如何推导以下几种连分数表示？
好的，我们来聊聊一些经典的连分数表示是如何得来的。与其说是“推导”，不如说是“构造”或“发现”的过程，因为很多时候我们是先有了某个数（比如 $pi$ 或 $sqrt{2}$），然后去寻找它的连分数形式，而不是反过来先有连分数形式再得到数。
我会尽量用通俗易懂的方式来解释，就像跟朋友聊天一样，避免那些“AI味儿”的刻板语言。咱们一个个来，你想了解哪种呢？还是说你对这几种经典的连分数特别感兴趣？
为了有个好的开端，我们先从最简单、最基础的整数和有理数说起，然后再逐渐深入到一些特殊无理数。
1. 整数的连分数表示
这个最简单，甚至有点“无聊”，但它是理解后面一切的基础。
假设我们要表示一个整数 $n$。连分数的基本形式是：
$a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}$
其中 $a_0$ 是一个整数，$a_1, a_2, dots$ 都是正整数。
对于一个整数 $n$，我们怎么把它塞进这个形式里呢？
很简单，我们可以把它写成：
$n = n + frac{0}{1}$
但是连分数要求后面的部分必须是 $frac{1}{dots}$。所以，我们自然想到：
$n = n + frac{1}{infty}$
这里的 $infty$ 虽然不是一个严格意义上的整数，但在连分数的语境下，它表示一个“无穷大”的项。我们可以把它看作是连分数的“终止”。
所以，整数 $n$ 的连分数表示就是 $[n]$。它只有一个项 $a_0 = n$。
举个例子：
整数 3 的连分数表示就是 $[3]$。
整数 5 的连分数表示就是 $[5]$。
这就像是说，一个整数本身就是最简洁的形式，不需要再用其他数来“拆解”它了。
2. 有理数的连分数表示
有理数就是可以表示成 $frac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，且 $q eq 0$。
我们知道一个基本的算法叫做 欧几里得算法（Euclidean Algorithm），用来求两个数的最大公约数。这个算法本身就蕴含着连分数的思想。
让我们看看欧几里得算法是怎么工作的：
假设我们要表示有理数 $frac{p}{q}$。我们总是可以假设 $p > q > 0$（如果不是，可以先处理一下正负号和大小关系）。
第一步： 用 $p$ 除以 $q$，得到商 $a_0$ 和余数 $r_0$。
$p = a_0 q + r_0$, 其中 $0 le r_0 < q$。
那么，$frac{p}{q} = a_0 + frac{r_0}{q}$。
第二步： 如果 $r_0 = 0$，那么 $frac{p}{q} = a_0$，这就是整数的情况。
第三步： 如果 $r_0 eq 0$，我们就用 $q$ 除以 $r_0$，得到商 $a_1$ 和余数 $r_1$。
$q = a_1 r_0 + r_1$, 其中 $0 le r_1 < r_0$。
那么，$frac{q}{r_0} = a_1 + frac{r_1}{r_0}$。
如果我们把 $frac{p}{q} = a_0 + frac{r_0}{q}$ 变形一下，变成 $frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{q/r_0}$，然后代入 $frac{q}{r_0}$ 的表达式，就得到：
$frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{r_1}{r_0}}$。
第四步： 继续这个过程。用 $r_0$ 除以 $r_1$，得到商 $a_2$ 和余数 $r_2$。
$r_0 = a_2 r_1 + r_2$, 其中 $0 le r_2 < r_1$。
$frac{r_0}{r_1} = a_2 + frac{r_2}{r_1}$。
代入上一步的表达式：
$frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{r_2}{r_1}}}$。
我们发现，这个过程就是在不断地用余数去除前一个除数，直到余数为零。欧几里得算法保证了余数是递减的（$q > r_0 > r_1 > r_2 > dots ge 0$），所以这个过程一定会终止于余数为零。
当余数为零时，最后一个非零余数就是最大公约数。而我们得到的商 $a_0, a_1, a_2, dots$ 就组成了这个有理数的连分数表示。
