为什么实对称矩阵一定可以正交对角化？

实对称矩阵之所以一定能正交对角化，这是一个相当深刻且漂亮的数学结论，它的背后牵涉到线性代数中的几个核心概念和定理。要把它讲明白，我们需要一步一步来，就像剥洋葱一样，把里面的逻辑层层揭开。

我们先来明确几个基本概念：

矩阵: 就是一个数字的方阵，比如 $2 imes 2$ 的就长这样：
$$
A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}
$$
实对称矩阵 (Real Symmetric Matrix): 就是一个矩阵，它的元素都是实数，并且它等于它的转置矩阵。转置就是把行变成列，列变成行。所以，如果 $A^T$ 表示 $A$ 的转置，那么实对称矩阵满足 $A = A^T$。这也就是说，矩阵的“对角线”上面的元素和它关于对角线的“对称位置”上的元素是相等的。例如：
$$
A = egin{pmatrix} a & b \ b & d end{pmatrix}
$$
这里的 $a, b, d$ 都是实数。
对角化 (Diagonalization): 就是找到一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$，使得 $A = PDP^{1}$。对角矩阵就是主对角线上的元素非零，其余元素都是零的矩阵。
$$
D = egin{pmatrix} lambda_1 & 0 & dots & 0 \ 0 & lambda_2 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & lambda_n end{pmatrix}
$$
对角化很有用，因为对角矩阵的幂运算非常简单，$D^k$ 就是主对角线上的元素分别取 $k$ 次幂。
正交对角化 (Orthogonal Diagonalization): 这是对角化的一种特殊情况，要求那个用来转换的矩阵 $P$ 是一个正交矩阵。正交矩阵满足 $P^T = P^{1}$，或者说 $P^T P = I$ (单位矩阵)。正交矩阵的性质非常好，它代表了一种“保持长度和角度”的线性变换（旋转、反射）。如果一个矩阵可以正交对角化，我们就能找到一个正交矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$ 使得 $A = PDP^T$。

那么，为什么实对称矩阵就一定能做到这一点呢？

要证明这一点，我们需要解决两个关键问题：

1. 实对称矩阵的特征值都是实数。
2. 属于不同特征值的特征向量是正交的。
3. 对于重根特征值，一定存在一组正交的特征向量。

如果能证明这三点，我们就可以构造出那个正交的矩阵 $P$ 了。

第一步：实对称矩阵的特征值都是实数

这是非常关键的一步。我们先来回顾一下特征值和特征向量的定义：对于一个矩阵 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个数 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，那么 $lambda$ 就称为 $A$ 的一个特征值，而 $v$ 就是对应的特征向量。

我们用复数来考虑特征值，因为在复数域中，任何多项式（包括特征多项式）至少有一个根。

设 $A$ 是一个 $n imes n$ 的实对称矩阵，$A^T = A$。
假设 $lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量是 $v$。因为我们允许复数，所以 $v$ 可能是一个复向量。
我们有 $Av = lambda v$。

现在，我们考虑这个等式的“伴随”形式。在复数向量空间中，我们通常使用共轭转置（$ar{v}^T$）来代替实数域中的转置（$v^T$）。
所以，我们从 $Av = lambda v$ 的两边进行共轭转置：
$(ar{v}^T A) v = (ar{v}^T (lambda v))$
$ar{v}^T A v = lambda ar{v}^T v$

这里的 $ar{v}$ 是 $v$ 的每个分量都取共轭复数得到的向量。

我们知道 $A$ 是实对称矩阵，所以 $A^T = A$。
现在，我们把这个信息用在等式的左边：
$ar{v}^T A v$

我们可以把 $A$ 移到 $ar{v}^T$ 的右边，但是要小心，因为转置的时候，矩阵的位置也要跟着变。而且，我们有 $A^T = A$。
考虑 $ar{v}^T A v$。
我们也可以写成 $(overline{Av})^T v$。
因为 $Av = lambda v$，所以 $(overline{Av})^T v = (overline{lambda v})^T v = (ar{lambda} ar{v})^T v = ar{lambda} ar{v}^T v$。

现在我们来看看 $ar{v}^T A v$ 的另一种写法。
我们可以把 $A$ 放在 $ar{v}^T$ 的右边，但是因为我们要在 $A$ 上做文章，并且 $A$ 是实对称的，我们可以这样操作：
考虑 $(ar{v}^T A) v$。
因为 $A$ 是实数矩阵，所以 $overline{A} = A$。
我们可以写成 $(ar{v}^T overline{A}) v$。
现在考虑 $(ar{v}^T A)^T = A^T (ar{v}^T)^T = A^T ar{v} = A ar{v}$ （因为 $A^T=A$）。
所以 $ar{v}^T A = (A ar{v})^T$。

