如何推导物体在液体中下沉时的运动方程?
好的，咱们来聊聊物体在液体里沉下去的时候，那股劲儿是怎么回事儿，以及怎么把它写成数学公式。我尽量说得接地气点，让你听着顺，感觉像是咱们俩坐在茶馆里唠嗑。
你看啊，东西扔水里，如果比水重，它就会往下沉。但它不是一下就到水底不动了，总有个过程吧？这个过程里，它到底是怎么运动的呢？这背后其实有好几个力在“较劲”。
首先，最直接的那个劲儿，是重力。
这好理解，地球妈妈拉着万物向下拽嘛。一个物体的重力，就是它的质量乘以重力加速度（g）。咱们知道，质量（m）就是物体里有多少“料”，而g就是地球给的那个加速度，大约是9.8米/秒²。所以，重力 $F_g = m cdot g$。这个力，永远是向下的。
然后，还有一个力在跟重力对着干，那就是浮力。
这个玩意儿是阿基米德老先生发现的。他说了，你把个东西扔水里，水就会给它一个向上的托力，这个托力有多大呢？就等于这东西排开了多少水，这些水的重力就是它的浮力。
排开的水有多重？
首先，我们要知道物体排开了多少水。这取决于物体浸入液体部分的体积（$V_{浸}$）。
然后，我们得知道水的密度（$ ho_液$）。水的密度一般是1000千克/立方米。
所以，排开水的质量就是水的密度乘以浸入液体的体积：$m_{水} = ho_液 cdot V_{浸}$。
最后，这些水的重力就是浮力：$F_{浮} = m_{水} cdot g = ho_液 cdot V_{浸} cdot g$。
这里有个小细节：如果物体是完全浸没在液体里，那么 $V_{浸}$ 就是物体的总体积（$V$）。如果物体只是一部分浸没，比如一个木头漂在水上，那 $V_{浸}$ 就是它在水下的那部分体积。咱们现在说的是物体下沉的过程，假设它已经完全浸没在水里了，所以 $V_{浸} = V$。
那么，当物体完全浸没时，浮力就是 $F_{浮} = ho_液 cdot V cdot g$。这个力，永远是向上的。
再然后，还有一个让物体运动慢下来的力，就是阻力。
你扔个小石子和扔个羽毛在水里，你会发现羽毛沉得特别慢，甚至可能飘着。这是因为水给羽毛的阻力太大了。这个阻力跟很多因素有关：
速度： 物体运动得越快，水给它的阻力就越大。
形状： 流线型的物体，比如子弹头，在水里阻力就小；而方方正正的石头，阻力就大。
液体性质： 液体的粘稠度越高（比如蜂蜜比水粘稠），阻力也越大。
物体大小和表面积： 物体体积越大，表面积越大，也可能阻力越大。
对于大多数情况，我们经常会简化处理阻力。最常见的两种处理方式是：
1. 斯托克斯定律（Stokes' Law）： 当物体运动速度很慢，而且形状比较规则（比如球形）时，我们可以用斯托克斯定律来近似计算阻力。在这个定律里，阻力 $F_{阻}$ 和速度 $v$ 是成正比的：
$F_{阻} = 6 pi eta r v$
其中，$eta$ 是液体的动力粘度，r是物体的半径，v是物体的速度。这个力总是和物体运动方向相反。
2. 阻力与速度平方成正比： 对于速度稍大一些的情况，阻力往往和速度的平方成正比，公式看起来像这样：
$F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
这里的 $C_d$ 是阻力系数，跟物体的形状有关；$ ho_液$ 是液体密度；$A$ 是物体的迎流面积（就是物体在运动方向上的投影面积）；$v$ 是速度。这个力也是和速度方向相反。
为了方便咱们理解，咱们先暂时以斯托克斯定律为例来说明，因为它公式简单点。记住，实际情况可能会更复杂。
现在，咱们把这些力都放在一起，看看物体受到的总的净力是多少。
牛顿第二定律告诉我们，物体受到的净力等于物体的质量乘以它的加速度：$F_{净} = m cdot a$。
我们设定一个坐标系，比如向下为正方向。那么，物体受到的力有：
重力 $F_g$ (向下，为正)
浮力 $F_{浮}$ (向上，为负)
阻力 $F_{阻}$ (向上，为负，因为它总是和运动方向相反，而我们设定向下为运动方向)
所以，净力 $F_{净} = F_g F_{浮} F_{阻}$。
根据牛顿第二定律，$F_{净} = m cdot a$，代入后得到：
$m cdot a = F_g F_{浮} F_{阻}$
现在，我们把之前算好的 $F_g$ 和 $F_{浮}$ 代进去。
物体的质量 $m$ 我们可以用物体的密度 $ ho_{物}$ 和体积 $V$ 来表示：$m = ho_{物} cdot V$。