举个例子：表示 $frac{23}{13}$
1. $23 div 13$: 商是 $1$，余数是 $10$。
$23 = 1 imes 13 + 10$
$frac{23}{13} = 1 + frac{10}{13}$
2. 用 $13$ 除以 $10$: 商是 $1$，余数是 $3$。
$13 = 1 imes 10 + 3$
$frac{13}{10} = 1 + frac{3}{10}$
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{3}{10}}$
3. 用 $10$ 除以 $3$: 商是 $3$，余数是 $1$。
$10 = 3 imes 3 + 1$
$frac{10}{3} = 3 + frac{1}{3}$
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{3 + frac{1}{3}}}$
4. 用 $3$ 除以 $1$: 商是 $3$，余数是 $0$。
$3 = 3 imes 1 + 0$
$frac{3}{1} = 3$ (这里就终止了，或者说最后一个项是 3)
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{3 + frac{1}{3}}}$
所以，$frac{23}{13}$ 的连分数表示是 $[1; 1, 3, 3]$。这里的冒号和分号通常用来分隔整数部分和后面的部分，与纯数学中的记法略有不同，但含义是一致的。
为什么说这是“构造”？
因为欧几里得算法本身就是一个“提取最大整数部分，然后处理剩余小数部分”的过程。每次取倒数，就是把那个“剩余小数部分”放到分母上，然后再次提取整数部分。这个过程非常自然，就像剥洋葱一样，一层一层地把数字的结构展露出来。
几个关键点：
唯一性： 任何有理数都有唯一的有限连分数表示，除了可以以 1 结尾的表示可以改写成前一项减 1 加上一个 $frac{1}{1}$ 的形式。例如，$[1; 2]$ 可以写成 $1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$。而 $frac{3}{2}$ 也可以写成 $[1; 1, 1]$，因为 $1 + frac{1}{1+frac{1}{1}} = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$。通常，我们约定不让连分数以 1 结尾，除非它是唯一的项（即只有整数部分）。
有理数总是有理数： 任何有限连分数展开式总是代表一个有理数。这是因为每次提取整数部分和剩余部分的倒数，得到的操作都是有理数上的加法和乘法，这些运算在有理数集合内封闭。
说到这里，你对整数和有理数的连分数表示是不是感觉有点思路了？我们可以继续聊聊无理数，它们会更有趣一些，因为它们的连分数是无限的，而且往往有一些特别的模式。
你想先听听哪个无理数的连分数？比如 $sqrt{2}$？还是 $pi$？或者别的什么？我都可以跟你慢慢讲。
我会尽量用通俗易懂的方式来解释，就像跟朋友聊天一样，避免那些“AI味儿”的刻板语言。咱们一个个来，你想了解哪种呢？还是说你对这几种经典的连分数特别感兴趣？
为了有个好的开端，我们先从最简单、最基础的整数和有理数说起，然后再逐渐深入到一些特殊无理数。
1. 整数的连分数表示
这个最简单，甚至有点“无聊”，但它是理解后面一切的基础。
假设我们要表示一个整数 $n$。连分数的基本形式是：
$a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}$
其中 $a_0$ 是一个整数，$a_1, a_2, dots$ 都是正整数。
对于一个整数 $n$，我们怎么把它塞进这个形式里呢？
很简单，我们可以把它写成：
$n = n + frac{0}{1}$
但是连分数要求后面的部分必须是 $frac{1}{dots}$。所以，我们自然想到：
$n = n + frac{1}{infty}$
这里的 $infty$ 虽然不是一个严格意义上的整数，但在连分数的语境下，它表示一个“无穷大”的项。我们可以把它看作是连分数的“终止”。
所以，整数 $n$ 的连分数表示就是 $[n]$。它只有一个项 $a_0 = n$。
举个例子：
整数 3 的连分数表示就是 $[3]$。
整数 5 的连分数表示就是 $[5]$。
这就像是说，一个整数本身就是最简洁的形式，不需要再用其他数来“拆解”它了。
