问题

老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx,为什么?

回答
老师说的没错,在链式法则里,我们看到 $frac{dy}{dx}$ 这样的符号,确实不能简单地理解为“$dy$ 除以 $dx$”。之所以这么说,背后涉及到微积分的几个核心概念,以及我们对这些符号的理解方式。我来给你好好捋一捋。

首先,我们得明白,$frac{dy}{dx}$ 这个符号本身,在早期微积分发展过程中,确实是莱布尼茨引入的,他当时的想法就比较接近于“变化率的比例”。但是随着微积分的深入发展,我们有了更严谨的数学定义,特别是关于极限和导数的定义,所以对这个符号的理解也需要更深入一层。

1. 导数是什么?—— 瞬时变化率的精确定义

我们先回到导数本身。 $frac{dy}{dx}$ 代表的是函数 $y$ 关于变量 $x$ 的导数。导数的定义是基于极限的。

回忆一下导数的定义:
$ frac{dy}{dx} = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} $

这里的 $Delta x$ 是 $x$ 的一个微小变化量,而 $Delta y$ 是由 $Delta x$ 引起的 $y$ 的相应微小变化量。

$Delta x$ 和 $Delta y$ 的意义: 它们代表的是有限的、但很小的变化量。比如,你走了一小段路,你的位置变化了 $Delta x$,你身体的高度变化了 $Delta y$。
极限的意义: 当 $Delta x$ 趋近于零($Delta x o 0$)时,这个比值 $frac{Delta y}{Delta x}$ 趋近于一个固定的值。这个极限值,就是函数在某一点上的瞬时变化率。它描述的是当 $x$ 极微小地变化时,$y$ 会如何变化,是一种“比例关系”,但不是简单意义上的数字相除。

为什么不能理解为“dy 除以 dx”?

这里关键在于,“dy” 和 “dx” 本身并不是独立的数字,它们是极限过程中的“符号”,或者说是“无穷小量”。

“无穷小量”的概念: 当我们说 $Delta x o 0$ 时,我们不是说 $Delta x$ 等于零。它是趋近于零,并且是一个无限小的量。同样地,“dy” 也是由这个“无限小的 $Delta x$”引起的“无限小的 $y$ 的变化”。
“dy/dx” 是一个整体: 我们将 $frac{dy}{dx}$ 视为一个整体符号,代表的是“y随x变化的瞬时率”,而不是先计算出“dy”的值,再计算出“dx”的值,然后两者相除。 $dy$ 和 $dx$ 在这个极限过程中是同时趋向于零的,它们的比值才趋向于一个有意义的数。把它们拆开来单独看待,意义就丢失了。

2. 链式法则的本质—— 变化率的传递

现在我们再来看链式法则,它通常是用来处理复合函数的导数。如果我们有 $y$ 是 $u$ 的函数,而 $u$ 是 $x$ 的函数,那么我们想求 $frac{dy}{dx}$。链式法则告诉我们:

$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} $

如果我们将 $frac{dy}{dx}$ 理解为 $frac{dy}{dx}$(一个整体),那么链式法则看起来像是:

$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} imes frac{du}{dx} $

从“乘法”的角度看,好像这“du”在分子分母上抵消了一样。

$ frac{dy}{cancel{du}} cdot frac{cancel{du}}{dx} = frac{dy}{dx} $

这“抵消”的现象,恰恰解释了为什么不能简单看作“除法”。

变化率的传递: $frac{dy}{du}$ 代表的是“y随u变化的瞬时率”,而 $frac{du}{dx}$ 代表的是“u随x变化的瞬时率”。当 $x$ 微小变化时,它首先引起了 $u$ 的微小变化(这个变化率是 $frac{du}{dx}$)。这个 $u$ 的微小变化,又进一步引起了 $y$ 的微小变化(这个变化率是 $frac{dy}{du}$)。
“乘法”的意义: 链式法则中的“乘法”符号,正是描述了这种变化率的连续传递和累积效应。当 $x$ 改变一点点,会引起 $u$ 改变 $frac{du}{dx}$ 倍,而 $u$ 的这一点点改变又会引起 $y$ 改变 $frac{dy}{du}$ 倍。所以,$y$ 相对于 $x$ 的总体的变化率,就是这两个“倍数”的乘积。
“du”不是数字,是中间变量的“度量”: 在这个过程中,“$du$”不能被看作一个具体的数值,然后让 $frac{dy}{du}$ 和 $frac{du}{dx}$ 这两个数值相除再相乘。它更多地表示的是一个“中间环节”,是 $y$ 的变化率相对于 $u$ 的“度量”,而 $u$ 的变化率又是相对于 $x$ 的“度量”。