这似乎有点绕。换个思路，直接利用 $A=A^T$。
我们知道 $ar{v}^T A v$ 是一个标量（一个数），所以它的共轭等于它本身：
$overline{(ar{v}^T A v)} = ar{v}^T A v$

现在，我们来计算左边的共轭：
$overline{(ar{v}^T A v)} = (ar{v}^T A v)^ = v^T ar{A} (ar{v}^T)^ = v^T ar{A} ar{v}$
因为 $A$ 是实数矩阵，所以 $ar{A} = A$。
$= v^T A ar{v}$

这里 $v^T A ar{v}$ 和 $ar{v}^T A v$ 又有什么关系呢？
我们知道 $A^T = A$。
考虑 $v^T A ar{v}$。 由于 $A$ 是实数矩阵，我们可以把 $A$ 提到前面，但是我们要处理 $v^T$。
$v^T A ar{v}$ 是一个数，所以它等于它的转置：$(v^T A ar{v})^T = ar{v}^T A^T (v^T)^T = ar{v}^T A^T v$。
因为 $A^T = A$，所以 $v^T A ar{v} = ar{v}^T A v$。

好的，我们现在得到了一个很重要的关系：
$ar{v}^T A v = v^T A ar{v}$

我们之前从 $Av = lambda v$ 推导出了：
1. $ar{v}^T A v = lambda ar{v}^T v$
2. $(overline{Av})^T v = ar{lambda} ar{v}^T v$ => $v^T A ar{v} = ar{lambda} ar{v}^T v$

现在，由于 $ar{v}^T A v = v^T A ar{v}$，所以：
$lambda ar{v}^T v = ar{lambda} ar{v}^T v$

$ar{v}^T v$ 是什么呢？如果 $v = egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix}$，那么 $ar{v}^T v = egin{pmatrix} ar{v}_1 & ar{v}_2 & dots & ar{v}_n end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix} = ar{v}_1 v_1 + ar{v}_2 v_2 + dots + ar{v}_n v_n = |v_1|^2 + |v_2|^2 + dots + |v_n|^2$。
这是一个实数，并且因为 $v$ 是非零特征向量，所以 $ar{v}^T v > 0$。

那么我们可以从 $lambda ar{v}^T v = ar{lambda} ar{v}^T v$ 两边同时除以 $ar{v}^T v$：
$lambda = ar{lambda}$

一个数等于它的共轭，这意味着这个数一定是实数。
所以，实对称矩阵的所有特征值都是实数。

第二步：属于不同特征值的特征向量是正交的

现在我们有了实对称矩阵的特征值都是实数这个重要性质。
设 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 是 $A$ 的两个不同的特征值（$lambda_1 eq lambda_2$），并且它们是实数。
设 $v_1$ 是 $lambda_1$ 的特征向量，$v_2$ 是 $lambda_2$ 的特征向量。
所以，$Av_1 = lambda_1 v_1$ 且 $Av_2 = lambda_2 v_2$。

我们要证明的是 $v_1$ 和 $v_2$ 是正交的，也就是说，它们的内积是零，即 $v_1^T v_2 = 0$。

考虑 $lambda_1 v_1^T v_2$。
$lambda_1 v_1^T v_2 = (Av_1)^T v_2$
因为 $A$ 是实对称矩阵，$A^T = A$。
$(Av_1)^T v_2 = v_1^T A^T v_2 = v_1^T A v_2$
现在我们知道 $Av_2 = lambda_2 v_2$，所以代入：
$v_1^T A v_2 = v_1^T (lambda_2 v_2) = lambda_2 v_1^T v_2$

所以，我们得到了：
$lambda_1 v_1^T v_2 = lambda_2 v_1^T v_2$

移项：
$(lambda_1 lambda_2) v_1^T v_2 = 0$

因为我们假设 $lambda_1 eq lambda_2$，所以 $lambda_1 lambda_2 eq 0$。
要使这个等式成立，唯一的可能就是 $v_1^T v_2 = 0$。
所以，属于不同特征值的特征向量是正交的。

第三步：对于重根特征值，一定存在一组正交的特征向量

这一步是证明的关键点，也是稍微复杂一点的部分，它需要用到线性代数中的另一个重要工具——施密特正交化（GramSchmidt Orthogonalization）。

