如何证明环面T2不能嵌入到球面S2中? 第1页

著名的区域不变性告诉我们：

若 是 中的开集并且 是一个嵌入，则 是 中的开集。

作为推论我们有：

若 是紧的 维流形， 是连通的 维流形，则任何一个嵌入 是满的（当然也是一个同胚）。

这是因为由于 紧且 Hausdorff，所以 闭，又由区域不变性定理即知 开，由 连通即知 满。

套用一下立刻就得到如果有 的嵌入那它自动成为同胚，但显然 单连通而 不是，这就产生了矛盾。

废话

由熟知得

定理I

对于 ，有

定义 为 ，其中 和 分别为 到 和 上的投射，故 是同态.

对于 ，作 中的闭路 ，则 ，同理 ，于是 ，故 是满同态.

设 ，则有 ，定义 ，易知 ，故 是单同态.

结合 可得 是同构.

定理II

二维以上的球面 均为单连通.

设 ， 是 的开集，且 单连通， . 记 ，则 是 的开覆盖. 记 是其 数，取正整数 ，等分 为 小段 ， . 设 是所有不在 中的区间，则有 . 设 ，由于 单连通，则有 . 作道路

作

则 . 故 .

对于 ，取 ，记 ，则 单连通， 道路连通，故 是单连通的.

证明

由定理I得

又由定理II可得

由于基本群是拓扑不变量，故

好像说了一大堆废话（恼

法一

库拉托夫斯基定理(Kuratowski's theorem)

图 是平面图，当且仅当 不包含完全图 和完全二部图 的细分

当图 包含一个Kuratowski graph时，其亏格

完全图 的亏格公式为

完全二部图 的亏格公式为

详见Graph Genus -- from Wolfram MathWorld

由上述公式可知 ，故 和 是不可平面的.

事实上， 可嵌入环面 中， 可嵌入Möbius带面中，如图所示：

事实上我们只需证明 的情形即可.

引理一

设简单平面图 有 个顶点、 条边和 个域，则有

由平面图的欧拉公式 得

因为图 是简单图，则每个区域的度至少为 ，即 ，故#式整理可得

假设 是可平面的，将 代入引理一的公式得到 ，矛盾！

故 是不可平面的.

推论：设图 的连通分支为 ，则有 ，且

同理可得 也是不可平面的.

小蓝本(奥林匹克小丛书)图论的第七章平面图也介绍了该定理：

引理二

一个图可以嵌入平面当且仅当它可以嵌入球面.

利用连续球极平面射影即可.

如图：

设球面 的北极点为 ，平面 与球面的南极点相切. 任取球面上一点 ，射线 ，定义映射 . 则有 ，且 显然是可逆的，故

因此总能找到图 在球面 上的一个嵌入 ，使得北极点 不在图 上，此时 经过映射 在平面 上形成的像即为图 的一个平面嵌入.

证明

假设 可以嵌入 .

由于 可以嵌入 ，则 可以嵌入 ，故由引理二可知 也能嵌入平面 ，又由引理一得 不能嵌入 ，矛盾！

故 不能嵌入

法二

事实上，每个紧致曲面都不能嵌入 中

我们可以利用 的紧性来证明

环面的紧性

由于 是 上的有界闭集，所以 是紧集；

由Tychonoff定理可知 也是紧集.

证明

定义

由于 是紧致的，故 是闭的

若 是单射，则每一个小邻域 的限制也是单射

由区域不变性可知 是开的，因此 是开的

由于 是 中唯一的既开又闭的非空子集，故矛盾！

故 不能嵌入 ，即 不能嵌入

参考文献

[1]熊金城. 点集拓扑学讲义[M]. 北京: 高等教育出版社，1997.

[2][美]亚当斯. 拓扑学基础及应用[M]. 沈以淡，译. 北京: 机械工业出版社，2010.

[3]尤承业. 基础拓扑学讲义[M]. 北京: 北京大学出版社，2004.

[4]Kuratowski Kazimierz. Sur le problème des courbes gauches en topologie[J]. Fund. Math., 1930(15): 271–283.

[5]Chernoff, Paul R. A simple proof of Tychonoff's theorem via nets[J]. American Mathematical Monthly, 1992, 99(10): 932–934.