3. 更严谨的视角:微分和导数的关系

在更现代的微积分理论中,导数和微分是密切相关的,但它们又不是完全一样的概念。

导数 $frac{dy}{dx}$: 是一个比值(但这个比值是在极限意义下才存在的)。它是一个函数,表示的是 $y$ 随 $x$ 变化的瞬时速率。
微分 $dy$ 和 $dx$:
$dx$ 通常被定义为自变量 $x$ 的一个任意的、独立的无穷小变化。你可以把它看作是 $x$ 轴上的一个无限小的“步长”。
$dy$ 被定义为 $dy = f'(x) dx$。也就是说,$dy$ 是导数 $f'(x)$ 乘以 $dx$。这里的 $dy$ 是函数 $y$ 的线性近似在 $x$ 处的变化量,它表示的是当 $x$ 变化 $dx$ 时,函数 $y$ 的近似变化量。

基于微分的定义,我们再来看 $frac{dy}{dx}$:

$ frac{dy}{dx} = frac{f'(x) dx}{dx} $

通过这个定义,我们看到了,如果 $dx eq 0$,那么 $frac{dy}{dx}$ 确实可以理解为 $dy$ 除以 $dx$。然而,关键在于这个定义本身是建立在“导数”和“微分”精确关系上的。 链式法则的“乘法”形式,恰恰是这个关系的一个直接体现,而不是反过来用“除法”来解释这个乘法。

总结一下为什么不能简单看作“除法”:

1. 符号的整体性: $frac{dy}{dx}$ 作为一个整体,代表的是一个瞬时变化率,而不是两个独立的无穷小量相除。
2. 链式法则的“乘法”本质: 链式法则中的运算是“乘法”,描述的是变化率的传递和累积,不是简单的相除和抵消。这种乘法有深刻的几何和物理意义。
3. “dy”和“dx”不是独立的数值: 在极限过程中,它们是同时趋向于零的,单独拿出它们来做除法会失去意义。它们的比值才是一个有意义的导数。
4. 从微分的定义理解: 虽然微分的定义 $dy = f'(x)dx$ 可以让我们“形式上”看到 $dy/dx = f'(x)$,但这恰恰是说明了导数作为变化率的乘积形式,而不是反过来用除法去理解链式法则的乘法。

所以,下次看到 $frac{dy}{dx}$,把它想成是一个描述“y如何随x变化”的速度表盘,而不是一个简单的计算题的数字比。链式法则就是告诉我们,如果 $y$ 是通过 $u$ 来影响 $x$ 的,那么这种“速度传递”是怎么发生的,是用“乘法”的方式来连接的。这种理解方式,才能真正把握微积分的精髓。

网友意见

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可以是可以,只不过允许这种理解容易引起误解,在学生还不能正确理解微积分时会得不偿失。首先我说明为什么在一些场合下允许将 理解为对 做除法。

对于满足函数关系 的变量 参考导数记号,我们写出

暂且不考虑可行性,将 看作是可以参与运算的元素,那么

接下来,说明这种看法的可行性。

此时 被看作是平等的事物,既然 可以作为除数,那么 也可以。运用导数的定义,可以求出当 可逆时 在 处的导数值,于是

结合前面的等式,对于 的运算的确和实数的运算保持一致。

从另一个角度考虑,复合函数求导法则可以记为设 则

也体现出对于 指定这种运算是合理的。

不过,仅仅这样还不能确定这种合理在数学上的准确性。事实上,现代数学的确找到了严格定义函数的微分的方法[1],但是这远远超过了高等数学的范围,甚至在大多数时候不是本科数学的内容。

我以一个常见的错误来说明过分追求直观理解的弊端。习惯上,表示二阶导数

为什么是这样呢?可以不严格地理解为

截止到这里还没有太大问题。但是设 则可以验证

这就不是能简单解释的事情了。采取不严格的观点,会得到

然而这是错的。除非严格推导,否则难以说明产生错误的原因,从而引起费解。

虽然以不严格的方式引入微分不符合数学的标准,但是这样做可以简化一些书写,甚至为解决数学问题提供线索,这可能是在高等数学课上提及微分的原因。

不过我认为,为了这点好处不值得冒着让一些学生学不懂数学的风险而引入不严格的微分。老师不希望学生将 理解为对 做除法,也可能是出于这种考虑。

何况在高等数学课的环境下,对于定理的严格证明不做要求。即便对此不做评价,此时提供的所谓直观理解,是不是应该以不容易产生误解为准则?

