如何用初等方法证明k阶齐次线性常系数递推数列的通项公式？ 第1页

以题主 @inversioner 的数学水平，想来对这个问题是没什么困难的

不过既然问了这个问题，并且提到初等方法，我就写一个让绝大部分中学生也能看懂的证法吧，正好这个初等证法我最早也是在中学时自学线性代数时搞出来的

其实关于k阶齐次线性常系数递推数列的通项公式的证法，虽然有不少种，但本质上就两大类

其中一大类，就是把初等证法线性代数化，用代数的语言，引入矩阵、行列式、位移算子、差分算子，来重新描述证明过程

比如周义仓、曹慧、肖燕妮《差分方程及其应用》中，就记载了用位移算子和差分算子的方法证明过程

实际上这里的关键就是

递推数列：

其中 ， 是常数，

如果它的特征方程

它的 个特征根 无重根

那么它的任意一个特征根 （ ）

的 次方

是递推式：

的一个特解

我想，最早给出初等证明的前辈，应该和我当时一样，也是发现这一点，受等比数列启发，才找到这步构造方法

当然这里就不可避免的涉及到一些线性代数的思想

比如对于齐次线性递推数列，在不考虑初值的情况下，它的几个解的线性组合仍然是它的解

这样才能保证最后给出通解

另外，像 这样的特解，其实就是解空间的基底

最后，证明通解形式的唯一性，还是不可避免得用到线性代数中的范德蒙德行列式

我那个回答主要是为了回答斐波那契数列的问题，因此就没有写含有重根的情况，在这儿简单补充一下

假设特征方程

它有 个互不相同的特征根

它们的代数重数分别为

满足 （ ）

并且

那么这个递推数列：

的通解将会是这样的形式：

其中 （ ， ）是任意常数

这里的关键是证明

如果特征方程

它的任意一个特征根 （ ）的代数重数为

则

全都是递推式：

的特解

这个结论的证明需要用到线性代数中的一个定理：

但是很显然，这个定理的证明非常简单，是普通中学生都能轻易看明白的

运用这个引理一代入，结论是很显然的

最后同样要证明，这 个特解构成的通解形式是唯一的，同样也是像无重根的情况下一样，用线性方程组的系数矩阵的行列式不为0来证明，这里的系数矩阵的行列式是广义范德蒙德行列式

（证明略）