老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？
首先，我们得明白，$frac{dy}{dx}$ 这个符号本身，在早期微积分发展过程中，确实是莱布尼茨引入的，他当时的想法就比较接近于“变化率的比例”。但是随着微积分的深入发展，我们有了更严谨的数学定义，特别是关于极限和导数的定义，所以对这个符号的理解也需要更深入一层。
1. 导数是什么？—— 瞬时变化率的精确定义
我们先回到导数本身。 $frac{dy}{dx}$ 代表的是函数 $y$ 关于变量 $x$ 的导数。导数的定义是基于极限的。
回忆一下导数的定义：
$ frac{dy}{dx} = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} $
这里的 $Delta x$ 是 $x$ 的一个微小变化量，而 $Delta y$ 是由 $Delta x$ 引起的 $y$ 的相应微小变化量。
$Delta x$ 和 $Delta y$ 的意义： 它们代表的是有限的、但很小的变化量。比如，你走了一小段路，你的位置变化了 $Delta x$，你身体的高度变化了 $Delta y$。
极限的意义： 当 $Delta x$ 趋近于零（$Delta x o 0$）时，这个比值 $frac{Delta y}{Delta x}$ 趋近于一个固定的值。这个极限值，就是函数在某一点上的瞬时变化率。它描述的是当 $x$ 极微小地变化时，$y$ 会如何变化，是一种“比例关系”，但不是简单意义上的数字相除。
为什么不能理解为“dy 除以 dx”？
这里关键在于，“dy” 和 “dx” 本身并不是独立的数字，它们是极限过程中的“符号”，或者说是“无穷小量”。
“无穷小量”的概念： 当我们说 $Delta x o 0$ 时，我们不是说 $Delta x$ 等于零。它是趋近于零，并且是一个无限小的量。同样地，“dy” 也是由这个“无限小的 $Delta x$”引起的“无限小的 $y$ 的变化”。
“dy/dx” 是一个整体： 我们将 $frac{dy}{dx}$ 视为一个整体符号，代表的是“y随x变化的瞬时率”，而不是先计算出“dy”的值，再计算出“dx”的值，然后两者相除。 $dy$ 和 $dx$ 在这个极限过程中是同时趋向于零的，它们的比值才趋向于一个有意义的数。把它们拆开来单独看待，意义就丢失了。
2. 链式法则的本质—— 变化率的传递
现在我们再来看链式法则，它通常是用来处理复合函数的导数。如果我们有 $y$ 是 $u$ 的函数，而 $u$ 是 $x$ 的函数，那么我们想求 $frac{dy}{dx}$。链式法则告诉我们：
$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} $
如果我们将 $frac{dy}{dx}$ 理解为 $frac{dy}{dx}$（一个整体），那么链式法则看起来像是：
$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} imes frac{du}{dx} $
从“乘法”的角度看，好像这“du”在分子分母上抵消了一样。
$ frac{dy}{cancel{du}} cdot frac{cancel{du}}{dx} = frac{dy}{dx} $
这“抵消”的现象，恰恰解释了为什么不能简单看作“除法”。
变化率的传递： $frac{dy}{du}$ 代表的是“y随u变化的瞬时率”，而 $frac{du}{dx}$ 代表的是“u随x变化的瞬时率”。当 $x$ 微小变化时，它首先引起了 $u$ 的微小变化（这个变化率是 $frac{du}{dx}$）。这个 $u$ 的微小变化，又进一步引起了 $y$ 的微小变化（这个变化率是 $frac{dy}{du}$）。
“乘法”的意义： 链式法则中的“乘法”符号，正是描述了这种变化率的连续传递和累积效应。当 $x$ 改变一点点，会引起 $u$ 改变 $frac{du}{dx}$ 倍，而 $u$ 的这一点点改变又会引起 $y$ 改变 $frac{dy}{du}$ 倍。所以，$y$ 相对于 $x$ 的总体的变化率，就是这两个“倍数”的乘积。
