万有引力公式、库仑力公式中，「r → 0 时，F → ∞」违背了什么物理定义？
在探讨万有引力公式和库仑力公式在 $r o 0$ 时趋向无穷大这一现象是否违背了物理定义之前，我们首先需要理解这两个公式的核心内容以及它们所处的物理框架。
万有引力公式与库仑力公式的核心
这两个公式都是描述点源之间相互作用力的平方反比定律：
万有引力公式： $F_g = G frac{m_1 m_2}{r^2}$
$F_g$ 是两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体之间的引力。
$G$ 是万有引力常数。
$r$ 是两个物体质心之间的距离。
库仑力公式： $F_e = k frac{|q_1 q_2|}{r^2}$
$F_e$ 是两个电荷量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ 的点电荷之间的静电力。
$k$ 是库仑常数。
$r$ 是两个点电荷之间的距离。
在这两个公式中，力的大小都与距离的平方成反比。这意味着，当两个物体（或点电荷）之间的距离 $r$ 趋近于零时，它们之间的作用力理论上会趋向于无穷大。
“违背了什么物理定义？”—— 这句话的深层含义
当人们提出“违背了什么物理定义”时，通常是在思考以下几个方面：
1. 实际物理过程的不可行性： 物理定律应该反映真实的、可观测的物理现象。如果一个定律在某个极限条件下导致了某种在现实中无法实现或观察到的结果，那么这个定律的适用范围就可能需要被重新审视或补充。
2. 概念的完备性： 物理定义是为了描述和解释世界而建立的概念体系。如果一个定义在某些极端情况下显得自相矛盾或无法自圆其说，那可能意味着这个定义本身存在局限性。
3. 宏观与微观的衔接： 很多宏观物理定律在微观尺度下会失效或需要修正，因为微观世界的规律与宏观世界有显著不同。
分析 $r o 0$ 时 $F o infty$ 的“违背”之处
从字面意义上讲，万有引力公式和库仑力公式在 $r o 0$ 时趋向无穷大，并没有直接“违背”其自身的数学形式或其基本物理原理（即平方反比关系）本身。 这两个公式是根据大量实验观测和理论推导建立起来的，在它们各自适用的范围内表现得非常精确。
然而，这种趋向无穷大的结果，确实揭示了这两个公式的局限性，以及在极端情况下的不完备性。我们可以从以下几个层面来理解这种“违背”：
1. “点源”假设的失效：
这两个公式的推导都建立在“点源”的假设之上。点源是指具有质量或电荷，但自身体积可以忽略不计的抽象概念。
然而，在现实世界中，没有任何物体是真正的“点”。当两个物体之间的距离 $r$ 变得非常小，小到与物体本身的尺寸相当甚至小于物体内部的任何有效相互作用尺度时，“点源”的近似就已经不再成立了。
想象一下，当两个球形物体靠得非常近时，它们接触的表面决定了它们“有效”的距离，而不是理论上的质心距离，而且这时候它们的形状和内部结构都会开始发挥作用。
因此，当 $r o 0$ 时，我们实际上是在尝试将一个宏观或微观的、有尺寸的物体“压缩”成一个理论上的点，这在物理上是不可能的。当 $r$ 小到一定程度时，我们不再处理“点”，而是处理有体积的物体，它们的相互作用方式会变得非常复杂，不再仅仅遵循简单的平方反比关系。
2. 引力奇点与库仑奇点的问题：
引力方面： 在广义相对论中，黑洞的中心存在一个引力奇点（singularity），理论上在这里引力场强度是无穷大。万有引力公式在 $r o 0$ 时的结果与这种奇点现象有相似之处，但黑洞奇点是广义相对论的预测，涉及到时空的弯曲，是一个更深层的概念。对于两个普通物质物体靠近，万有引力定律本身的趋向无穷大也意味着它在极近距离下描述失效，例如在核物理尺度上，核力等其他更强的相互作用就会占据主导地位。
电荷方面： 库仑定律在 $r o 0$ 时趋向无穷大，也揭示了其在处理非常接近的电荷时的局限性。例如，在原子内部，电子和原子核之间的距离是有限的，它们之间的库仑力是极大的，但电子的运动遵循量子力学规律，其行为并非简单地被无限大的库仑力所支配。量子电动力学（QED）是描述电磁相互作用的更精确理论，它在微观尺度下可以处理这些问题，并且避免了直接的无穷大。
3. 量子效应与新物理学的出现：
当尺度 $r$ 趋于非常非常小时（例如普朗克尺度，约为 $10^{35}$ 米），我们进入了量子力学和量子场论的领域。在这些尺度下，粒子不再是经典意义上的点，而是具有波粒二象性的量子实体。
引力和电磁力在量子层面的描述需要量子场论来完成。例如，引力在量子层面的描述是一个悬而未决的问题（量子引力），但普遍认为它会在极小尺度下出现新的效应，例如量子涨落和时空量子化，这些都会阻止力无限增大。
