万有引力定律是怎么被推导出来的？
要说万有引力定律是如何被“推导”出来的，这其实是一个关于人类智慧如何一步步逼近自然规律的精彩故事。牛顿并不是从零开始，而是站在了巨人的肩膀上，巧妙地将前人的观察和理论融汇贯通，最终凝结成了那简洁而又深刻的万有引力定律。
故事的开端，得追溯到那位伟大的波兰天文学家尼古拉·哥白尼。他在16世纪提出了日心说，将地球从宇宙的中心移开，认为太阳才是太阳系的中心，而地球和其他行星都围绕着太阳公转。这本身就打破了我们对宇宙的旧有认知，为后来的探索奠定了基础。
紧随其后的是丹麦天文学家第谷·布拉赫。他是一位极其严谨的观测者，毕生致力于收集关于行星运动的天文数据。虽然他的观测数据在那个时代是最精确的，但他本人却未能完全摆脱地心说的束缚，提出了一种地日行星绕日、月亮和太阳绕地运行的混合模型。然而，正是他那些海量的、一丝不苟的观测记录，成为了后来者解开天体运动奥秘的宝贵遗产。
第谷的助手，德国天文学家约翰内斯·开普勒，才是真正将这些数据转化为洞察的关键人物。开普勒继承了第谷的观测资料，并耗费了整整十七年的时间，不懈地钻研火星的运动轨迹。这是一个极其艰巨的任务，因为火星的轨道并不是完美的圆形，这与当时普遍接受的古希腊圆形运动的观念相悖。
开普勒在对海量数据进行痛苦而细致的分析后，终于在1609年和1619年，陆续公布了他的三大行星运动定律。
第一定律（椭圆定律）：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这彻底颠覆了人们对天体运动是完美的圆形的长期信念。
第二定律（面积定律）：连接行星和太阳的直线在相等的时间内扫过相等的面积。这意味着行星在靠近太阳时运行得更快，在远离太阳时运行得更慢。
第三定律（周期定律）：行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。这个定律将不同行星的轨道运动联系了起来，揭示了它们之间隐藏的数学关系。
开普勒的定律精确地描述了行星的运动，但它们本身并没有解释“为什么”会这样运动。它们更像是对现象的精妙总结，但原因仍旧扑朔迷离。
进入17世纪下半叶，英国物理学家罗伯特·胡克在力学领域也做出了重要贡献。他提出了著名的胡克定律，即弹簧的弹力与形变量成正比。他还猜测，万有引力可能与距离的平方成反比，并且这种力就像一个弹簧一样，将行星拉向太阳。他甚至曾向牛顿提出过这个问题，希望牛顿能解决。
正是吸收了哥白尼的日心说、第谷的精确观测数据、开普勒的行星运动定律，以及胡克等人的力学猜想，艾萨克·牛顿开始了他划时代的思考。
牛顿将开普勒的第三定律与他自己发展的微积分（虽然他当时的描述方式与现代微积分略有不同）结合起来。他首先考虑了一个匀速圆周运动的物体，比如系在绳子上的小球。为了维持这个圆周运动，必须有一个指向圆心的力，这个力就是向心力。他计算出向心力的大小与物体的质量、速度的平方，以及半径成正比。
然后，牛顿将这个想法推广到行星绕太阳的运动。他假设，行星之所以绕着太阳转，是因为太阳对行星有一种吸引力，这个力就是向心力。他将开普勒第三定律中的轨道半长轴近似为轨道半径（对于圆形轨道而言，两者相等），然后代入向心力的公式进行推演。
开普勒第三定律告诉我们，$T^2 propto r^3$，其中 $T$ 是周期，$r$ 是轨道半径。
而匀速圆周运动的速度 $v = frac{2pi r}{T}$。
所以，$v^2 = frac{4pi^2 r^2}{T^2}$。
将开普勒第三定律代入速度的平方中：$v^2 propto frac{4pi^2 r^2}{r^3} = frac{4pi^2}{r}$。
（这里，$4pi^2$ 是一个常数）
因此，向心力 $F_c propto m cdot v^2 cdot frac{1}{r}$（其中 $m$ 是行星的质量）。
代入 $v^2 propto frac{1}{r}$，我们得到 $F_c propto m cdot frac{1}{r} cdot frac{1}{r} = frac{m}{r^2}$。
这意味着，这个使行星绕太阳运动的向心力，与行星的质量成正比，并且与它到太阳距离的平方成反比。
但牛顿并未止步于此。他认为，引力是一种普遍存在的力，它不仅作用在行星和太阳之间，也作用在地球和月亮之间，甚至作用在地球上的物体之间。他著名的“苹果落地”的设想，就是关于地球对苹果的引力。他意识到，将苹果拉落地面的力，与将月亮束缚在轨道上的力，很可能是同一种力。
于是，他将之前推导出的“与距离平方成反比”的规律，应用到了地球和月亮之间。他计算了月亮绕地球运动的向心加速度，并将其与地球表面物体（如苹果）的加速度进行了比较。
