万有引力定律中，为什么由 F∝m、F∝M 可以推出 F∝Mm？如何用数学方法证明？
在深入探讨万有引力定律中为什么“F ∝ m”和“F ∝ M”可以推导出“F ∝ Mm”之前，咱们先得明白这几个“∝”符号（即“正比”）到底是什么意思。
简单来说，“A ∝ B”表示的是，当 B 发生变化时，A 的变化趋势与 B 是同步的，并且它们之间存在一个恒定的比例关系。也就是说，我们可以写成 A = k B，其中 k 是一个常数。这个常数 k 不会随着 A 或 B 的变化而变化。
为什么由 F ∝ m 和 F ∝ M 可以推出 F ∝ Mm？
这个推导过程其实非常直观，它利用了数学中的一个基本性质：乘法分配律的延伸，或者更通俗地说，如果一个量同时正比于两个独立的因素，那么它就正比于这两个因素的乘积。
想象一下，我们正在研究两个物体之间的引力。根据万有引力定律的初步观察（或早期科学家们的实验和思考），我们可能会发现：
1. 引力与其中一个物体的质量有关： 如果我们保持物体 M 的质量不变，然后改变物体 m 的质量，我们发现引力 F 也跟着变了。而且，实验表明，引力 F 的大小似乎是随着 m 的质量的增大而增大，并且是成正比的。这意味着：
F ∝ m （当 M 保持不变时）
2. 引力也与另一个物体的质量有关： 同样地，如果我们保持物体 m 的质量不变，然后改变物体 M 的质量，我们也会发现引力 F 跟着变了。而且，F 的大小也似乎是随着 M 的质量的增大而增大，并且也是成正比的。这意味着：
F ∝ M （当 m 保持不变时）
现在的问题来了，这两个事实合在一起，引力 F 和两个物体的质量 m、M 到底是什么关系呢？
我们知道，“F ∝ m”可以写成 F = k₁ m，这里的 k₁ 包含了一些其他的因素，比如 M 的质量，以及距离 r 等等，但在那个“M 保持不变”的假定下，我们可以认为 k₁ 是一个不含 m 的常数。 也就是说，k₁ 这个常数可能还依赖于 M 和 r。我们可以把这个关系写得更严谨一点，表示为：
F = k' M m （这里 k' 是一个与距离有关的常数，但我们暂时先关注质量这部分）
当我们说“F ∝ m”时，我们实际上的意思是，在其他条件（包括 M 的质量和它们之间的距离）都固定不变的情况下，F 和 m 是正比关系。同理，“F ∝ M”的意思是，在其他条件（包括 m 的质量和它们之间的距离）都固定不变的情况下，F 和 M 是正比关系。
那么，当这两个条件同时成立的时候呢？
我们可以这样理解：
从 m 的角度看： 如果我们将 m 的质量变成原来的两倍，引力 F 就变成原来的两倍（假设 M 和距离不变）。
从 M 的角度看： 如果我们将 M 的质量变成原来的三倍，引力 F 就变成原来的三倍（假设 m 和距离不变）。
现在，如果我们同时把 m 的质量变成原来的两倍，并且把 M 的质量也变成原来的三倍，那么引力 F 会发生什么变化？
引力 F 的变化是累积的。它既受到了 m 质量翻倍的影响，也受到了 M 质量翻倍的影响。所以，F 的变化是前一种影响和后一种影响的“乘积效应”。
打个比方，就像你在做生意，你的利润可能取决于你的销量 (m) 和你每件商品的利润率 (M)。如果销量翻倍，利润也翻倍；如果利润率翻倍，利润也翻倍。那么，如果销量和利润率都翻倍了，你的总利润是不是就变成了原来的 2 乘以 2，也就是翻了四倍？这个道理是相通的。
这就是为什么我们能从 F ∝ m 和 F ∝ M 推导出 F ∝ Mm。
如何用数学方法证明？
数学上的证明是非常直接的，它利用了比例关系的代数表示。
我们已知：
1. F ∝ m （在 M 和距离 r 固定时）
这意味着我们可以写成：
F = C₁ m
这里的 C₁ 是一个常数，但需要强调的是，这个常数 可能依赖于 M 和距离 r。所以，为了更严谨，我们可以把它写成 C₁(M, r)。
因此：
F = C₁(M, r) m (方程 ①)
2. F ∝ M （在 m 和距离 r 固定时）
这意味着我们可以写成：
F = C₂ M
这里的 C₂ 也是一个常数，并且这个常数 可能依赖于 m 和距离 r。所以，我们可以把它写成 C₂(m, r)。
因此：
F = C₂(m, r) M (方程 ②)