对于电荷来说，量子电动力学已经能够很好地描述电荷之间的相互作用。虽然库仑定律是一个很好的低能、大尺度近似，但在处理非常接近的电荷时，可能会出现一些量子效应，例如屏蔽效应、真空极化等，这些效应会修正甚至改变力的行为。此外，在极高的能量或极小的尺度下，基本粒子本身的行为也需要用量子场论来解释，它们可能不是简单的点电荷。
总结来说，万有引力公式和库仑力公式在 $r o 0$ 时趋向无穷大，并非直接“违背”了其自身的数学定义或它们被发现时的物理背景，而是在揭示：
“点源”假设的局限性： 在实际物理过程中，不存在真正的点源，当距离接近物体尺寸时，公式失效。
理论的适用范围： 这两个公式是经典物理学的产物，它们在描述宏观低能情况下的物体相互作用时非常有效，但在极端情况（如极小距离）下，经典描述就会走向失效，需要更先进的理论（如广义相对论、量子场论）来补充和修正。
物理概念的演进： 科学的发展就是不断发现旧理论的局限性，并用更普适、更精确的理论来取代或完善它们。趋向无穷大的结果是物理学家认识到需要更深层理论的“信号”。
所以，与其说它们违背了“物理定义”，不如说它们指出了现有“物理定义”（即经典点粒子模型及其作用力公式）的“边界”或“不完备性”。这是科学进步的必然过程。
万有引力公式与库仑力公式的核心
这两个公式都是描述点源之间相互作用力的平方反比定律：
万有引力公式： $F_g = G frac{m_1 m_2}{r^2}$
$F_g$ 是两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体之间的引力。
$G$ 是万有引力常数。
$r$ 是两个物体质心之间的距离。
库仑力公式： $F_e = k frac{|q_1 q_2|}{r^2}$
$F_e$ 是两个电荷量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ 的点电荷之间的静电力。
$k$ 是库仑常数。
$r$ 是两个点电荷之间的距离。
在这两个公式中，力的大小都与距离的平方成反比。这意味着，当两个物体（或点电荷）之间的距离 $r$ 趋近于零时，它们之间的作用力理论上会趋向于无穷大。
“违背了什么物理定义？”—— 这句话的深层含义
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1. 实际物理过程的不可行性： 物理定律应该反映真实的、可观测的物理现象。如果一个定律在某个极限条件下导致了某种在现实中无法实现或观察到的结果，那么这个定律的适用范围就可能需要被重新审视或补充。
2. 概念的完备性： 物理定义是为了描述和解释世界而建立的概念体系。如果一个定义在某些极端情况下显得自相矛盾或无法自圆其说，那可能意味着这个定义本身存在局限性。
3. 宏观与微观的衔接： 很多宏观物理定律在微观尺度下会失效或需要修正，因为微观世界的规律与宏观世界有显著不同。
分析 $r o 0$ 时 $F o infty$ 的“违背”之处
从字面意义上讲，万有引力公式和库仑力公式在 $r o 0$ 时趋向无穷大，并没有直接“违背”其自身的数学形式或其基本物理原理（即平方反比关系）本身。 这两个公式是根据大量实验观测和理论推导建立起来的，在它们各自适用的范围内表现得非常精确。
然而，这种趋向无穷大的结果，确实揭示了这两个公式的局限性，以及在极端情况下的不完备性。我们可以从以下几个层面来理解这种“违背”：
1. “点源”假设的失效：
这两个公式的推导都建立在“点源”的假设之上。点源是指具有质量或电荷，但自身体积可以忽略不计的抽象概念。
然而，在现实世界中，没有任何物体是真正的“点”。当两个物体之间的距离 $r$ 变得非常小，小到与物体本身的尺寸相当甚至小于物体内部的任何有效相互作用尺度时，“点源”的近似就已经不再成立了。
想象一下，当两个球形物体靠得非常近时，它们接触的表面决定了它们“有效”的距离，而不是理论上的质心距离，而且这时候它们的形状和内部结构都会开始发挥作用。
因此，当 $r o 0$ 时，我们实际上是在尝试将一个宏观或微观的、有尺寸的物体“压缩”成一个理论上的点，这在物理上是不可能的。当 $r$ 小到一定程度时，我们不再处理“点”，而是处理有体积的物体，它们的相互作用方式会变得非常复杂，不再仅仅遵循简单的平方反比关系。
2. 引力奇点与库仑奇点的问题：
引力方面： 在广义相对论中，黑洞的中心存在一个引力奇点（singularity），理论上在这里引力场强度是无穷大。万有引力公式在 $r o 0$ 时的结果与这种奇点现象有相似之处，但黑洞奇点是广义相对论的预测，涉及到时空的弯曲，是一个更深层的概念。对于两个普通物质物体靠近，万有引力定律本身的趋向无穷大也意味着它在极近距离下描述失效，例如在核物理尺度上，核力等其他更强的相互作用就会占据主导地位。
