为什么神经网络具有泛化能力？

神经网络之所以能拥有强大的“泛化能力”，简单来说，就是它们能够很好地处理那些它们在训练阶段没有见过的数据，并且依然能给出准确的预测或分类。这不是什么神奇的魔法，而是背后一系列相互作用的原理共同作用的结果。

我们先从根本上理解一下“泛化能力”是什么意思。想象你教一个孩子认识猫。你给他看了很多不同品种、不同颜色、不同姿势的猫的照片，他学会了识别猫。然后，你给他看一张他从未见过的缅因猫的照片，他还是能准确地说出“这是猫”。这就是泛化。如果他只能认出他看过的所有照片里的猫，一旦换个角度或者品种就不认识了，那他就没有泛化能力。

在神经网络的世界里，泛化能力意味着模型学到的不仅仅是训练数据中的具体“模式”，更是数据背后“潜在的规律”。

那么，是什么让神经网络做到这一点呢？主要有以下几个关键因素：

1. 模型复杂度与数据之间的平衡 (Occam's Razor 的体现)

过拟合 (Overfitting) 的反面就是泛化。想象一个模型太简单，就像一个只能识别“带胡子的四条腿动物”的孩子，他可能把狗也当成猫。反之，一个模型太复杂，就好像他记住了你给他的每一张猫的照片，甚至连照片上的背景细节都一并记住了。当看到一张新猫的照片时，如果背景不一样，他就可能认不出来了。这就是过拟合。神经网络虽然有很多参数，理论上可以记住训练数据，但我们会通过各种手段避免它过度记忆。
正则化 (Regularization)。这是对抗过拟合、促进泛化的最核心技术之一。最常见的是L1和L2正则化。
L2正则化 (Weight Decay)：它会在损失函数中添加一个惩罚项，这个惩罚项是所有权重平方的和。这意味着训练过程中，模型会倾向于减小权重值。为什么减小权重能帮助泛化呢？想想一个极其复杂的函数，可能需要非常大的权重才能拟合住训练数据中的每一个微小波动。而一个权重值相对较小的模型，其函数曲线会更“平滑”。平滑的函数更能捕捉数据的整体趋势，而不是被训练数据的噪声所干扰。你可以理解为，它鼓励模型找到一个“简洁”的解释。
L1正则化：类似地，L1正则化会惩罚权重的绝对值之和。它的一个显著特点是倾向于将一些权重“压缩”到零。这实际上是一种特征选择，让模型只关注那些真正重要的特征，进一步简化模型。
Dropout。这是另一种非常有效的正则化技术，尤其是在深度学习中。在训练的每一轮，Dropout会随机地“丢弃”（暂时置零）一部分神经元的输出。这有点像让多个不同的、规模较小的网络在并行训练，并且它们之间互相不依赖（因为会随机断开连接）。每次训练都相当于一个“新”的网络，迫使网络中的每个神经元都不能过度依赖于其他特定的神经元。这样，即使在测试时所有神经元都激活，单个神经元的能力也不会过强，整体模型的鲁棒性会提高，从而增强泛化能力。

2. 训练数据量的作用

数据是模型的“老师”。神经网络学到的规律来自于它所“看到”的数据。如果数据量非常大，并且能够充分代表真实世界中我们要处理的各种情况（即具有良好的代表性），那么模型就有更大的机会学习到那些普遍适用的规律，而不是仅仅记忆训练样本的特有属性。
数据增强 (Data Augmentation)。有时候，我们无法获取海量数据，但可以通过对现有数据进行一些“变换”来生成新的、看起来不同的训练样本。例如，对于图像识别，我们可以对训练图片进行旋转、翻转、裁剪、调整亮度等操作。这样做的好处是，模型在训练时会接触到同一类物体在不同形态下的表现，这与真实世界中看到同一物体但角度、光照不同的情况非常相似。它教会模型“忽略”这些无关紧要的变化，关注物体本身的本质特征，从而提升泛化能力。

3. 模型架构的设计 (隐式正则化与表达能力)