假设某个实特征值 $lambda$ 是一个重根，也就是说，特征多项式在 $lambda$ 处有重根。
设与特征值 $lambda$ 对应的特征子空间（所有属于 $lambda$ 的特征向量构成的向量空间）的维度是 $k$（这里的 $k$ 就是特征值 $lambda$ 的代数重数）。
根据线性代数的谱定理（Spectral Theorem），对于对称矩阵，几何重数（特征子空间的维度）总是等于代数重数。这意味着我们可以找到 $k$ 个线性无关的特征向量，它们都对应于特征值 $lambda$。

我们知道 $k ge 1$。设这 $k$ 个线性无关的特征向量为 $u_1, u_2, dots, u_k$。
它们都满足 $Au_i = lambda u_i$ 对于 $i = 1, dots, k$。
虽然它们线性无关，但它们不一定是两两正交的。

这时，我们就用上施密特正交化方法。
我们可以从 ${u_1, u_2, dots, u_k}$ 这个线性无关组，构造出一组正交的向量 ${v_1, v_2, dots, v_k}$，使得它们仍然张成同一个子空间（即仍是特征值 $lambda$ 的特征向量），并且 $v_i cdot v_j = 0$ ($i eq j$)。

施密特正交化的过程是这样的：
1. $v_1 = u_1$
2. $v_2 = u_2 ext{proj}_{v_1} u_2 = u_2 frac{u_2 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} v_1$
3. $v_3 = u_3 ext{proj}_{v_1} u_3 ext{proj}_{v_2} u_3 = u_3 frac{u_3 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} v_1 frac{u_3 cdot v_2}{v_2 cdot v_2} v_2$
...
k. $v_k = u_k sum_{j=1}^{k1} ext{proj}_{v_j} u_k = u_k sum_{j=1}^{k1} frac{u_k cdot v_j}{v_j cdot v_j} v_j$

现在，关键问题是：我们用施密特正交化得到的 $v_i$ 还是不是 $A$ 的特征向量？
我们来验证一下。我们知道 $Au_i = lambda u_i$。
考虑 $Av_2$：
$Av_2 = A(u_2 frac{u_2 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} v_1)$
$Av_2 = Au_2 frac{u_2 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} Av_1$
$Av_2 = lambda u_2 frac{u_2 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} (lambda v_1)$ （因为 $Au_2 = lambda u_2$ 且 $Av_1 = lambda v_1$）
$Av_2 = lambda (u_2 frac{u_2 cdot v_1}{v_1 cdot v_1} v_1)$
$Av_2 = lambda v_2$

这个结果非常重要！它表明，如果我们对一个特征向量（或一组特征向量构成的子空间的基）进行施密特正交化，得到的新的正交向量仍然是同一个特征值的特征向量。
这是因为 $Au_i = lambda u_i$，而对于 $v_j$ 的线性组合（例如 $ ext{proj}_{v_j} u_i = c u_i'$ 形式），应用 $A$ 后仍然可以提取出 $lambda$ 的因子。
具体来说，对于任意的线性组合 $w = sum_{i=1}^k c_i u_i$，都有 $Aw = A(sum c_i u_i) = sum c_i (Au_i) = sum c_i (lambda u_i) = lambda sum c_i u_i = lambda w$。
所以，$Av_j = lambda v_j$ 对于所有 $j=1, dots, k$ 成立。

这样一来，对于重根特征值 $lambda$，我们就可以构造出一组 $k$ 个正交的特征向量 ${v_1, v_2, dots, v_k}$，它们都对应于特征值 $lambda$。

整合与构造正交矩阵 $P$

现在我们已经证明了：
1. 所有特征值都是实数。
2. 不同特征值的特征向量正交。
3. 相同重根特征值有正交的特征向量组。

这意味着，对于一个 $n imes n$ 的实对称矩阵 $A$，我们可以找到 $n$ 个相互正交的特征向量 $w_1, w_2, dots, w_n$，它们构成了整个 $mathbb{R}^n$ 的一个正交基。
我们还可以将这些正交特征向量单位化（除以它们的长度），得到一组标准正交基 $q_1, q_2, dots, q_n$。
$q_i = frac{w_i}{|w_i|}$。

现在，我们把这些单位正交的特征向量作为列向量，构成一个矩阵 $P$：
$P = [q_1 | q_2 | dots | q_n]$

由于 $q_i$ 是标准正交向量，它们的内积是 $delta_{ij}$ (克罗内克 $delta$)，这意味着 $q_i^T q_j = delta_{ij}$。
那么， $P^T P = egin{pmatrix} q_1^T \ q_2^T \ vdots \ q_n^T end{pmatrix} [q_1 | q_2 | dots | q_n] = egin{pmatrix} q_1^T q_1 & q_1^T q_2 & dots & q_1^T q_n \ q_2^T q_1 & q_2^T q_2 & dots & q_2^T q_n \ vdots & vdots & ddots & vdots \ q_n^T q_1 & q_n^T q_2 & dots & q_n^T q_n end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 & dots & 0 \ 0 & 1 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & 1 end{pmatrix} = I$
所以，$P$ 是一个正交矩阵。