电荷方面： 库仑定律在 $r o 0$ 时趋向无穷大，也揭示了其在处理非常接近的电荷时的局限性。例如，在原子内部，电子和原子核之间的距离是有限的，它们之间的库仑力是极大的，但电子的运动遵循量子力学规律，其行为并非简单地被无限大的库仑力所支配。量子电动力学（QED）是描述电磁相互作用的更精确理论，它在微观尺度下可以处理这些问题，并且避免了直接的无穷大。
3. 量子效应与新物理学的出现：
当尺度 $r$ 趋于非常非常小时（例如普朗克尺度，约为 $10^{35}$ 米），我们进入了量子力学和量子场论的领域。在这些尺度下，粒子不再是经典意义上的点，而是具有波粒二象性的量子实体。
引力和电磁力在量子层面的描述需要量子场论来完成。例如，引力在量子层面的描述是一个悬而未决的问题（量子引力），但普遍认为它会在极小尺度下出现新的效应，例如量子涨落和时空量子化，这些都会阻止力无限增大。
对于电荷来说，量子电动力学已经能够很好地描述电荷之间的相互作用。虽然库仑定律是一个很好的低能、大尺度近似，但在处理非常接近的电荷时，可能会出现一些量子效应，例如屏蔽效应、真空极化等，这些效应会修正甚至改变力的行为。此外，在极高的能量或极小的尺度下，基本粒子本身的行为也需要用量子场论来解释，它们可能不是简单的点电荷。
总结来说，万有引力公式和库仑力公式在 $r o 0$ 时趋向无穷大，并非直接“违背”了其自身的数学定义或它们被发现时的物理背景，而是在揭示：
“点源”假设的局限性： 在实际物理过程中，不存在真正的点源，当距离接近物体尺寸时，公式失效。
理论的适用范围： 这两个公式是经典物理学的产物，它们在描述宏观低能情况下的物体相互作用时非常有效，但在极端情况（如极小距离）下，经典描述就会走向失效，需要更先进的理论（如广义相对论、量子场论）来补充和修正。
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所以，与其说它们违背了“物理定义”，不如说它们指出了现有“物理定义”（即经典点粒子模型及其作用力公式）的“边界”或“不完备性”。这是科学进步的必然过程。
网友意见
我觉得这是个好问题. 我倾向于认为这是经典引力理论和经典静电学中的困难所在.
我们来考虑一个问题, 就是我们如何表达一个静电系统的相互作用能. 很明显, 它可以写作
(1)
注意到 , 我们有
分部积分一通,
(2)
看着好像没什么问题, 但是你仔细一想就会发现端倪: 被积函数是正定的! 积出来一定是正的!
那么这是为什么呢? 到底哪里出了问题?
问题就在于这些公式在有点电荷出现 (也就是 是 分布) 的情况就会 boom.
假如有点电荷出现, (1) 中的积分区域如果包含了点电荷的位置, 积分值就会 boom (因为会需要 这样的东西, 而 在 时趋于无穷).
另一方面, 如果有点电荷出现, (2) 中的积分区域无论是否包含点电荷的位置, 积分值都会 boom (因为 发散).
但是! 问题就在于如果有点电荷出现, 由 (2) 你还是可以获得一个看似有用的能量密度 (实则无用, 因为积出来发散). 那个看似有用的能量密度我们美其名曰点电荷的 "自能".
举个简单的例子. 假设空间中有两个点电荷, 则电场分布为
能量密度整一个
前两项很讨厌, 积出来是发散的. 你不喜欢, 然后就把它叫做 "自能". 最后一项, 你给它积一积, 嘿, 看上去不错:
(3)
那如果我要用 (1) 来算呢?
展开来会有 4 项, 其中有两项可以被当做 "自能" 扔掉 (积出来发散了), 另外两项积出来可以得到想要的结果 (3).
但是... 自说自话地把发散的东西称为 "自能" 然后扔掉真的没关系吗? 这听上去仿佛很掩耳盗铃, 毕竟如果没有点电荷的话就不需要 "自能" 这个概念了.
让我们回忆一下普通物理里面是怎么处理这个问题的. 电磁学课上老师告诉我们相互作用能里面每一项是电荷乘上除了这个电荷自己以外的电荷在此处产生的电势. 但是如果你看 (1) 式, 仿佛也没有刨除电荷自己产生的电势啊, 但老师会告诉你不刨除带来的影响为零, 所以就直接这么算了. 但为什么有 分布就又不行了呢?
那么其实如果要解决这个问题, 唯一的办法就是认为这是经典理论的困难之处. 解决它有两种方法.
- 认为不存在离散分布的电荷, 并认为任何点电荷都只是一种近似. 这样我们就可以认为电荷分布不可能具有 分布的形式, 也就规避了上面的所有问题.
- 认为不存在连续分布的电荷, 并认为任何连续分布的电荷都只是一种近似. 这样我们就可以认为严格来说上面所有的积分号都应写作求和号, 而计算相互作用能时可以直接放心地刨除电荷自己产生的势能为自己贡献的能量.
最后, 我应当指出, 经典理论的困难之处应当在经典电动力学课程的绪论阶段呈现. 这种批判式的思路值得同学们最先了解.
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