所以，运动方程就是：
$( ho_{物} cdot V) cdot a = ( ho_{物} cdot V cdot g) ( ho_液 cdot V cdot g) F_{阻}$
整理一下：
$( ho_{物} cdot V) cdot a = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g F_{阻}$
因为 $a$ 就是速度的变化率，也就是 $frac{dv}{dt}$，所以我们可以把这个方程写成关于速度 $v$ 的微分方程。
如果我们用斯托克斯定律来表示阻力：$F_{阻} = 6 pi eta r v$
那么方程就变成：
$( ho_{物} cdot V) cdot frac{dv}{dt} = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g 6 pi eta r v$
这个方程描述的就是物体在液体中下沉时的运动状态。
这个方程告诉我们什么？
如果 $ ho_{物} > ho_液$： 式子 $( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g$ 是正的，说明有一个向下的净力。物体会加速下沉。
随着速度 $v$ 的增加： 阻力项 $6 pi eta r v$ 也会增加。这意味着向下的净力会逐渐减小。
最终达到一个平衡： 当阻力 $F_{阻}$ 增加到等于向下的净力（也就是重力减去浮力）时，净力就为零了，加速度也为零，物体就会以一个恒定的速度下沉，这个速度叫做终端速度。
在终端速度 $v_t$ 时，我们有 $F_g F_{浮} F_{阻(v_t)} = 0$。
所以，$( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g = 6 pi eta r v_t$
解出 $v_t = frac{( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g}{6 pi eta r}$。
注意，这个终端速度是假设阻力与速度成正比的。如果阻力与速度平方成正比，终端速度的计算就会不同。
如果我们用阻力与速度平方成正比的公式呢？
$F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
那么运动方程就是：
$( ho_{物} cdot V) cdot frac{dv}{dt} = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
这个方程就更复杂一些，通常需要数值方法来求解。它也描述了物体开始下沉时会加速，然后由于阻力增大而加速减缓，最终达到一个终端速度。
总结一下推导过程：
1. 确定所有作用力： 重力（向下）、浮力（向上）、阻力（与运动方向相反）。
2. 计算各力的大小：
重力：$F_g = m g = ho_{物} V g$
浮力：$F_{浮} = ho_液 V_{浸} g$ (当完全浸没时 $V_{浸}=V$)
阻力：根据速度大小选择合适的模型，如斯托克斯定律 $F_{阻} = 6 pi eta r v$ 或与速度平方成正比 $F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$。
3. 应用牛顿第二定律： 将所有力叠加，等于质量乘以加速度。选择一个正方向（比如向下为正）。
$F_{净} = F_g F_{浮} F_{阻} = m a$
4. 写成微分方程： 将 $m = ho_{物} V$ 和 $a = frac{dv}{dt}$ 代入，就得到了描述物体运动的微分方程。
整个过程就是把物理世界的力学原理，通过数学符号和方程表现出来。从最基本的力，到这些力如何影响物体的运动状态，再到用数学公式把这个“因果关系”写下来，这就是推导运动方程的精髓所在。希望我这么说，你能听明白是咋回事儿。
你看啊，东西扔水里，如果比水重，它就会往下沉。但它不是一下就到水底不动了，总有个过程吧？这个过程里，它到底是怎么运动的呢？这背后其实有好几个力在“较劲”。
首先，最直接的那个劲儿，是重力。
这好理解，地球妈妈拉着万物向下拽嘛。一个物体的重力，就是它的质量乘以重力加速度（g）。咱们知道，质量（m）就是物体里有多少“料”，而g就是地球给的那个加速度，大约是9.8米/秒²。所以，重力 $F_g = m cdot g$。这个力，永远是向下的。