他知道，地球表面的物体自由落体加速度大约是 $g$（约 9.8 m/s²）。
月亮绕地球的轨道可以近似为圆形，其半径大约是地球半径的 60 倍。
月亮绕地球的周期大约是 27.3 天。
根据向心加速度的公式 $a_c = frac{v^2}{r}$，以及 $v = frac{2pi r}{T}$，可以得到 $a_c = frac{4pi^2 r}{T^2}$。
代入月亮的轨道半径和周期，牛顿计算出月亮绕地球运动的向心加速度。
然后，他检验这个加速度是否满足“与距离平方成反比”的规律。如果地球对月亮的引力确实与地球对苹果的引力遵循同样的平方反比规律，那么月亮受到的加速度（相对于其轨道半径）应该与苹果受到的加速度（在地球表面）成反比。
具体来说，如果引力与距离的平方成反比，那么 $F propto frac{M cdot m}{r^2}$，其中 $M$ 是中心天体质量，$m$ 是被吸引物质量，$r$ 是距离。
根据牛顿第二定律 $F = m cdot a$，所以加速度 $a = frac{F}{m} propto frac{M}{r^2}$。
这意味着，对于同一个中心天体（如地球），其对不同质量物体的吸引产生的加速度，应该与它们到中心天体中心的距离的平方成反比。
牛顿计算发现，他从月亮轨道数据推算出的加速度，大约是地球表面重力加速度的 $frac{1}{3600}$（即 $(frac{1}{60})^2$）。这个结果与他根据平方反比定律的预测非常吻合！
至此，牛顿认为他找到了确凿的证据：引力是一种普遍的、与质量成正比、与距离平方成反比的力。
最终，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，牛顿正式提出了万有引力定律。他将其表述为：
“宇宙中的每一个质点都以一种力吸引着其他每一个质点，这种力与它们各自的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。”
用数学公式表示就是：
$F = G frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中 $F$ 是两个质点之间的引力大小，$m_1$ 和 $m_2$ 是它们的质量，$r$ 是它们之间的距离，而 $G$ 是一个比例常数，被称为万有引力常数。这个常数的引入，使得这个定律能够给出力的具体数值，而不是仅仅描述比例关系。
可见，万有引力定律的“推导”并非凭空想象，而是一个漫长而艰辛的科学探索过程，是前人无数次观察、计算、质疑和突破的结晶，最终由牛顿这位伟大的科学家以其卓越的洞察力、数学能力和物理直觉，将其统一和完善。它将天上的运动和地上的运动统一在同一个物理框架下，是科学史上的一个里程碑。
故事的开端，得追溯到那位伟大的波兰天文学家尼古拉·哥白尼。他在16世纪提出了日心说，将地球从宇宙的中心移开，认为太阳才是太阳系的中心，而地球和其他行星都围绕着太阳公转。这本身就打破了我们对宇宙的旧有认知，为后来的探索奠定了基础。
紧随其后的是丹麦天文学家第谷·布拉赫。他是一位极其严谨的观测者，毕生致力于收集关于行星运动的天文数据。虽然他的观测数据在那个时代是最精确的，但他本人却未能完全摆脱地心说的束缚，提出了一种地日行星绕日、月亮和太阳绕地运行的混合模型。然而，正是他那些海量的、一丝不苟的观测记录，成为了后来者解开天体运动奥秘的宝贵遗产。
第谷的助手，德国天文学家约翰内斯·开普勒，才是真正将这些数据转化为洞察的关键人物。开普勒继承了第谷的观测资料，并耗费了整整十七年的时间，不懈地钻研火星的运动轨迹。这是一个极其艰巨的任务，因为火星的轨道并不是完美的圆形，这与当时普遍接受的古希腊圆形运动的观念相悖。
开普勒在对海量数据进行痛苦而细致的分析后，终于在1609年和1619年，陆续公布了他的三大行星运动定律。
第一定律（椭圆定律）：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这彻底颠覆了人们对天体运动是完美的圆形的长期信念。
第二定律（面积定律）：连接行星和太阳的直线在相等的时间内扫过相等的面积。这意味着行星在靠近太阳时运行得更快，在远离太阳时运行得更慢。
第三定律（周期定律）：行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。这个定律将不同行星的轨道运动联系了起来，揭示了它们之间隐藏的数学关系。
开普勒的定律精确地描述了行星的运动，但它们本身并没有解释“为什么”会这样运动。它们更像是对现象的精妙总结，但原因仍旧扑朔迷离。