2. 有理数的连分数表示
有理数就是可以表示成 $frac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，且 $q eq 0$。
我们知道一个基本的算法叫做 欧几里得算法（Euclidean Algorithm），用来求两个数的最大公约数。这个算法本身就蕴含着连分数的思想。
让我们看看欧几里得算法是怎么工作的：
假设我们要表示有理数 $frac{p}{q}$。我们总是可以假设 $p > q > 0$（如果不是，可以先处理一下正负号和大小关系）。
第一步： 用 $p$ 除以 $q$，得到商 $a_0$ 和余数 $r_0$。
$p = a_0 q + r_0$, 其中 $0 le r_0 < q$。
那么，$frac{p}{q} = a_0 + frac{r_0}{q}$。
第二步： 如果 $r_0 = 0$，那么 $frac{p}{q} = a_0$，这就是整数的情况。
第三步： 如果 $r_0 eq 0$，我们就用 $q$ 除以 $r_0$，得到商 $a_1$ 和余数 $r_1$。
$q = a_1 r_0 + r_1$, 其中 $0 le r_1 < r_0$。
那么，$frac{q}{r_0} = a_1 + frac{r_1}{r_0}$。
如果我们把 $frac{p}{q} = a_0 + frac{r_0}{q}$ 变形一下，变成 $frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{q/r_0}$，然后代入 $frac{q}{r_0}$ 的表达式，就得到：
$frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{r_1}{r_0}}$。
第四步： 继续这个过程。用 $r_0$ 除以 $r_1$，得到商 $a_2$ 和余数 $r_2$。
$r_0 = a_2 r_1 + r_2$, 其中 $0 le r_2 < r_1$。
$frac{r_0}{r_1} = a_2 + frac{r_2}{r_1}$。
代入上一步的表达式：
$frac{p}{q} = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{r_2}{r_1}}}$。
我们发现，这个过程就是在不断地用余数去除前一个除数，直到余数为零。欧几里得算法保证了余数是递减的（$q > r_0 > r_1 > r_2 > dots ge 0$），所以这个过程一定会终止于余数为零。
当余数为零时，最后一个非零余数就是最大公约数。而我们得到的商 $a_0, a_1, a_2, dots$ 就组成了这个有理数的连分数表示。
举个例子：表示 $frac{23}{13}$
1. $23 div 13$: 商是 $1$，余数是 $10$。
$23 = 1 imes 13 + 10$
$frac{23}{13} = 1 + frac{10}{13}$
2. 用 $13$ 除以 $10$: 商是 $1$，余数是 $3$。
$13 = 1 imes 10 + 3$
$frac{13}{10} = 1 + frac{3}{10}$
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{3}{10}}$
3. 用 $10$ 除以 $3$: 商是 $3$，余数是 $1$。
$10 = 3 imes 3 + 1$
$frac{10}{3} = 3 + frac{1}{3}$
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{3 + frac{1}{3}}}$
4. 用 $3$ 除以 $1$: 商是 $3$，余数是 $0$。
$3 = 3 imes 1 + 0$
$frac{3}{1} = 3$ (这里就终止了，或者说最后一个项是 3)
代入：$frac{23}{13} = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{3 + frac{1}{3}}}$
所以，$frac{23}{13}$ 的连分数表示是 $[1; 1, 3, 3]$。这里的冒号和分号通常用来分隔整数部分和后面的部分，与纯数学中的记法略有不同，但含义是一致的。
为什么说这是“构造”？