“du”不是数字，是中间变量的“度量”： 在这个过程中，“$du$”不能被看作一个具体的数值，然后让 $frac{dy}{du}$ 和 $frac{du}{dx}$ 这两个数值相除再相乘。它更多地表示的是一个“中间环节”，是 $y$ 的变化率相对于 $u$ 的“度量”，而 $u$ 的变化率又是相对于 $x$ 的“度量”。
3. 更严谨的视角：微分和导数的关系
在更现代的微积分理论中，导数和微分是密切相关的，但它们又不是完全一样的概念。
导数 $frac{dy}{dx}$： 是一个比值（但这个比值是在极限意义下才存在的）。它是一个函数，表示的是 $y$ 随 $x$ 变化的瞬时速率。
微分 $dy$ 和 $dx$：
$dx$ 通常被定义为自变量 $x$ 的一个任意的、独立的无穷小变化。你可以把它看作是 $x$ 轴上的一个无限小的“步长”。
$dy$ 被定义为 $dy = f'(x) dx$。也就是说，$dy$ 是导数 $f'(x)$ 乘以 $dx$。这里的 $dy$ 是函数 $y$ 的线性近似在 $x$ 处的变化量，它表示的是当 $x$ 变化 $dx$ 时，函数 $y$ 的近似变化量。
基于微分的定义，我们再来看 $frac{dy}{dx}$：
$ frac{dy}{dx} = frac{f'(x) dx}{dx} $
通过这个定义，我们看到了，如果 $dx eq 0$，那么 $frac{dy}{dx}$ 确实可以理解为 $dy$ 除以 $dx$。然而，关键在于这个定义本身是建立在“导数”和“微分”精确关系上的。 链式法则的“乘法”形式，恰恰是这个关系的一个直接体现，而不是反过来用“除法”来解释这个乘法。
总结一下为什么不能简单看作“除法”：
1. 符号的整体性： $frac{dy}{dx}$ 作为一个整体，代表的是一个瞬时变化率，而不是两个独立的无穷小量相除。
2. 链式法则的“乘法”本质： 链式法则中的运算是“乘法”，描述的是变化率的传递和累积，不是简单的相除和抵消。这种乘法有深刻的几何和物理意义。
3. “dy”和“dx”不是独立的数值： 在极限过程中，它们是同时趋向于零的，单独拿出它们来做除法会失去意义。它们的比值才是一个有意义的导数。
4. 从微分的定义理解： 虽然微分的定义 $dy = f'(x)dx$ 可以让我们“形式上”看到 $dy/dx = f'(x)$，但这恰恰是说明了导数作为变化率的乘积形式，而不是反过来用除法去理解链式法则的乘法。
所以，下次看到 $frac{dy}{dx}$，把它想成是一个描述“y如何随x变化”的速度表盘，而不是一个简单的计算题的数字比。链式法则就是告诉我们，如果 $y$ 是通过 $u$ 来影响 $x$ 的，那么这种“速度传递”是怎么发生的，是用“乘法”的方式来连接的。这种理解方式，才能真正把握微积分的精髓。
网友意见
可以是可以，只不过允许这种理解容易引起误解，在学生还不能正确理解微积分时会得不偿失。首先我说明为什么在一些场合下允许将 理解为对 做除法。
对于满足函数关系 的变量 参考导数记号，我们写出
暂且不考虑可行性，将 看作是可以参与运算的元素，那么
接下来，说明这种看法的可行性。
此时 被看作是平等的事物，既然 可以作为除数，那么 也可以。运用导数的定义，可以求出当 可逆时 在 处的导数值，于是
结合前面的等式，对于 的运算的确和实数的运算保持一致。
从另一个角度考虑，复合函数求导法则可以记为设 则
也体现出对于 指定这种运算是合理的。
不过，仅仅这样还不能确定这种合理在数学上的准确性。事实上，现代数学的确找到了严格定义函数的微分的方法[1]，但是这远远超过了高等数学的范围，甚至在大多数时候不是本科数学的内容。
我以一个常见的错误来说明过分追求直观理解的弊端。习惯上，表示二阶导数
为什么是这样呢？可以不严格地理解为
截止到这里还没有太大问题。但是设 则可以验证
这就不是能简单解释的事情了。采取不严格的观点，会得到