然后，还有一个力在跟重力对着干，那就是浮力。
这个玩意儿是阿基米德老先生发现的。他说了，你把个东西扔水里，水就会给它一个向上的托力，这个托力有多大呢？就等于这东西排开了多少水，这些水的重力就是它的浮力。
排开的水有多重？
首先，我们要知道物体排开了多少水。这取决于物体浸入液体部分的体积（$V_{浸}$）。
然后，我们得知道水的密度（$ ho_液$）。水的密度一般是1000千克/立方米。
所以，排开水的质量就是水的密度乘以浸入液体的体积：$m_{水} = ho_液 cdot V_{浸}$。
最后，这些水的重力就是浮力：$F_{浮} = m_{水} cdot g = ho_液 cdot V_{浸} cdot g$。
这里有个小细节：如果物体是完全浸没在液体里，那么 $V_{浸}$ 就是物体的总体积（$V$）。如果物体只是一部分浸没，比如一个木头漂在水上，那 $V_{浸}$ 就是它在水下的那部分体积。咱们现在说的是物体下沉的过程，假设它已经完全浸没在水里了，所以 $V_{浸} = V$。
那么，当物体完全浸没时，浮力就是 $F_{浮} = ho_液 cdot V cdot g$。这个力，永远是向上的。
再然后，还有一个让物体运动慢下来的力，就是阻力。
你扔个小石子和扔个羽毛在水里，你会发现羽毛沉得特别慢，甚至可能飘着。这是因为水给羽毛的阻力太大了。这个阻力跟很多因素有关：
速度： 物体运动得越快，水给它的阻力就越大。
形状： 流线型的物体，比如子弹头，在水里阻力就小；而方方正正的石头，阻力就大。
液体性质： 液体的粘稠度越高（比如蜂蜜比水粘稠），阻力也越大。
物体大小和表面积： 物体体积越大，表面积越大，也可能阻力越大。
对于大多数情况，我们经常会简化处理阻力。最常见的两种处理方式是：
1. 斯托克斯定律（Stokes' Law）： 当物体运动速度很慢，而且形状比较规则（比如球形）时，我们可以用斯托克斯定律来近似计算阻力。在这个定律里，阻力 $F_{阻}$ 和速度 $v$ 是成正比的：
$F_{阻} = 6 pi eta r v$
其中，$eta$ 是液体的动力粘度，r是物体的半径，v是物体的速度。这个力总是和物体运动方向相反。
2. 阻力与速度平方成正比： 对于速度稍大一些的情况，阻力往往和速度的平方成正比，公式看起来像这样：
$F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
这里的 $C_d$ 是阻力系数，跟物体的形状有关；$ ho_液$ 是液体密度；$A$ 是物体的迎流面积（就是物体在运动方向上的投影面积）；$v$ 是速度。这个力也是和速度方向相反。
为了方便咱们理解，咱们先暂时以斯托克斯定律为例来说明，因为它公式简单点。记住，实际情况可能会更复杂。
现在，咱们把这些力都放在一起，看看物体受到的总的净力是多少。
牛顿第二定律告诉我们，物体受到的净力等于物体的质量乘以它的加速度：$F_{净} = m cdot a$。
我们设定一个坐标系，比如向下为正方向。那么，物体受到的力有：
重力 $F_g$ (向下，为正)
浮力 $F_{浮}$ (向上，为负)
阻力 $F_{阻}$ (向上，为负，因为它总是和运动方向相反，而我们设定向下为运动方向)
所以，净力 $F_{净} = F_g F_{浮} F_{阻}$。
根据牛顿第二定律，$F_{净} = m cdot a$，代入后得到：
$m cdot a = F_g F_{浮} F_{阻}$
现在，我们把之前算好的 $F_g$ 和 $F_{浮}$ 代进去。
物体的质量 $m$ 我们可以用物体的密度 $ ho_{物}$ 和体积 $V$ 来表示：$m = ho_{物} cdot V$。
所以，运动方程就是：
$( ho_{物} cdot V) cdot a = ( ho_{物} cdot V cdot g) ( ho_液 cdot V cdot g) F_{阻}$
整理一下：
$( ho_{物} cdot V) cdot a = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g F_{阻}$
因为 $a$ 就是速度的变化率，也就是 $frac{dv}{dt}$，所以我们可以把这个方程写成关于速度 $v$ 的微分方程。
