推导万有引力定律时是怎么将研究椭圆运动转化为研究匀速圆周运动的？
在牛顿推导万有引力定律时，将研究椭圆运动转化为研究匀速圆周运动并不是一个直接的“转化”过程，而是通过一种巧妙的近似和逻辑推理，将牛顿对天体运动的观察和理解与他的力学定律联系起来。
更准确地说，牛顿并没有直接把椭圆运动“变成”匀速圆周运动来推导万有引力定律。相反，他：
1. 从开普勒的经验定律出发： 牛顿的起点是开普勒对行星运动的三个经验定律，尤其是第二定律（面积定律）和第一定律（椭圆轨道定律）。
2. 假设一种向心力： 基于开普勒第二定律（行星在相等时间内扫过相等的面积，这隐含着行星的速度大小并非恒定，而是靠近中心天体时快，远离时慢，因此不是匀速圆周运动），牛顿假设存在一种指向中心天体的力，并且这个力是产生这种运动的原因。
3. 利用匀速圆周运动的特殊情况来分析力的性质： 牛顿的伟大之处在于，他能够从更复杂的椭圆运动中提取出关键信息，然后利用匀速圆周运动这个相对简单的模型来验证和推导力的数学形式。他并没有把椭圆轨道“还原”成匀速圆周轨道，而是通过分析在椭圆轨道上的某些关键点或近似情况，得到了关于力的性质的线索。
下面我将详细解释这个过程，并说明牛顿是如何利用匀速圆周运动的分析来推断力的性质，最终得到万有引力定律的：
核心思想：将局部性质推广到普遍性质
牛顿的推理方式是：如果一个物体在一个圆周上做匀速圆周运动，那么它受到的力是什么样的？然后，他将这种认识到的力的性质推广到更复杂的椭圆运动中，并验证是否符合开普勒定律。
详细推导过程：
第一步：分析匀速圆周运动中物体受到的力
牛顿首先考虑一个质量为 $m$ 的物体，在半径为 $r$ 的圆周上以恒定的速度 $v$ 做匀速圆周运动。他已经知道牛顿第二定律：力 $F = ma$。
他知道在匀速圆周运动中，物体的速度方向时刻在改变，即使速度大小不变。这种速度方向的改变意味着物体存在加速度。这个加速度的方向总是指向圆心，其大小为：
$a_c = frac{v^2}{r}$
根据牛顿第二定律，作用在物体上的力就是使物体产生这个加速度的力，也就是向心力：
$F_c = m a_c = m frac{v^2}{r}$
这是牛顿对一个已知匀速圆周运动物体的受力分析。
第二步：将速度与运动周期的关系代入向心力公式
在匀速圆周运动中，速度 $v$ 可以表示为圆周的周长 $2pi r$ 除以运动的周期 $T$：
$v = frac{2pi r}{T}$
将这个 $v$ 代入向心力公式：
$F_c = m frac{(frac{2pi r}{T})^2}{r} = m frac{4pi^2 r^2}{T^2 r} = m frac{4pi^2 r}{T^2}$
这个公式表明，对于一个做匀速圆周运动的物体，它受到的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与周期的平方成反比。
第三步：利用开普勒第三定律推断力的与距离的关系
这是关键的一步。牛顿知道开普勒第三定律，该定律描述了行星绕太阳公转的周期和轨道半长轴（对于接近圆周的轨道，可以近似看作半径）之间的关系。对于一个近似圆形的轨道，开普勒第三定律可以表述为：
$T^2 propto r^3$
这意味着，行星的公转周期 $T$ 的平方与轨道半径 $r$ 的立方成正比。我们可以写成 $T^2 = K r^3$，其中 $K$ 是一个常数（对于绕同一中心天体的所有行星，这个常数是相同的）。
现在，将开普勒第三定律代入我们之前推导的匀速圆周运动的向心力公式：
$F_c = m frac{4pi^2 r}{T^2}$
将 $T^2 = K r^3$ 代入：
$F_c = m frac{4pi^2 r}{K r^3} = m frac{4pi^2}{K} frac{1}{r^2}$