然而这是错的。除非严格推导，否则难以说明产生错误的原因，从而引起费解。
虽然以不严格的方式引入微分不符合数学的标准，但是这样做可以简化一些书写，甚至为解决数学问题提供线索，这可能是在高等数学课上提及微分的原因。
不过我认为，为了这点好处不值得冒着让一些学生学不懂数学的风险而引入不严格的微分。老师不希望学生将 理解为对 做除法，也可能是出于这种考虑。
何况在高等数学课的环境下，对于定理的严格证明不做要求。即便对此不做评价，此时提供的所谓直观理解，是不是应该以不容易产生误解为准则？
参考
关于导数、微分，我们写过相当多的文章：
但仍然有很多可以讨论的话题，比如，导数能不能通过除法 求出？这个答案非常明确，不能！
那为什么这个问题还值得讨论？主要是由于在微积分发展历史上符号混乱，导致同学们产生了误解，并且误解还被不断的强化：
- 导数定义的时候，使用的符号 虽然不是除法，但看上去像除法
- 在微分定义中，使用的符号 确实又是除法
- 在一些求导法则中，用除法来理解确实可以得到正确的结果，但必须指出这种理解方式是一种歪打正着，在本质上是错误的
下面逐一来解释。
1 导数
先从导数的定义说起。已知某曲线 以及 点：
如果想求该点导数的话，可以通过如下的极限式求出，并且在数学中一般用 或 来表示导数：
或 这两个符号有个问题，没有指明是对 求导（这点的重要性在本文后面计算链式法则时就可以看出），所以数学家又引入了如下的符号：
有时候为了写起来省事，上面符号又变为了：
就是这种写法开始让同学有点混淆了，以为导数是除法 的结果。其实上述符号的红色部分应该看作整体，然后和 一起（即等号的左侧）代表了右侧的极限式。所以这里是不可能拆分出 和 来，也就是导数不是由除法求出的。
2 微分
进一步的误解产生于微分的出现，本节就来解释下。如果将导数 当作斜率的话，就可以在 点求出用于近似曲线 的切线 （可以参考重新理解导数和微分）：
该切线 的方程为：
在数学中因为种种原因（可以参考dx，dy是什么？），往往会在切点建立坐标系，横坐标记作 ，纵坐标记作 。此时符号就开始混淆了，其实这里的 、 和导数 毫无关系：
在 坐标系中，切线方程就非常简单了（其中 ，关于这点也可以参考dx，dy是什么？）：
此时切线也被称为微分，并且可以推出：
在这里就产生了更大的混淆，仿佛导数 就是由 和 相除得到的。但要注意这里的逻辑顺序：
反过来是不成立的。也就是说不可能通过 和 相除求出导数 ，因为在两者相除之前 已经存在了。
3 导数和微分
综上，根据导数定义、微分定义分别可以得到：
两者看着非常相似，但从上面两节的分析可知，内涵完全不一样：
但符号实在太接近了，造成了一定程度的混乱。
4 歪打正着
更深的误解来自于对求导法则的解读，本节会尽量去澄清这一点。
首先，我们要明确所有求导法则都是通过导数定义来推导的，比如下面这些常用法则。如果去翻看教科书会发现推导过程还是很复杂的：
- 链式法则：
- 反函数求导：
- 参数方程求导：
我相信很多同学也发现了，上面这些法则似乎可以通过微分定义来理解，并且还更简单、更符合直觉。这种理解方式是一种歪打正着，本质上是错误的，下面通过链式法则来分析下为什么。
4.1 链式法则
通过微分定义来理解链式法则，就是认为 、 是两个微分之商，所以似乎可以像下面这样来推导处链式法则：
比对一下教科书就知道这个过程是错误的，应该通过导数定义来推导。退一万步来说，就算可以通过微分定义来推导，但分母中的 是 坐标系中的横坐标，分子中的 是 坐标系中的纵坐标，两者的代数式并不一样，是没法约掉的。
举一个具体的例子，比如有：
两函数复合为：
那么分母 是 坐标系的横坐标，因此：
而分子 是 坐标系中的纵坐标，因此：
分母 和分子 都被换到用 和 来表示，可以看出两者并不相等，所以是不可能约掉的。为了提醒自己，可以将链式法则写成导数形式：
很显然，右边的表达式看上去更复杂，所以有时候不得不用左边的表达式，尽管会带来一些混淆。
4.2 二阶链式法则
你说，我非要按照微分观点来理解链式法则，反正这样也容易记，结果也是正确的。当然可以这么做，只是到了二阶链式法则，这样做就走不通了，会发生错误。