因为欧几里得算法本身就是一个“提取最大整数部分，然后处理剩余小数部分”的过程。每次取倒数，就是把那个“剩余小数部分”放到分母上，然后再次提取整数部分。这个过程非常自然，就像剥洋葱一样，一层一层地把数字的结构展露出来。
几个关键点：
唯一性： 任何有理数都有唯一的有限连分数表示，除了可以以 1 结尾的表示可以改写成前一项减 1 加上一个 $frac{1}{1}$ 的形式。例如，$[1; 2]$ 可以写成 $1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$。而 $frac{3}{2}$ 也可以写成 $[1; 1, 1]$，因为 $1 + frac{1}{1+frac{1}{1}} = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$。通常，我们约定不让连分数以 1 结尾，除非它是唯一的项（即只有整数部分）。
有理数总是有理数： 任何有限连分数展开式总是代表一个有理数。这是因为每次提取整数部分和剩余部分的倒数，得到的操作都是有理数上的加法和乘法，这些运算在有理数集合内封闭。
说到这里，你对整数和有理数的连分数表示是不是感觉有点思路了？我们可以继续聊聊无理数，它们会更有趣一些，因为它们的连分数是无限的，而且往往有一些特别的模式。
你想先听听哪个无理数的连分数？比如 $sqrt{2}$？还是 $pi$？或者别的什么？我都可以跟你慢慢讲。
网友意见
听说你们想要 ，好，证明给你们看：
那个，原题还有一个连分数，证明在最后哦！（｡ò ∀ ó｡）这两个证明都是比较初等的。
首先第一步就要吓住你们！
当然了，这个绝对是附加题了，按照契约，在回答最后会补充题目中一个连分数的证明
第一步：
注意到
于是可以收敛地求和：
下式成立：
其中
并且由此对应的
首先考察
于是
把它写成：
求和，上式自带裂项，得到
为了利用类似的部分分式技术
记
下求 ，显然由上定义：
于是，让我们完成复杂的计算，不要害怕哦
（ヽ（≧□≦）ノ）
一般的，我们记
其中
由于 时 收敛
因此必须有
故因为多项式性质 分母没有
那么
因此 因此
完成了证明
下面考虑到 是关于 的有理函数
第二步：定义
定义
下式成立：
我们注意到恒等式
剩下繁琐的计算验证工作省略
放心，还有更繁琐的：
下式成立：
根据前面 可验证原式
然后注意到： 得证
类似的，也可以处理：（一样的递推）
还记得根据前面
（因为 是平凡的）
于是 那条递推式，相当于：
的所有部分分数的分子的和，故
因此 都满足这条递推
第三步：容易归纳得到
而且 这个不好证明，有空补
当然只是收敛性相关的结论，无伤大雅
于是
这样可以写出递推：
于是
于是利用前面 @有丘直方 同学回答的方法，得到
最后是你们想要的最后一组
下式成立
于是根据 的 展式，和裂项技巧
结论易证
现在回到原题，我们写开引理式：
而设
按照连分数的性质，类似的有
考虑
另外数学归纳法可以证明：
因此
剩下验证这与那个无穷级数一致的工作就是很简单的了
程序员传统：迭代变量下界为 ，上界取不到。
引理 （Horner算法）：设数列 满足递推式 且 ，则 。
略证：要看出这一点，只需要将和式与递推式展开地写成
。
我们将看到算法理论中的结论在数学中为数不多的应用。
引理 ：令 ，则 。
证：
。
引理 （Euler连分数公式）：若令 ，则 。
证：利用引理 ， 。故由引理 可得 。
反复利用数列 的递推式，可得
。
取 时的极限，得
。
引理 ：设 ，则 。
证：容易看出 。利用引理 可得
。
上式两边乘 ，得
。
引理 ：设 ，则 。
证：令 ，则由引理 得
。
上式两边乘 ，得
。
有了上面的引理就可以开干了。
令 ，则由引理 得
，
即
。
根据Gregory级数 可得 。故
。
在上式中令 ，则 。于是得
。
引理 （Gauss连分数公式）：设 是一个数列，函数列 满足递推式 。则 。
证：令 ，则其满足递推式 。
反复使用递推式可得
。
引理 ：超几何函数 可以写成连分数 。
证：定义如下函数列：
，
，
，
，
……
则其满足引理 中的递推关系，其中
，
，
，
……
（请读者自行找规律，懒得写通项。）
于是由引理 可得
，
或者
。
令 ，则 。上式变为
。
那么既然 型的超几何函数可以写成连分数，反正切函数 当然也可以。直接利用引理 可得
。
在上式中令 ，则 。于是得
。
最后还有一个连分数在 @cyb酱 的回答中被证明了。
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