我们看到，向心力 $F_c$ 与距离的平方成反比：
$F_c propto frac{1}{r^2}$
第四步：推广到椭圆轨道并连接到质量
牛顿的工作并非止于此。他知道行星的轨道是椭圆，而不是完美的圆，并且行星在椭圆轨道上不是匀速运动的。然而，他的分析是基于一个重要的逻辑跳跃和推广：
椭圆轨道的局部分析： 牛顿通过更复杂的数学工具（他自己发展的微积分），能够分析椭圆轨道上任意一点的瞬时速度和加速度。他发现，即使在椭圆轨道上，仍然存在一个指向焦点（太阳所在的位置）的力，并且这个力的大小与距离的平方成反比。他证明了，只有当力与距离平方成反比时，才可能产生如开普勒第一和第二定律所描述的椭圆运动。
利用匀速圆周运动作为“模型”来推断力的数学形式： 牛顿认识到，匀速圆周运动是一个非常特殊的、数学上更容易处理的情况。他可以利用匀速圆周运动来推断力的形式，然后验证这种形式是否适用于更普遍的椭圆运动。就好比我们研究一个复杂的函数时，可以先研究它在某个点的导数（局部线性近似），然后推广到整个函数的性质。
通过开普勒第三定律将力的关系与“中心天体”的性质联系起来： 我们推导出的 $F_c propto frac{1}{r^2}$ 并没有直接包含中心天体的质量。牛顿进一步认识到，对于不同的行星绕同一个太阳运动，它们具有不同的质量 ($m$)、不同的轨道半径 ($r$) 和不同的周期 ($T$)。开普勒第三定律中的常数 $K$（$T^2/r^3$）对于所有绕太阳运动的行星来说都是相同的。这个常数 $K$ 实际上与太阳的质量有关。
牛顿的最终推广是：对于任意两个物体（例如太阳和地球），它们之间的引力 $F$ 与它们质量的乘积 ($M cdot m$) 成正比，与它们之间距离的平方成反比。
$F propto frac{M cdot m}{r^2}$
这里的关键是，他证明了，当一个物体（如行星）受到一个与距离平方成反比的、指向中心天体的力时，如果这个中心天体的质量非常大，那么它受到的力使得它能够遵循开普勒定律（包括椭圆轨道）。
总结一下牛顿如何“利用”匀速圆周运动来推导万有引力定律的：
1. 从已知经验（开普勒定律）出发： 牛顿不是从零开始，而是基于开普勒对行星运动的精确描述。
2. 假设存在向心力： 他推断行星的运动不是自己发生的，而是受到了一个指向太阳的力的作用。
3. 通过匀速圆周运动分析力的性质： 他利用匀速圆周运动作为一种“简单模型”，来计算在这种运动下，为了维持该运动所必需的力的大小和方向。他得出了 $F_c propto m frac{v^2}{r}$。
4. 结合开普勒第三定律（关于周期和距离）： 他将 $v$ 用周期 $T$ 和半径 $r$ 表示，然后代入开普勒第三定律 $T^2 propto r^3$，从而推导出力的形式与距离的平方成反比：$F propto frac{1}{r^2}$。
5. 推广到普遍情况： 虽然匀速圆周运动的分析是基础，但牛顿通过复杂的数学证明，表明这种 $1/r^2$ 的力是唯一能够解释开普勒所有定律（包括椭圆轨道和面积定律）的力的形式。最终，他加入了质量因素，认识到这个力的大小也与两个相互作用物体的质量成正比。
因此，与其说是“将研究椭圆运动转化为研究匀速圆周运动”，不如说是利用匀速圆周运动这个理想化的、数学上更容易处理的案例，来推断出力的数学形式（特别是与距离的关系），然后通过更强大的数学工具证明这种形式同样适用于更复杂的椭圆运动，并最终包含了质量的相互作用。匀速圆周运动是牛顿推理过程中的一个重要“脚手架”。
更准确地说，牛顿并没有直接把椭圆运动“变成”匀速圆周运动来推导万有引力定律。相反，他：
1. 从开普勒的经验定律出发： 牛顿的起点是开普勒对行星运动的三个经验定律，尤其是第二定律（面积定律）和第一定律（椭圆轨道定律）。