现在，我们就是要证明 F 和 m、M 的乘积 Mm 之间也存在比例关系。也就是说，我们要证明：
F ∝ Mm
或者写成代数形式：
F = K Mm
其中 K 是一个只依赖于距离 r 的常数（而不依赖于 m 或 M）。
让我们从方程 ① 出发：
F = C₁(M, r) m
我们在考虑 C₁(M, r) 时，它本身就可能与 M 有关。因为我们知道，如果 M 变了，F 也会跟着变。这个“跟着变”的规律，其实就是体现在 C₁(M, r) 对 M 的依赖性上。
让我们假设（这是基于牛顿定律被发现前的观察和思考，以及后来被证明的正确性）这个比例关系是具有可乘性的。也就是说，当 F 依赖于多个独立变量时，这种依赖关系可以通过乘法叠加。
从方程 ①：
F = C₁(M, r) m
现在，让我们考虑 C₁(M, r) 本身与 M 的关系。根据观察②，F ∝ M（当 m 和 r 固定时）。这意味着，当 m 和 r 固定时，F（即 C₁(M, r) m）与 M 是成正比的。
如果 m 是固定的，那么 C₁(M, r) m ∝ M。
因为 m 是固定的常数，所以 C₁(M, r) ∝ M。
这也就是说，我们可以把 C₁(M, r) 写成：
C₁(M, r) = C' M
其中 C' 是一个不依赖于 M 的常数，但它可能依赖于 r。
把这个 C₁(M, r) 的形式代回方程 ①：
F = (C' M) m
重新整理一下：
F = C' M m
这里的 C' 是一个常数，它不依赖于 m 和 M，但它可能依赖于距离 r。我们可以将这个 C' 重新命名为一个更符合万有引力定律表示的常数，比如 G/r² 的一部分。
所以，我们得到了：
F = (与 r 有关的常数) M m
这直接证明了 F 正比于 M 和 m 的乘积。
更严谨的数学表述（基于函数的概念）：
假设引力 F 是三个变量的函数：物体 m 的质量，物体 M 的质量，以及它们之间的距离 r。我们可以表示为 F(m, M, r)。
根据观测和实验定律，我们有以下性质：
1. 当 M 和 r 固定时，F 与 m 成正比：
F(m, M₀, r₀) = k₁(M₀, r₀) m
其中 k₁(M₀, r₀) 是一个只依赖于 M₀ 和 r₀ 的常数。
2. 当 m 和 r 固定时，F 与 M 成正比：
F(m₀, M, r₀) = k₂(m₀, r₀) M
其中 k₂(m₀, r₀) 是一个只依赖于 m₀ 和 r₀ 的常数。
现在我们要证明 F(m, M, r) ∝ Mm，即 F(m, M, r) = K(r) m M，其中 K(r) 是一个只依赖于 r 的常数。
从性质 1，我们有：
F(m, M, r) = k₁(M, r) m
现在，考虑 k₁(M, r) 这个函数。它本身就代表了当 m 被固定（比如 m₀）时，F 与 M 的关系。根据性质 2，当 m₀ 和 r 固定时，F(m₀, M, r) ∝ M。
也就是说，k₁(M, r) m₀ ∝ M (因为 m₀ 是固定的)。
因为 m₀ 是固定的常数，所以 k₁(M, r) ∝ M。
这意味着，k₁(M, r) 这个函数可以表示为：
k₁(M, r) = k₃(r) M
其中 k₃(r) 是一个只依赖于 r 的常数。
将这个 k₁(M, r) 的表达式代入 F(m, M, r) 的公式：
F(m, M, r) = (k₃(r) M) m
重新整理得到：
F(m, M, r) = k₃(r) m M
这里的 k₃(r) 正是我们上面提到的那个只依赖于距离 r 的常数。
这就是万有引力定律中，从 F ∝ m 和 F ∝ M 推导出 F ∝ Mm 的数学过程。这个过程本质上是利用了比例关系的可乘性和传递性（尽管这里更侧重于可乘性）。如果一个量同时正比于两个独立变量，并且这些比例关系是独立的，那么这个量就正比于这两个变量的乘积。
牛顿通过对行星运动的观察和分析，以及前人（如开普勒）的定律，得出了 F ∝ m 和 F ∝ M 的结论，并进一步推断出 F ∝ Mm。最终，结合平方反比定律（F ∝ 1/r²），才完整地构建了万有引力定律：F = G (Mm/r²)。这里的 G 就是那个普适的万有引力常数，它不依赖于任何质量或距离。