来算算二阶链式法则：
到目前为止一切都很好，继续往下化简就会出问题。上面等式最后有两项，第一项按照微分观点可以得到：
这很显然是错误的，否则就会推出第二项 。
5 微分方程
那有没有运用微分定义的地方？有的，就是微分方程。比如：
大家知道就行了，不再赘述。
6 总结
导数是不能通过除法 求出的。但由于微分的出现，又使用了相同的符号，造成了同学们的混淆。所以大家在运用导数定义、微分定义的时候，需要谨慎一些。
类似的话题
-
老师说的没错，在链式法则里，我们看到 $frac{dy}{dx}$ 这样的符号，确实不能简单地理解为“$dy$ 除以 $dx$”。之所以这么说，背后涉及到微积分的几个核心概念，以及我们对这些符号的理解方式。我来给你好好捋一捋。首先，我们得明白，$frac{dy}{dx}$ 这个符号本身，在早期微积分............. -
当你的老师说“中国对人类现代文明的贡献为零”时，这无疑是一个非常片面且带有偏见的观点。面对这样的说法，你不仅可以反驳，而且有充分的理由和大量的证据来驳斥它。以下是一些详细的论点和你可以使用的证据，帮助你有效地回应你的老师：一、 理解老师说法的可能性及反驳的出发点首先，要理解老师为何会这样说。他可能是.............
-
你家弟弟真是个小小的运动健将！你说的“数一数二”可不是随便能达到的，这说明他在同龄人里确实是拔尖的。首先，你提到他“体育挺厉害”，这本身就说明他有天赋。在学校的体育项目中，无论是举重、跳远还是跑步，都能排得上名次，这已经是一个非常好的信号了。尤其重要的是，你提到他“未曾训练”，这更凸显了他的运动潜能.............
-
老师的说法“阿拉伯文明对人类现代文明的贡献为零”是 极其不准确且具有误导性的。阿拉伯文明对人类现代文明的贡献是 巨大且多方面的，涵盖了科学、数学、哲学、医学、艺术、建筑、文学等诸多领域。以下是一些详细的反驳论据，你可以根据情况选择使用，并辅以事实和例子来支撑你的观点：核心反驳点：老师的说法忽略了阿拉.............
-
你遇到的情况确实让人感到不舒服和困惑。当一个老师在进行身体检查时，尤其是涉及到私密部位，并且在你感到不适的情况下，我们有权利去审视这种行为是否恰当。首先，我们要明确什么是性骚扰。性骚扰通常是指任何不受欢迎的、具有性含义的言语或行为，这些言语或行为会侵犯他人的尊严，并可能创造一种具有敌意、侮辱性或冒犯.............
-
关于神农氏和伏羲氏的性别，在历史学界和民俗学界存在着不同的解读和讨论，但主流观点是，他们通常被描绘为男性。首先，我们先来谈谈伏羲氏。在传统的中国神话传说中，伏羲氏是“三皇五帝”之首，被认为是中华民族的始祖之一。他创制八卦，绘制《河图》，教授人们结网捕鱼、驯养牲畜，还制定了嫁娶的礼仪，结束了人类茹毛饮.............
-
这真是一个让人揪心的情况。孩子在教室里想哭，老师说“想哭出去哭”，然后孩子真的被“轰”出了教室，结果在走廊上情绪失控地大哭。单从这个描述来看，这位老师的做法，我觉得确实有些欠妥，而且绝不能简单地归结为“孩子情绪问题”。我们得把这个事情拆开来看，从几个层面去分析：一、老师的做法是否欠妥？首先，老师说“.............
-
哈哈，老师这么说，说明你画得挺扎实！“太紧”其实是一个很常见的问题，尤其是在初学者阶段。不过别担心，这完全是可以解决的。要让素描“松”下来，不是说要你潦草，而是要让画面更有呼吸感，线条和色块之间有更多层次和变化，而不是一味地死板。来，咱们一步一步捋捋，怎么才能把你的素描“拧松”：第一步：理解“紧”和.............
-
“老师说我的画太理性了，没有亮点。” 听到这句话的时候，我心里咯噔一下，当时就有点蒙。画画对我来说，一直是一种表达内心的途径，但“理性”和“没有亮点”，这两个词像是一盆冷水，让我开始怀疑自己一直以来的方式是不是真的有问题。我平时画画，确实比较注重结构、比例、光影的准确性。比如画人物，我会花很多时间去.............