进入17世纪下半叶，英国物理学家罗伯特·胡克在力学领域也做出了重要贡献。他提出了著名的胡克定律，即弹簧的弹力与形变量成正比。他还猜测，万有引力可能与距离的平方成反比，并且这种力就像一个弹簧一样，将行星拉向太阳。他甚至曾向牛顿提出过这个问题，希望牛顿能解决。
正是吸收了哥白尼的日心说、第谷的精确观测数据、开普勒的行星运动定律，以及胡克等人的力学猜想，艾萨克·牛顿开始了他划时代的思考。
牛顿将开普勒的第三定律与他自己发展的微积分（虽然他当时的描述方式与现代微积分略有不同）结合起来。他首先考虑了一个匀速圆周运动的物体，比如系在绳子上的小球。为了维持这个圆周运动，必须有一个指向圆心的力，这个力就是向心力。他计算出向心力的大小与物体的质量、速度的平方，以及半径成正比。
然后，牛顿将这个想法推广到行星绕太阳的运动。他假设，行星之所以绕着太阳转，是因为太阳对行星有一种吸引力，这个力就是向心力。他将开普勒第三定律中的轨道半长轴近似为轨道半径（对于圆形轨道而言，两者相等），然后代入向心力的公式进行推演。
开普勒第三定律告诉我们，$T^2 propto r^3$，其中 $T$ 是周期，$r$ 是轨道半径。
而匀速圆周运动的速度 $v = frac{2pi r}{T}$。
所以，$v^2 = frac{4pi^2 r^2}{T^2}$。
将开普勒第三定律代入速度的平方中：$v^2 propto frac{4pi^2 r^2}{r^3} = frac{4pi^2}{r}$。
（这里，$4pi^2$ 是一个常数）
因此，向心力 $F_c propto m cdot v^2 cdot frac{1}{r}$（其中 $m$ 是行星的质量）。
代入 $v^2 propto frac{1}{r}$，我们得到 $F_c propto m cdot frac{1}{r} cdot frac{1}{r} = frac{m}{r^2}$。
这意味着，这个使行星绕太阳运动的向心力，与行星的质量成正比，并且与它到太阳距离的平方成反比。
但牛顿并未止步于此。他认为，引力是一种普遍存在的力，它不仅作用在行星和太阳之间，也作用在地球和月亮之间，甚至作用在地球上的物体之间。他著名的“苹果落地”的设想，就是关于地球对苹果的引力。他意识到，将苹果拉落地面的力，与将月亮束缚在轨道上的力，很可能是同一种力。
于是，他将之前推导出的“与距离平方成反比”的规律，应用到了地球和月亮之间。他计算了月亮绕地球运动的向心加速度，并将其与地球表面物体（如苹果）的加速度进行了比较。
他知道，地球表面的物体自由落体加速度大约是 $g$（约 9.8 m/s²）。
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根据牛顿第二定律 $F = m cdot a$，所以加速度 $a = frac{F}{m} propto frac{M}{r^2}$。
这意味着，对于同一个中心天体（如地球），其对不同质量物体的吸引产生的加速度，应该与它们到中心天体中心的距离的平方成反比。
牛顿计算发现，他从月亮轨道数据推算出的加速度，大约是地球表面重力加速度的 $frac{1}{3600}$（即 $(frac{1}{60})^2$）。这个结果与他根据平方反比定律的预测非常吻合！
至此，牛顿认为他找到了确凿的证据：引力是一种普遍的、与质量成正比、与距离平方成反比的力。
最终，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，牛顿正式提出了万有引力定律。他将其表述为：
“宇宙中的每一个质点都以一种力吸引着其他每一个质点，这种力与它们各自的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。”
用数学公式表示就是：
$F = G frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中 $F$ 是两个质点之间的引力大小，$m_1$ 和 $m_2$ 是它们的质量，$r$ 是它们之间的距离，而 $G$ 是一个比例常数，被称为万有引力常数。这个常数的引入，使得这个定律能够给出力的具体数值，而不是仅仅描述比例关系。
可见，万有引力定律的“推导”并非凭空想象，而是一个漫长而艰辛的科学探索过程，是前人无数次观察、计算、质疑和突破的结晶，最终由牛顿这位伟大的科学家以其卓越的洞察力、数学能力和物理直觉，将其统一和完善。它将天上的运动和地上的运动统一在同一个物理框架下，是科学史上的一个里程碑。
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