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没有基的线性空间,是否可以构造,如何构造? 第1页

  

user avatar   dhchen 网友的相关建议: 
      

谢邀:你这个问题在MSE上已经被讨论过了:

Vector Spaces and AC

最重要的知道“任何一个向量空间都有基”和“选择公里”是等价的。 Andreas Blass 在1984年证明了如果“任何一个向量空间都有基”那么“选择公理”成立。

不承认选择公理有两种情况:1,假设它是错的,2.不去理会它的对错,独立于它。

1.假设“选择公里是错误的”(这和不假设选择公里是两回事),那么你自然可以构造出一个没有基的向量空间。因为它们是一回事。也就是说你只能通过假设来证明这个空间存在。

2 首先,离开选择公理后,你需要选择一个公理系统,这个系统独立于选择公理论,不去假设它的对错,那么抱歉,你自然无法证明这个命题"一个线性空间是否一定有基",因为这个系统是独立于选择公理的。我们常见的系统ZF被证明是独立于选择公理的。 这也就是在我们默认的公理系统ZF下,你无法证明是否存在一个没有基的向量空间。自然你也不可能构造出反例。

下面是 Andreas Blass 的论文

math.lsa.umich.edu/~abl

不只是这个命题,下面的命题和都选择公理是等价




  

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