nπ-［nπ］是否存在收敛于0的子列？
我们来探讨一下 $npi [npi]$ 这个序列是否存在收敛于 0 的子列。这是一个关于实数序列和取整函数的典型问题，涉及到小数部分的性质以及它们在区间 $(0, 1)$ 上的分布。
首先，我们先来理解一下序列的组成部分。
$n$ 是一个正整数，它从 1 开始，依次增大：$1, 2, 3, dots$。
$pi$ 是一个无理数，大约等于 3.14159...。
$npi$ 是将 $n$ 与 $pi$ 相乘得到的一系列数值：$pi, 2pi, 3pi, dots$。
$[npi]$ 表示 $npi$ 的整数部分。例如， $[pi] = [3.14159...] = 3$， $[2pi] = [6.28318...] = 6$。
$npi [npi]$ 这个表达式实际上就是 $npi$ 的小数部分。我们通常用 ${npi}$ 来表示它。所以，我们要讨论的序列就是 ${npi}$。
这个序列 ${npi}$ 的值始终落在开区间 $(0, 1)$ 内。为什么呢？因为 $[npi]$ 是小于或等于 $npi$ 的最大整数，所以 $npi [npi]$ 总是大于或等于 0。同时，$[npi]$ 是小于 $npi$ 的整数，意味着 $npi < [npi] + 1$。因此，$npi [npi] < 1$。所以， ${npi} in [0, 1)$。
但是，注意到 $npi$ 是一个无理数，所以 $npi$ 不可能是任何整数。这意味着 $npi [npi]$ 永远不可能等于 0。所以，${npi}$ 永远落在开区间 $(0, 1)$ 内。
我们现在要问的是，这个序列 ${npi}$ 是否存在一个子列，这个子列的项越来越接近 0？换句话说，是否存在一个子序列 ${n_{k}pi}$，使得当 $k o infty$ 时，${n_{k}pi} o 0$？
要回答这个问题，我们可以借助一个重要的数学概念叫做“均匀分布”。
猜想：实数的倍数在区间上是均匀分布的。
对于一个无理数 $alpha$，由Weyl 定理（或称为Weyl 的判别法），序列 ${nalpha}$ 在区间 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。这意味着：
1. 稠密性： 序列 ${nalpha}$ 的所有项在 $[0, 1)$ 这个区间上是“稠密”的。也就是说，对于区间 $[0, 1)$ 中的任何一个子区间 $[a, b]$（其中 $0 le a < b le 1$），序列 ${nalpha}$ 的项会无限多次地落在这个子区间内。
2. 均匀分布： 进一步，序列 ${nalpha}$ 的项在 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。这意味着，落在 $[0, 1)$ 中任何一个长度为 $L$ 的子区间内的项的比例，随着 $N o infty$ 会趋近于 $L/1 = L$。
回到我们的问题，我们将 $alpha$ 取为 $pi$。根据 Weyl 定理，序列 ${npi}$ 在 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。
现在，我们想找到一个子列收敛于 0。收敛于 0 意味着序列的项越来越小，越来越接近 0。我们可以把“接近 0”看作是落在区间 $[0, epsilon)$ 内，其中 $epsilon$ 是一个任意小的正数。
根据均匀分布的性质，序列 ${npi}$ 会无限多次地落在区间 $[0, epsilon)$ 内。为什么呢？因为 $[0, epsilon)$ 是 $[0, 1)$ 的一个子区间，其长度为 $epsilon$。根据均匀分布的定义，落在 $[0, epsilon)$ 内的项的比例会趋近于 $epsilon$。这意味着有无穷多个 $n$ 使得 ${npi} in [0, epsilon)$。
具体构造子列：
我们可以利用这个性质来构造一个收敛于 0 的子列。
1. 选择一个任意小的正数 $epsilon_1$。 由于 ${npi}$ 均匀分布在 $[0, 1)$，存在某个 $n_1$ 使得 ${n_1pi} < epsilon_1$。
2. 选择一个更小的正数 $epsilon_2 < epsilon_1$。 同样，由于 ${npi}$ 均匀分布，存在某个 $n_2 > n_1$ 使得 ${n_2pi} < epsilon_2$。
3. 继续这个过程。 选择一个序列 $epsilon_k$ 使得 $epsilon_k o 0$（例如，$epsilon_k = 1/k$ 或 $epsilon_k = 1/2^k$）。对于每一个 $epsilon_k$，根据均匀分布的性质，存在一个整数 $n_k$ 使得 $n_k > n_{k1}$（为了保证是子列）并且 ${n_kpi} < epsilon_k$。
