以下量子力学中平均值计算中为什么会出现一个矛盾的结果？ 第1页

前提条件有问题：至少在有限维线性空间中，没有哪两个埃尔米特算符满足这个对易关系的。

由于物理量对应的算符基本上都是厄米算符，所以我们就只讨论厄米算符的情况，这样的话算符既可以作用于左矢量又能作用于右矢量。

题主的问题可以分成两种可能：C是一个算符的时候和C是常数的时候。当C是算符的时候，结果是显然的，在这个本征态下C的平均值是0，位力定理就是用这种方法证明的。

接着考虑C是常数的时候，C是常数时， 应该有以下关系：

下标k表示这是算符A的第k个本征态，本征值为 。

把对易子拆开，可得， 。

再进一步，我们知道 肯定不是算符B的本征态（否则对易子就是0）了，我们用算符A的一系列本征态将其展开：

为了简化起见，这里忽略简并问题，A的所有本征态组成了一组完备的正交基矢量。

然后再把这个展开带入关系式中....

再然后我就傻眼了，因为我发现在算符B的展开系数中除了bk以外所有的系数都是0。可如果是这样的话 岂不也成了B的本征态了？

怎么又矛盾了？

按照反证法的逻辑，如果推演出来的结果与前提假设矛盾，那么问题可能出在前提假设上。

难道并不存在一个和A的对易子是常数的埃尔米特矩阵？

这个时候其实已经和量子力学没太大关系了，这是一个地道的矩阵问题。

再次简化问题，只考虑有限维线性空间，并把所有的系数限定为实数，此时埃尔米特矩阵等于对称矩阵。把矩阵A写成对角矩阵的形式，能不能找到一个对称矩阵B，使得它与矩阵A的对易子是不为0的常数？

坦率的说，我目前为止还找不出来任何一种这样的矩阵。

我想了一下，量子力学中也就只有坐标和动量算符的对易子等于常数，但那已经是在无限维线性空间中的事情了。

个人猜测：从有限到无限这一步中出了什么问题。

能力有限，只能做到这一步了。