2. 假设一种向心力： 基于开普勒第二定律（行星在相等时间内扫过相等的面积，这隐含着行星的速度大小并非恒定，而是靠近中心天体时快，远离时慢，因此不是匀速圆周运动），牛顿假设存在一种指向中心天体的力，并且这个力是产生这种运动的原因。
3. 利用匀速圆周运动的特殊情况来分析力的性质： 牛顿的伟大之处在于，他能够从更复杂的椭圆运动中提取出关键信息，然后利用匀速圆周运动这个相对简单的模型来验证和推导力的数学形式。他并没有把椭圆轨道“还原”成匀速圆周轨道，而是通过分析在椭圆轨道上的某些关键点或近似情况，得到了关于力的性质的线索。
下面我将详细解释这个过程，并说明牛顿是如何利用匀速圆周运动的分析来推断力的性质，最终得到万有引力定律的：
核心思想：将局部性质推广到普遍性质
牛顿的推理方式是：如果一个物体在一个圆周上做匀速圆周运动，那么它受到的力是什么样的？然后，他将这种认识到的力的性质推广到更复杂的椭圆运动中，并验证是否符合开普勒定律。
详细推导过程：
第一步：分析匀速圆周运动中物体受到的力
牛顿首先考虑一个质量为 $m$ 的物体，在半径为 $r$ 的圆周上以恒定的速度 $v$ 做匀速圆周运动。他已经知道牛顿第二定律：力 $F = ma$。
他知道在匀速圆周运动中，物体的速度方向时刻在改变，即使速度大小不变。这种速度方向的改变意味着物体存在加速度。这个加速度的方向总是指向圆心，其大小为：
$a_c = frac{v^2}{r}$
根据牛顿第二定律，作用在物体上的力就是使物体产生这个加速度的力，也就是向心力：
$F_c = m a_c = m frac{v^2}{r}$
这是牛顿对一个已知匀速圆周运动物体的受力分析。
第二步：将速度与运动周期的关系代入向心力公式
在匀速圆周运动中，速度 $v$ 可以表示为圆周的周长 $2pi r$ 除以运动的周期 $T$：
$v = frac{2pi r}{T}$
将这个 $v$ 代入向心力公式：
$F_c = m frac{(frac{2pi r}{T})^2}{r} = m frac{4pi^2 r^2}{T^2 r} = m frac{4pi^2 r}{T^2}$
这个公式表明，对于一个做匀速圆周运动的物体，它受到的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与周期的平方成反比。
第三步：利用开普勒第三定律推断力的与距离的关系
这是关键的一步。牛顿知道开普勒第三定律，该定律描述了行星绕太阳公转的周期和轨道半长轴（对于接近圆周的轨道，可以近似看作半径）之间的关系。对于一个近似圆形的轨道，开普勒第三定律可以表述为：
$T^2 propto r^3$
这意味着，行星的公转周期 $T$ 的平方与轨道半径 $r$ 的立方成正比。我们可以写成 $T^2 = K r^3$，其中 $K$ 是一个常数（对于绕同一中心天体的所有行星，这个常数是相同的）。
现在，将开普勒第三定律代入我们之前推导的匀速圆周运动的向心力公式：
$F_c = m frac{4pi^2 r}{T^2}$
将 $T^2 = K r^3$ 代入：
$F_c = m frac{4pi^2 r}{K r^3} = m frac{4pi^2}{K} frac{1}{r^2}$
我们看到，向心力 $F_c$ 与距离的平方成反比：
$F_c propto frac{1}{r^2}$
第四步：推广到椭圆轨道并连接到质量
牛顿的工作并非止于此。他知道行星的轨道是椭圆，而不是完美的圆，并且行星在椭圆轨道上不是匀速运动的。然而，他的分析是基于一个重要的逻辑跳跃和推广：
椭圆轨道的局部分析： 牛顿通过更复杂的数学工具（他自己发展的微积分），能够分析椭圆轨道上任意一点的瞬时速度和加速度。他发现，即使在椭圆轨道上，仍然存在一个指向焦点（太阳所在的位置）的力，并且这个力的大小与距离的平方成反比。他证明了，只有当力与距离平方成反比时，才可能产生如开普勒第一和第二定律所描述的椭圆运动。