如果我们用斯托克斯定律来表示阻力：$F_{阻} = 6 pi eta r v$
那么方程就变成：
$( ho_{物} cdot V) cdot frac{dv}{dt} = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g 6 pi eta r v$
这个方程描述的就是物体在液体中下沉时的运动状态。
这个方程告诉我们什么？
如果 $ ho_{物} > ho_液$： 式子 $( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g$ 是正的，说明有一个向下的净力。物体会加速下沉。
随着速度 $v$ 的增加： 阻力项 $6 pi eta r v$ 也会增加。这意味着向下的净力会逐渐减小。
最终达到一个平衡： 当阻力 $F_{阻}$ 增加到等于向下的净力（也就是重力减去浮力）时，净力就为零了，加速度也为零，物体就会以一个恒定的速度下沉，这个速度叫做终端速度。
在终端速度 $v_t$ 时，我们有 $F_g F_{浮} F_{阻(v_t)} = 0$。
所以，$( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g = 6 pi eta r v_t$
解出 $v_t = frac{( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g}{6 pi eta r}$。
注意，这个终端速度是假设阻力与速度成正比的。如果阻力与速度平方成正比，终端速度的计算就会不同。
如果我们用阻力与速度平方成正比的公式呢？
$F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
那么运动方程就是：
$( ho_{物} cdot V) cdot frac{dv}{dt} = ( ho_{物} ho_液) cdot V cdot g frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$
这个方程就更复杂一些，通常需要数值方法来求解。它也描述了物体开始下沉时会加速，然后由于阻力增大而加速减缓，最终达到一个终端速度。
总结一下推导过程：
1. 确定所有作用力： 重力（向下）、浮力（向上）、阻力（与运动方向相反）。
2. 计算各力的大小：
重力：$F_g = m g = ho_{物} V g$
浮力：$F_{浮} = ho_液 V_{浸} g$ (当完全浸没时 $V_{浸}=V$)
阻力：根据速度大小选择合适的模型，如斯托克斯定律 $F_{阻} = 6 pi eta r v$ 或与速度平方成正比 $F_{阻} = frac{1}{2} C_d ho_液 A v^2$。
3. 应用牛顿第二定律： 将所有力叠加，等于质量乘以加速度。选择一个正方向（比如向下为正）。
$F_{净} = F_g F_{浮} F_{阻} = m a$
4. 写成微分方程： 将 $m = ho_{物} V$ 和 $a = frac{dv}{dt}$ 代入，就得到了描述物体运动的微分方程。
整个过程就是把物理世界的力学原理，通过数学符号和方程表现出来。从最基本的力，到这些力如何影响物体的运动状态，再到用数学公式把这个“因果关系”写下来，这就是推导运动方程的精髓所在。希望我这么说，你能听明白是咋回事儿。
网友意见
鉴于有个小朋友问了好多细节，我就把答案公式重写一遍了，我们甚至可以用这个方程来算向水里扔硬币的问题。
圆柱完全浸入水中，圆柱质量 ，体积 ，以速度 ，在密度为 的水中下落。那么根据牛二，列出重力、浮力、阻力可以得到：
对于阻力公式 ，其中 是阻力系数， 是圆柱的迎流方向投影的面。
圆柱体积可以用 ,但是迎流面积不一定是圆面积，圆柱有可能是躺着入水的。
只有 和 是变量，其他用常数 代替。反正不影响结果。整理(1)式有
化简为
很简单的微分方程,移项积分
左边积分
右边积分
左右联立可得
是积分常数，由边界条件确定。然后打开把AB变成原来的，展开
不喜欢双曲函数还可以用指数表示
当然也可以认为是低速度低雷诺数的情况阻力用 那么
很简单吧
评论有人问初始条件 时位移 对 的函数。这时候
我们把（7）积分一下就好了
边界 ，
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