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任取两个大于 2 的整数,其互质的概率是多少? 第1页

  

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首先,易知(不严格地),在大于 的自然数中任性选一个数,则其为偶数的概率应该是

而在大于 的自然数中任选两个数,则它们有公约数 (即两个数均为偶数)的概率应该是

那么在大于 的自然数中任选两个数,则它们没有公约数 的概率就是

同理,在大于 的自然数中任选两个数,则它们没有公约数 的概率是

在大于 的自然数中任选两个数,则它们没有公约数 的概率是

以此类推,在大于 的自然数中任选两个数,则它们没有第 个素数公约数 的概率是

而要是这两个数互质,则所有素数都应该不是它们的公约数,这样,它们除了 外再无公约数,因此,在大于 的自然数中任选两个数,则它们互质的概率是

其中 为第 个素数。

而由 乘积公式可知

因此




  

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