层级特征提取。深度神经网络的魅力在于其多层结构。每一层都在前一层的基础上提取更抽象、更高级的特征。例如，在图像识别中，浅层可能识别边缘和角点，中层可能识别形状和纹理，深层则可能识别完整的物体部件甚至整个物体。这种层层递进的特征提取过程，使得模型能够学习到数据之间更深层次的、更具普遍性的关系，而不仅仅是浅层的表面模式。
激活函数。非线性激活函数（如ReLU、Sigmoid、Tanh）是神经网络能够学习复杂模式的关键。它们引入了非线性，使得网络能够拟合非线性关系，而现实世界中的数据往往充满了非线性。如果全是线性操作，无论多少层，最终还是一个线性模型，表达能力非常有限。
卷积神经网络 (CNN) 的特性。对于图像数据，CNN特有的权值共享 (Weight Sharing) 和局部感受野 (Local Receptive Fields) 是其强大泛化能力的重要原因。
权值共享：在一张图片的不同位置，同一类特征（如边缘检测器）应该以相同的方式被识别。CNN中的卷积核就是这样，它在整张图片上滑动，用同一组参数去检测特征。这极大地减少了模型的参数数量，避免了模型为了学习不同位置的相同特征而需要大量重复的参数，从而降低了过拟合的风险，增强了泛化。
局部感受野：每个神经元只与输入的一小部分区域连接。这模拟了人类视觉系统的工作方式，也使得模型更关注局部特征的组合，而不是全局的像素点。

4. 优化算法与学习率

优化算法的作用。像Adam、SGD with Momentum这样的优化算法，在寻找最优模型参数（权重和偏置）时，不仅仅是简单地朝着损失函数的最低点走。它们利用历史梯度信息，能够更好地避开局部最优解，找到更全局的、更能代表数据整体规律的解。
学习率衰减 (Learning Rate Decay)。在训练初期，我们希望模型能够快速学习到数据的基本规律，所以会使用较大的学习率。随着训练的进行，当模型开始接近最优解时，如果学习率仍然很大，就可能在最优解附近“震荡”而无法精确收敛，甚至“跳过”最优解。通过逐步减小学习率，模型可以更精细地调整参数，使其更稳定地收敛到能够良好泛化的区域。

总结来说，神经网络的泛化能力是多方面因素共同作用的结果，可以归结为：

模型能够捕捉数据背后的“规律”而不是“噪声”或“训练集的特有细节”。
通过正则化技术（L1/L2、Dropout）控制模型复杂度，防止过拟合。
足够且有代表性的训练数据，让模型有学习普遍规律的基础。
巧妙的模型架构（如CNN的权值共享）本身就带有促进泛化的设计。
有效的优化算法和学习率策略帮助模型找到更好的参数空间。

就像一位经验丰富的老师，他不仅教你书本上的知识，还能引导你理解知识背后的原理，让你能够独立解决遇到的新问题。神经网络的泛化能力，就是模型从海量数据中习得这种“举一反三”的能力。

网友意见

让我们看一篇17年ICLR上的论文，Understanding Deep Learning Requires Re-thinking Generalization，这篇文章的作者想看看深度学习为什么具有超过之前方法的泛化能力，为了定义清楚这个问题，他观察了机器视觉领域成熟的网络，例如ImageNet和AlexNet，在不改变模型的超参数，优化器和网络结构和大小时，在部分/全部随机标签的CIFAR 10数据集，以及加入了高斯噪音的图片上的表现。如果在随机生成的分类标签上，模型表现的也很好，这对于模型的泛化能力意味着什么了？

先让我们看看文中给出的数据，A图指出，不管怎样在模型中怎样引入随机性，在图像中加入随机噪音，对像素进行随机洗牌，还是用随机生成的像素点组成的图片，哪怕图像的标签都是随机生成的，模型也能让训练集上的误差达到最小值。这很反直觉，在上述的情况下，人脑是学不到什么的，但深度学习却可以。这说明神经网络的有效容量是足够大的，甚至足够使用暴力记忆的方式记录整个数据集。但这并不是我们想要的。而在部分随机标签的情况下，模型用暴力记忆的方式记住了数据点，而对正确标注的数据进行了正常的特征提取。

接下来B图讨论的是在不同比例的label是随机产生的情况下模型训练所需的时间，这里得出的结论是即便使用越来越多的随机标签，进行优化仍然是很容易的。实际上，与使用真实标签进行训练相比，随机标签的训练时间仅仅增长了一个小的常数因子。而且不管模型本身的结构有多么复杂，在随机标签的数据下训练起来时间都不会增长太多。这里多层感知机的训练时间增长要高于AlexNet，这点令我意外，在待优化的参数相差不多的前提下，可能的原因我猜测是CNN中待优化的参数相对均匀的原因。