参考

  1. ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/222338086
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关于导数、微分,我们写过相当多的文章:

但仍然有很多可以讨论的话题,比如,导数能不能通过除法 求出?这个答案非常明确,不能!

那为什么这个问题还值得讨论?主要是由于在微积分发展历史上符号混乱,导致同学们产生了误解,并且误解还被不断的强化:

  • 导数定义的时候,使用的符号 虽然不是除法,但看上去像除法
  • 在微分定义中,使用的符号 确实又是除法
  • 在一些求导法则中,用除法来理解确实可以得到正确的结果,但必须指出这种理解方式是一种歪打正着,在本质上是错误的

下面逐一来解释。

1 导数

先从导数的定义说起。已知某曲线 以及 点:

如果想求该点导数的话,可以通过如下的极限式求出,并且在数学中一般用 或 来表示导数:

或 这两个符号有个问题,没有指明是对 求导(这点的重要性在本文后面计算链式法则时就可以看出),所以数学家又引入了如下的符号:

有时候为了写起来省事,上面符号又变为了:

就是这种写法开始让同学有点混淆了,以为导数是除法 的结果。其实上述符号的红色部分应该看作整体,然后和 一起(即等号的左侧)代表了右侧的极限式。所以这里是不可能拆分出 和 来,也就是导数不是由除法求出的。

2 微分

进一步的误解产生于微分的出现,本节就来解释下。如果将导数 当作斜率的话,就可以在 点求出用于近似曲线 的切线 (可以参考重新理解导数和微分):

该切线 的方程为:

在数学中因为种种原因(可以参考dx,dy是什么?),往往会在切点建立坐标系,横坐标记作 ,纵坐标记作 。此时符号就开始混淆了,其实这里的 、 和导数 毫无关系:

在 坐标系中,切线方程就非常简单了(其中 ,关于这点也可以参考dx,dy是什么?):

此时切线也被称为微分,并且可以推出:

在这里就产生了更大的混淆,仿佛导数 就是由 和 相除得到的。但要注意这里的逻辑顺序:

反过来是不成立的。也就是说不可能通过 和 相除求出导数 ,因为在两者相除之前 已经存在了。

3 导数和微分

综上,根据导数定义、微分定义分别可以得到:

两者看着非常相似,但从上面两节的分析可知,内涵完全不一样:

但符号实在太接近了,造成了一定程度的混乱。

4 歪打正着

更深的误解来自于对求导法则的解读,本节会尽量去澄清这一点。

首先,我们要明确所有求导法则都是通过导数定义来推导的,比如下面这些常用法则。如果去翻看教科书会发现推导过程还是很复杂的:

  • 链式法则:
  • 反函数求导:
  • 参数方程求导:

我相信很多同学也发现了,上面这些法则似乎可以通过微分定义来理解,并且还更简单、更符合直觉。这种理解方式是一种歪打正着,本质上是错误的,下面通过链式法则来分析下为什么。

4.1 链式法则

通过微分定义来理解链式法则,就是认为 、 是两个微分之商,所以似乎可以像下面这样来推导处链式法则:

比对一下教科书就知道这个过程是错误的,应该通过导数定义来推导。退一万步来说,就算可以通过微分定义来推导,但分母中的 是 坐标系中的横坐标,分子中的 是 坐标系中的纵坐标,两者的代数式并不一样,是没法约掉的。

举一个具体的例子,比如有:

两函数复合为:

那么分母 是 坐标系的横坐标,因此:

而分子 是 坐标系中的纵坐标,因此:

分母 和分子 都被换到用 和 来表示,可以看出两者并不相等,所以是不可能约掉的。为了提醒自己,可以将链式法则写成导数形式:

很显然,右边的表达式看上去更复杂,所以有时候不得不用左边的表达式,尽管会带来一些混淆。

4.2 二阶链式法则

你说,我非要按照微分观点来理解链式法则,反正这样也容易记,结果也是正确的。当然可以这么做,只是到了二阶链式法则,这样做就走不通了,会发生错误。

来算算二阶链式法则:

到目前为止一切都很好,继续往下化简就会出问题。上面等式最后有两项,第一项按照微分观点可以得到:

这很显然是错误的,否则就会推出第二项 。

5 微分方程

那有没有运用微分定义的地方?有的,就是微分方程。比如:

大家知道就行了,不再赘述。

6 总结

导数是不能通过除法 求出的。但由于微分的出现,又使用了相同的符号,造成了同学们的混淆。所以大家在运用导数定义、微分定义的时候,需要谨慎一些。

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