sa/math/akca/papers/cheng.pdf
5. ^ Kuczma M, Choczewski B, Ger R. Iterative functional equations[M]. Cambridge University Press, 1990.
6. ^Anixx, Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL(version: 2012-11-01): https://mathoverflow.net/q/111096
7. ^Anixx, Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL (version: 2012-11-02):  https://mathoverflow.net/q/111179