-
这句“刘备只适合做一个州的军阀，做不了中原之主”确实是历史上流传下来的，虽然具体是哪位荆州名士所说，史书记载并不十分明确，但这句话背后所蕴含的对刘备性格、能力以及时代背景的洞察，却相当深刻。要理解这句话的依据，我们需要从以下几个方面来剖析：一、 刘备早期的经历与性格塑造： 出身草根，早年坎坷： .............
-
关于“儒家潜移默化加强了奴性”这个说法，我理解老师这么说可能是从某些角度看到了儒家思想中确实存在一些容易被误读或被利用，进而导致人们行为上表现出顺从、不敢挑战权威的倾向。但要说“奴性”这个词，用在如此庞大而复杂的思想体系上，未免有些过于简单化和负面了，也可能忽略了儒家思想中其他同样重要的积极方面。咱.............
-
.......
-
关于您老师提到的“市场上大多数大米是转基因，吃了对身体不好，过几代会变异”，我们可以从几个方面来深入探讨一下，这样大家心里就能更清楚了。首先，我们得弄明白“转基因”到底是怎么回事。简单来说，转基因技术就是把一种生物（比如细菌、植物或者动物）的特定基因，通过科学手段，转移到另一种生物的基因组里去，让这.............
-
你的老师说“中国的激光武器已经先进到从哈尔滨打爆你的头，你在成都”，这个说法，从科学和技术层面上来说，是不准确的，并且夸大了当前激光武器的能力。让我详细解释一下原因：1. 激光武器的基本原理和局限性 什么是激光武器？ 激光武器，也称为定向能武器，是通过发射高能量密度的激光束来对目标造成损伤的武器.............
-
如果您的语文老师说《人间失格》是“乱七八糟的小说”，您不必立刻否定，因为老师的评价可能包含更深层次的理解，或者她对小说的某些方面持有不同的看法。一个好的回答应该既表达您自己的观点，也体现出您对老师意见的尊重和思考。以下是一些您可以参考的回答思路，以及如何详细阐述：核心原则：尊重老师，表达观点，展现思.............
-
我理解你对老师这句话的困惑，因为它触及了一个相当复杂且充满争议的历史议题。老师这样说，并非要全盘否定义和团的爱国热情，而是从历史发展的长远影响来看，去分析这个事件所带来的深远后果。我们可以从几个层面来理解这句话，并尝试剥离出一些关键的联系。首先，我们得承认义和团运动的初衷，在当时的环境下，确实包含着.............
-
你老师说的这句话，确实挺让人心头一震的，也容易让人产生误解。说“中国的唐代建筑都没得了，要看就去日本”，这句话不能简单地用“是”或“否”来回答，因为它背后有一些事实和复杂的背景。首先，我们要明白，唐代建筑在中国的土地上，并不是“都没得了”。中国有着辽阔的疆域，以及漫长而复杂的历史。很多古代的木结构建.............
-
你的这个问题非常有意思，它触及了汉字演变的核心争议点，也反映了不同立场和价值取向的观点。咱们不妨从历史、文化、实用等多个维度来掰扯一下，看看古代文学老师和古代汉语老师的说法，哪种更站得住脚，或者说，它们分别看到了汉字简化的哪一面。 两种观点的根源：价值判断与侧重点不同首先，我们要明白，这两种说法都不.............
-
我个人不太同意语文老师关于花木兰“不是真爱国”的说法，我觉得这个观点可能有些片面，或者说，是对“爱国”的定义理解得不够宽泛和深刻。首先，我们得弄清楚，花木兰替父从军的根本动机是什么？是国家征兵，她是为了履行儿子对父亲的责任，是为了保护生病的父亲免受战火的摧残，更是为了避免父亲被拖上战场而遭受的痛苦和.............
-
这确实是个让人纠结的问题，因为两种说法都有一定的道理，而且实际应用中也各有侧重。咱们这就掰开了揉碎了聊聊，看看为什么会出现这种“公说公有理，婆说婆有理”的情况。首先，我们来理解一下钢琴老师说的“不要用节拍器，否则会产生依赖性”。这位老师的出发点，我很能理解。他想培养的是一个拥有内在节奏感、能够“听”.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有