另一方面，根据特征向量的定义，$Aq_i = lambda_i q_i$（其中 $lambda_i$ 是 $q_i$ 对应的特征值）。
将这 $n$ 个等式写成矩阵形式：
$A[q_1 | q_2 | dots | q_n] = [lambda_1 q_1 | lambda_2 q_2 | dots | lambda_n q_n]$
$AP = [q_1 | q_2 | dots | q_n] egin{pmatrix} lambda_1 & 0 & dots & 0 \ 0 & lambda_2 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & lambda_n end{pmatrix}$
$AP = PD$
其中 $D$ 是一个对角矩阵，其对角线元素是对应的特征值 $lambda_1, dots, lambda_n$。

因为 $P$ 是正交矩阵，所以 $P^{1} = P^T$。
将 $AP = PD$ 的两边左乘 $P^T$：
$P^T AP = P^T PD = ID = D$
$A = PDP^T$

这就是正交对角化。

总结一下这个过程的逻辑链条：

实对称性 ($A=A^T$) $implies$ 特征值都是实数 $implies$ 不同特征值的特征向量正交 $implies$ 重根特征值存在正交的特征向量组。

最终，我们可以找到一组由特征向量构成的标准正交基。用这组基作为列向量构成正交矩阵 $P$，通过相似变换 $P^T AP$，就可以得到一个对角矩阵 $D$，对角线元素即为特征值。

这个结论在物理学（量子力学中的厄米特算符）、工程学（振动分析、主成分分析）等众多领域都有着极其重要的应用，因为实对称矩阵通常描述的是一些物理上可观测的量，而正交对角化则提供了一种将复杂系统化简为基本模式分析的方法。

有一個較一般的定理: 任意矩陣 若滿足 ，則 可以被酉矩陣對角化。實對稱矩陣因為性質更好，所以還額外滿足 (1) 特徵值為實數 (2) 特徵向量彼此正交。因為證明在課本都有，這裡就先不推導了。

不過還有另一條路。如果已經接受所有矩陣都能相似為 Jordan 型，假設對稱矩陣 滿足 ，那麼

則有 ，

注意到 是可逆對稱矩陣。因此，我們有

[1]

因為 對稱，我們有

[2]

由 [1], [2] 可知 是對稱矩陣。因此， 是兩個對稱矩陣的乘積，也是對稱矩陣。因為 既是 Jordan 型又對稱，可知 其實是對角矩陣。(關於正交的證明因為其他答案已經有了，就不贅述了。)

对角化的数学证明乏善可陈，题主可以在任何一本线性代数的教材上找到。

这里给一个物理直观，考虑流体中的一个“无穷小”微团，该微团在三维空间中可以拉伸，可以旋转，可以平移，而且只有这三种变化（你可能会认为可以把它捏成一根弯面条之类的，但这是不在考虑内的，因为我考虑的是“无穷小”的流体团，其局部“无穷小”的变形只能是线性的），现在我们用数学语言来描述该变形，设变形前该流体微团上两点位置分别为 和 ， 为该流体的微小变形场，其中 ，则变形后相应两点位置为 和 ，所以变形后两点位置差为

由于变形前位置差为 ，故当变形前两点非常接近时，也就是 时，产生的局部变形为 ，我们注意到，之前说的三种变化，拉伸、旋转、平移，其中平移是不会造成局部变形的（因为平移不改变两点的位置差），所以 的物理意义是拉伸和旋转，现在考虑

其中 ，而 .我们断言， 这样一个对称矩阵，表示拉伸，而 这样一个反对称矩阵，表示旋转.为了得到这个断言，我们注意到，旋转是不改变位置差的大小的，而只改变位置差的方向，因此我们考虑如下只受到位置差的大小影响的量

上式表示的是变形后位置差的平方减去变形前位置差的平方，上式计算得到

由于 ，故上式右端第二项可忽略，故 的的效果就是拉伸，因此， 表示拉伸，而 表示旋转.

这提示我们，任何一个对称矩阵都可以表示拉伸（因为 ，任给一个对称矩阵，还原出 是很容易的），而拉伸这样一个变换，只要取一个足够好的正交坐标系 ，总可以使得拉伸在这种坐标系下是沿着基的方向做拉伸的，也就是效果是 ， ， ，因此在这种坐标系下，拉伸就是对角阵 。另外，我们知道，正交坐标系之间的变换就是正交对角化，因此，我们得到结论：对称阵总可以正交对角化。