简单来说，“A ∝ B”表示的是，当 B 发生变化时，A 的变化趋势与 B 是同步的，并且它们之间存在一个恒定的比例关系。也就是说，我们可以写成 A = k B，其中 k 是一个常数。这个常数 k 不会随着 A 或 B 的变化而变化。
为什么由 F ∝ m 和 F ∝ M 可以推出 F ∝ Mm？
这个推导过程其实非常直观，它利用了数学中的一个基本性质：乘法分配律的延伸，或者更通俗地说，如果一个量同时正比于两个独立的因素，那么它就正比于这两个因素的乘积。
想象一下，我们正在研究两个物体之间的引力。根据万有引力定律的初步观察（或早期科学家们的实验和思考），我们可能会发现：
1. 引力与其中一个物体的质量有关： 如果我们保持物体 M 的质量不变，然后改变物体 m 的质量，我们发现引力 F 也跟着变了。而且，实验表明，引力 F 的大小似乎是随着 m 的质量的增大而增大，并且是成正比的。这意味着：
F ∝ m （当 M 保持不变时）
2. 引力也与另一个物体的质量有关： 同样地，如果我们保持物体 m 的质量不变，然后改变物体 M 的质量，我们也会发现引力 F 跟着变了。而且，F 的大小也似乎是随着 M 的质量的增大而增大，并且也是成正比的。这意味着：
F ∝ M （当 m 保持不变时）
现在的问题来了，这两个事实合在一起，引力 F 和两个物体的质量 m、M 到底是什么关系呢？
我们知道，“F ∝ m”可以写成 F = k₁ m，这里的 k₁ 包含了一些其他的因素，比如 M 的质量，以及距离 r 等等，但在那个“M 保持不变”的假定下，我们可以认为 k₁ 是一个不含 m 的常数。 也就是说，k₁ 这个常数可能还依赖于 M 和 r。我们可以把这个关系写得更严谨一点，表示为：
F = k' M m （这里 k' 是一个与距离有关的常数，但我们暂时先关注质量这部分）
当我们说“F ∝ m”时，我们实际上的意思是，在其他条件（包括 M 的质量和它们之间的距离）都固定不变的情况下，F 和 m 是正比关系。同理，“F ∝ M”的意思是，在其他条件（包括 m 的质量和它们之间的距离）都固定不变的情况下，F 和 M 是正比关系。
那么，当这两个条件同时成立的时候呢？
我们可以这样理解：
从 m 的角度看： 如果我们将 m 的质量变成原来的两倍，引力 F 就变成原来的两倍（假设 M 和距离不变）。
从 M 的角度看： 如果我们将 M 的质量变成原来的三倍，引力 F 就变成原来的三倍（假设 m 和距离不变）。
现在，如果我们同时把 m 的质量变成原来的两倍，并且把 M 的质量也变成原来的三倍，那么引力 F 会发生什么变化？
引力 F 的变化是累积的。它既受到了 m 质量翻倍的影响，也受到了 M 质量翻倍的影响。所以，F 的变化是前一种影响和后一种影响的“乘积效应”。
打个比方，就像你在做生意，你的利润可能取决于你的销量 (m) 和你每件商品的利润率 (M)。如果销量翻倍，利润也翻倍；如果利润率翻倍，利润也翻倍。那么，如果销量和利润率都翻倍了，你的总利润是不是就变成了原来的 2 乘以 2，也就是翻了四倍？这个道理是相通的。
这就是为什么我们能从 F ∝ m 和 F ∝ M 推导出 F ∝ Mm。
如何用数学方法证明？
数学上的证明是非常直接的，它利用了比例关系的代数表示。
我们已知：
1. F ∝ m （在 M 和距离 r 固定时）
这意味着我们可以写成：
F = C₁ m
这里的 C₁ 是一个常数，但需要强调的是，这个常数 可能依赖于 M 和距离 r。所以，为了更严谨，我们可以把它写成 C₁(M, r)。
因此：
F = C₁(M, r) m (方程 ①)
2. F ∝ M （在 m 和距离 r 固定时）
这意味着我们可以写成：
F = C₂ M
这里的 C₂ 也是一个常数，并且这个常数 可能依赖于 m 和距离 r。所以，我们可以把它写成 C₂(m, r)。
因此：
F = C₂(m, r) M (方程 ②)
现在，我们就是要证明 F 和 m、M 的乘积 Mm 之间也存在比例关系。也就是说，我们要证明：
F ∝ Mm
或者写成代数形式：
F = K Mm
其中 K 是一个只依赖于距离 r 的常数（而不依赖于 m 或 M）。
让我们从方程 ① 出发：