而C图展示了在是不同比例的随机标签下，不同的网络结构在测试集下的表现，这里选择的都是在训练集上错误为0的网络结构。可以看出深度学习网络即使在拟合随机数据时，仍能保持相对良好的泛化能力。这意味着标签随机化仅仅是一种数据转换，学习问题的其他性质仍保持不变。当全部的标签都是随机生成的时候，那么理论的泛化误差就是0.9（这里是十分类问题，随机猜有10%的机会是对的），但只要部分的标签不是随机生成的时候，那越复杂，容量越大的模型表现的泛化能力就越好。在40%的标签是随机生成的时候，如果网络完全没有暴力的对数据点的记忆，那么模型的最好表现应该是0.4×0.9+0.6×0.1即0.42，任何比这个好的表现都说明正则化的方法没有完全的阻止神经网络去死记硬背，但我们看到即使最好的模型，其训练时误差都能到0。但越先进的模型，在避免模型brute force式的记忆上做的越好，从而使测试集上误差更接近理论最优值。

这里列出了不同的模型在不同的参数下的泛化能力，可以看出上文提到的drop link和权重衰减，标准正则化（BN）的效果，但没有列出我更关注数据，即在部分数据为随机标签时模型的泛化能力。

这篇文章的好处是其实验模式是可以很容易去重复的，你可以在Minst数据集上去重复类似的实验，还可以看看在加入了不同的正则化策略后，网络在部分随机标签的数据上表现的怎么样。我还没有做实验，但预测相比于原始的2个隐藏层的CNN，加入drop out或drop link的模型泛化效果最好，这时可以让那些拟合到随机生成的数据的神经元消失。而加入L2正则项的模型泛化能力最差，原因是这时小的权重还是会引入错误，从而干扰特征的提取。不过重复一遍，以上的不过是个人的脑洞，我是通过在脑中模拟人的大脑在这种情况下怎么表现的更好来思考这个问题的，这样一种自我中心的视角，并不适合理解深度神经网络。但这就是人的具身认知的极限了。

许多支撑神经网络有效性的依据都建立在这样一个猜想之上：“自然”数据往往存在于多维空间中一个非常窄的流形中。然而，随机数据并不具备这样的趋势。但很显然，这篇理论性的文章证伪了这个看法。我们并不理解是什么让神经网络具有好的泛化能力。而理解是什么让神经网络具有泛化能力，不止能让模型更具有可解释性，还能为构建更鲁棒的模型提供指导方向和设计原则。这么看来，现在的深度学习，更类似古代的炼金术而不是化学，还缺少一个统一的普世的理论架构。

最后借着上面文章的图总结下这篇小文，通过从不同角度观察泛化能力，将深度学习中常用的分成了显式和隐式两类。下图可以看看early stopping的影响，在没有批量正则化的时候，early stopping并没有多少效果，等到满足条件（例如5次迭代时在训练集上准确度不明显变化）时，模型已经过拟合了，而再加入了批量正则化之后，early stopping可以发挥效果了，这说明正则化的方法要组合在一起用才会有效。

而下面的这幅图展示了权重衰减，数据增强和dropout三种方法在Inception网络上的效果，除了要看到使用正则化带来的泛化能力提高之外，还要看到正则化的技术能解释的泛化能力只是一部分，还要很多未知的因素，对神经网络的泛化能力做出了贡献。

这篇论文中只写了优化方法和网络结构对泛化能力的影响，而深度学习的另一个支柱优化函数的影响则没有提到。在分类任务上这点体现的不明显，但对于生成任务，改变的更多是优化的目标函数，比如各种GAN及其衍生模型，这时能很直觉的看出目标函数对泛化能力的影响。这与传统的观点是相悖的，传统的机器学习，能影响泛化能力的只是模型。但深度学习将数据和模型的界限变得模糊了，优化目标对泛化能力的影响这个问题该怎样变成一个可以量化的问题，类似这篇文章中做的，是一个值得思考的问题。可以在给GAN（点击查看相关介绍文章）的带标注输入数据中加入不同程度的随机性，但如何量化生成模型的泛化可靠性了？这值得深入的思考。

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