利用匀速圆周运动作为“模型”来推断力的数学形式： 牛顿认识到，匀速圆周运动是一个非常特殊的、数学上更容易处理的情况。他可以利用匀速圆周运动来推断力的形式，然后验证这种形式是否适用于更普遍的椭圆运动。就好比我们研究一个复杂的函数时，可以先研究它在某个点的导数（局部线性近似），然后推广到整个函数的性质。
通过开普勒第三定律将力的关系与“中心天体”的性质联系起来： 我们推导出的 $F_c propto frac{1}{r^2}$ 并没有直接包含中心天体的质量。牛顿进一步认识到，对于不同的行星绕同一个太阳运动，它们具有不同的质量 ($m$)、不同的轨道半径 ($r$) 和不同的周期 ($T$)。开普勒第三定律中的常数 $K$（$T^2/r^3$）对于所有绕太阳运动的行星来说都是相同的。这个常数 $K$ 实际上与太阳的质量有关。
牛顿的最终推广是：对于任意两个物体（例如太阳和地球），它们之间的引力 $F$ 与它们质量的乘积 ($M cdot m$) 成正比，与它们之间距离的平方成反比。
$F propto frac{M cdot m}{r^2}$
这里的关键是，他证明了，当一个物体（如行星）受到一个与距离平方成反比的、指向中心天体的力时，如果这个中心天体的质量非常大，那么它受到的力使得它能够遵循开普勒定律（包括椭圆轨道）。
总结一下牛顿如何“利用”匀速圆周运动来推导万有引力定律的：
1. 从已知经验（开普勒定律）出发： 牛顿不是从零开始，而是基于开普勒对行星运动的精确描述。
2. 假设存在向心力： 他推断行星的运动不是自己发生的，而是受到了一个指向太阳的力的作用。
3. 通过匀速圆周运动分析力的性质： 他利用匀速圆周运动作为一种“简单模型”，来计算在这种运动下，为了维持该运动所必需的力的大小和方向。他得出了 $F_c propto m frac{v^2}{r}$。
4. 结合开普勒第三定律（关于周期和距离）： 他将 $v$ 用周期 $T$ 和半径 $r$ 表示，然后代入开普勒第三定律 $T^2 propto r^3$，从而推导出力的形式与距离的平方成反比：$F propto frac{1}{r^2}$。
5. 推广到普遍情况： 虽然匀速圆周运动的分析是基础，但牛顿通过复杂的数学证明，表明这种 $1/r^2$ 的力是唯一能够解释开普勒所有定律（包括椭圆轨道和面积定律）的力的形式。最终，他加入了质量因素，认识到这个力的大小也与两个相互作用物体的质量成正比。
因此，与其说是“将研究椭圆运动转化为研究匀速圆周运动”，不如说是利用匀速圆周运动这个理想化的、数学上更容易处理的案例，来推断出力的数学形式（特别是与距离的关系），然后通过更强大的数学工具证明这种形式同样适用于更复杂的椭圆运动，并最终包含了质量的相互作用。匀速圆周运动是牛顿推理过程中的一个重要“脚手架”。
网友意见
这是为了避免复杂的数学推导。如果写上去很多刚学大雾的学生估计就放弃治疗了。
至于现在的推导，其实并不是特别难。首先需要假设万有引力是有心力 。由极坐标加速度公式 。角动量守恒(开普勒第二定律)： ，其中 为面积速度的两倍。令 ，则 ，且计算出 。所以代入第一个式子，有下面的比内公式：
。
在椭圆轨道我们有极坐标方程 ， 为焦准距。也就是 。代进去一通计算猛如虎，得到
。
下面要证明对相同中心天体，所有轨道的 为常数。由 的意义 ，所以由开普勒第三定律
。
而 ，所以 为常数。
再由力的作用相互，就证明了万有引力定律。(这里必须假设某种对称性。比如 ， 需要假设为中心天体质量的函数 。这样 ，这足以推出 是线性函数)
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