F = C₁(M, r) m
我们在考虑 C₁(M, r) 时，它本身就可能与 M 有关。因为我们知道，如果 M 变了，F 也会跟着变。这个“跟着变”的规律，其实就是体现在 C₁(M, r) 对 M 的依赖性上。
让我们假设（这是基于牛顿定律被发现前的观察和思考，以及后来被证明的正确性）这个比例关系是具有可乘性的。也就是说，当 F 依赖于多个独立变量时，这种依赖关系可以通过乘法叠加。
从方程 ①：
F = C₁(M, r) m
现在，让我们考虑 C₁(M, r) 本身与 M 的关系。根据观察②，F ∝ M（当 m 和 r 固定时）。这意味着，当 m 和 r 固定时，F（即 C₁(M, r) m）与 M 是成正比的。
如果 m 是固定的，那么 C₁(M, r) m ∝ M。
因为 m 是固定的常数，所以 C₁(M, r) ∝ M。
这也就是说，我们可以把 C₁(M, r) 写成：
C₁(M, r) = C' M
其中 C' 是一个不依赖于 M 的常数，但它可能依赖于 r。
把这个 C₁(M, r) 的形式代回方程 ①：
F = (C' M) m
重新整理一下：
F = C' M m
这里的 C' 是一个常数，它不依赖于 m 和 M，但它可能依赖于距离 r。我们可以将这个 C' 重新命名为一个更符合万有引力定律表示的常数，比如 G/r² 的一部分。
所以，我们得到了：
F = (与 r 有关的常数) M m
这直接证明了 F 正比于 M 和 m 的乘积。
更严谨的数学表述（基于函数的概念）：
假设引力 F 是三个变量的函数：物体 m 的质量，物体 M 的质量，以及它们之间的距离 r。我们可以表示为 F(m, M, r)。
根据观测和实验定律，我们有以下性质：
1. 当 M 和 r 固定时，F 与 m 成正比：
F(m, M₀, r₀) = k₁(M₀, r₀) m
其中 k₁(M₀, r₀) 是一个只依赖于 M₀ 和 r₀ 的常数。
2. 当 m 和 r 固定时，F 与 M 成正比：
F(m₀, M, r₀) = k₂(m₀, r₀) M
其中 k₂(m₀, r₀) 是一个只依赖于 m₀ 和 r₀ 的常数。
现在我们要证明 F(m, M, r) ∝ Mm，即 F(m, M, r) = K(r) m M，其中 K(r) 是一个只依赖于 r 的常数。
从性质 1，我们有：
F(m, M, r) = k₁(M, r) m
现在，考虑 k₁(M, r) 这个函数。它本身就代表了当 m 被固定（比如 m₀）时，F 与 M 的关系。根据性质 2，当 m₀ 和 r 固定时，F(m₀, M, r) ∝ M。
也就是说，k₁(M, r) m₀ ∝ M (因为 m₀ 是固定的)。
因为 m₀ 是固定的常数，所以 k₁(M, r) ∝ M。
这意味着，k₁(M, r) 这个函数可以表示为：
k₁(M, r) = k₃(r) M
其中 k₃(r) 是一个只依赖于 r 的常数。
将这个 k₁(M, r) 的表达式代入 F(m, M, r) 的公式：
F(m, M, r) = (k₃(r) M) m
重新整理得到：
F(m, M, r) = k₃(r) m M
这里的 k₃(r) 正是我们上面提到的那个只依赖于距离 r 的常数。
这就是万有引力定律中，从 F ∝ m 和 F ∝ M 推导出 F ∝ Mm 的数学过程。这个过程本质上是利用了比例关系的可乘性和传递性（尽管这里更侧重于可乘性）。如果一个量同时正比于两个独立变量，并且这些比例关系是独立的，那么这个量就正比于这两个变量的乘积。
牛顿通过对行星运动的观察和分析，以及前人（如开普勒）的定律，得出了 F ∝ m 和 F ∝ M 的结论，并进一步推断出 F ∝ Mm。最终，结合平方反比定律（F ∝ 1/r²），才完整地构建了万有引力定律：F = G (Mm/r²)。这里的 G 就是那个普适的万有引力常数，它不依赖于任何质量或距离。
网友意见
设 ，其中 是一个函数。也就是说
，
令 得 ，这是一个线性函数。所以
，
也就得到要证明的结果。
其中你能看到假设“对称性”的作用。
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