有哪些在你的数学领域里很有用的技巧？ 第1页

谢邀。

我学的数学领域是微分几何，我下面说的那些东西还是需要黎曼几何的基础才能看懂的。主要是我学的这个小方向（正曲率）会用的一些trick。

Thorpe's trick：假设一个流形M带positive sectional curvature，那么存在一个4 form w,使得 把w和M的curvature tensor加起来以后，得到的那个 到 的operator是positve definite的。（注：curvature operator being positive是个比positive sectional curvature强的条件（我一开始也没想明白，老板指点了一句话以后茅塞顿开，所以我也让大家先想想这两个条件的区别在哪哈哈）。用Ricci flow的方法可以证明带positive curvature operator 的流形一定是spherical space form。这个技巧是说如果假定positive sectional curvature，那么可以修改一个curvature operator，使得它变成正定的。我老师说这个技巧特别有用，虽然我现在还没怎么用过。。）

Toponogov comparison:就是曲率有下界的时候，有一些对测地三角形的边边角角的比较。特别地，正截面曲率空间中的测地三角形的内角和严格大于 .这个事实很有用，可以用在，比如说“带对称性的正曲率流形的分类”。

q-extent：给定一个度量空间X , 所谓的q－extent是指：在X里取q个点，求出它们两两之间距离之和，然后让q个点变动，求距离之和的最大值，就是所谓的q-extent。q=2的时候就是直径。通过这计算这个量，然后和上面的Toponogov comparison结合起来，可以证明，比如说，Hsiang-Kleiner theorem。我现在也在沿着这个思路试图分类更高维的正曲率流形。

Frenkel theorem：一个正截面曲率流形维数为n，两个完备的全测地子流形维数分k1,k2.如果k1+k2>=n，那么这两个子流形一定相交。这个定理一般是用来反证，也就是假设要证的东西不成立，据此构造两个全测地子流形且不满足条件，得出矛盾。全测地子流形怎么构造呢？一种常见的做法是取 fixed point set of isometries.

Soul theorem：soul theorem在揭示正／非负曲率流形的结构方面有很大的威力。它本质上反映了距离函数的凸性（convexity of distance function）。我现在感兴趣的是Alexandrov space/orbit space上的Soul theorem，因为我上面提到了群作用，我现在要考虑群作用的商空间M/G，对M/G应用Soul theorem，可以探测M/G的拓扑结构，从而反过来探测M本身的拓扑结构，以及群作用的信息。

然后还有一些表示论的东西。因为要考虑群作用，所以李群的表示，作为流形上的群作用的“线性化”，也就成为研究 局部作用方式 的基本工具。基本的结论，比如SO(3)的不可约实表示出现在奇数维，每个奇数维各有一个，以及具体的作用方式，都是很有用的结论。

上面说的是正曲率里面用的比较多的一些技巧。现在再补充一个一般情形下的微分几何里的技巧：Bochner type technique.这个东西太有名了，不过我了解得不多，夏铭辰好像学得比较多，可以问问他。

最后说点自己的感想：PhD读了3年，发现自己还是更适合做具体的（而不是抽象的）数学。。抽象的数学，比如代数几何啊，虽然结论看起来很高深，很强大，但是毕竟看不懂学不会啊。。我现在还是喜欢用一些比较“古典”的、比较几何的、“看得见”的东西去做数学，这样我才感觉自己做得动。几何分析那套东西么，可能也会用到吧，但是玩估计玩不等式，大概也不是我的菜。。