这样，我们就构造了一个子列 ${n_kpi}$，满足 ${n_kpi} < epsilon_k$。因为 $epsilon_k o 0$，根据夹逼准则（或者直接的定义），当 $k o infty$ 时，${n_kpi} o 0$。
换个角度思考（不直接引用 Weyl 定理）：
即使我们不直接引用 Weyl 定理，我们也可以通过“鸽巢原理”来直观地理解这一点。
1. 将 $[0, 1)$ 分成 $M$ 个小区间。 对于一个足够大的正整数 $M$，我们考虑区间 $[0, 1)$ 被分成 $M$ 个长度为 $1/M$ 的小区间：$[0, 1/M), [1/M, 2/M), dots, [(M1)/M, 1)$。
2. 考虑前 $M+1$ 个序列值。 现在考虑序列 ${npi}$ 的前 $M+1$ 个值：${1pi}, {2pi}, dots, {(M+1)pi}$。
3. 应用鸽巢原理。 这些 $M+1$ 个值都落在 $[0, 1)$ 这个区间内。我们把 $[0, 1)$ 看作是鸽巢，而这 $M+1$ 个值是鸽子。由于我们有 $M+1$ 只鸽子和 $M$ 个鸽巢（即长度为 $1/M$ 的 $M$ 个小区间），根据鸽巢原理，至少有两个值会落在同一个小区间内。
假设这两个值是 ${n_ipi}$ 和 ${n_jpi}$，其中 $1 le n_i < n_j le M+1$。如果它们落在同一个区间 $[k/M, (k+1)/M)$ 内，那么它们之间的差的绝对值小于 $1/M$：
$|{n_jpi} {n_ipi}| < 1/M$。
${n_jpi} {n_ipi} = (n_jpi [n_jpi]) (n_ipi [n_ipi])$
$= (n_j n_i)pi ([n_jpi] [n_ipi])$
令 $n = n_j n_i$（它是一个正整数）和 $m = [n_jpi] [n_ipi]$（它是一个整数），那么这个差等于 $npi m$。
所以，我们找到了一个整数 $n$（$1 le n le M$）和一个整数 $m$，使得 $|npi m| < 1/M$。
4. 重复构造子列。 这个结果告诉我们，对于任意大的 $M$，我们可以找到一个正整数 $n$ 使得 $npi$ 非常接近一个整数 $m$（即 $|npi m| < 1/M$）。
这意味着 ${npi} = npi [npi]$ 非常接近于 0。实际上，我们找到了一个 $n$ 使得 ${npi} < 1/M$。
我们可以通过迭代这个过程来构造子列。
选择 $M_1$ 足够大，使得 $1/M_1 < 1/2$。找到 $n_1$ 使得 ${n_1pi} < 1/M_1$。
选择 $M_2 > M_1$ 足够大，使得 $1/M_2 < 1/4$。找到 $n_2 > n_1$ 使得 ${n_2pi} < 1/M_2$。
继续选择 $M_k o infty$ 使得 $1/M_k o 0$。为每个 $M_k$ 找到 $n_k > n_{k1}$ 使得 ${n_kpi} < 1/M_k$。
这样我们得到的子列 ${n_kpi}$ 就满足 ${n_kpi} < 1/M_k$ 且 $1/M_k o 0$。根据夹逼原理，${n_kpi}$ 收敛于 0。
结论：
是的，序列 $npi [npi]$ 存在收敛于 0 的子列。这个结论是基于实数倍数在区间上的均匀分布性质，而这个性质是数学上已证实的定理（Weyl 定理）。通过构造性的方法，我们可以选择一个递减趋向于零的数列 $epsilon_k$，并找到对应的整数 $n_k$ 使得 $n_kpi$ 的小数部分小于 $epsilon_k$，从而构成一个收敛于 0 的子列。这个结果也反映了无理数 $pi$ 的倍数在实数轴上的“分散”特性。
首先，我们先来理解一下序列的组成部分。
$n$ 是一个正整数，它从 1 开始，依次增大：$1, 2, 3, dots$。
$pi$ 是一个无理数，大约等于 3.14159...。
$npi$ 是将 $n$ 与 $pi$ 相乘得到的一系列数值：$pi, 2pi, 3pi, dots$。
$[npi]$ 表示 $npi$ 的整数部分。例如， $[pi] = [3.14159...] = 3$， $[2pi] = [6.28318...] = 6$。
$npi [npi]$ 这个表达式实际上就是 $npi$ 的小数部分。我们通常用 ${npi}$ 来表示它。所以，我们要讨论的序列就是 ${npi}$。
这个序列 ${npi}$ 的值始终落在开区间 $(0, 1)$ 内。为什么呢？因为 $[npi]$ 是小于或等于 $npi$ 的最大整数，所以 $npi [npi]$ 总是大于或等于 0。同时，$[npi]$ 是小于 $npi$ 的整数，意味着 $npi < [npi] + 1$。因此，$npi [npi] < 1$。所以， ${npi} in [0, 1)$。
但是，注意到 $npi$ 是一个无理数，所以 $npi$ 不可能是任何整数。这意味着 $npi [npi]$ 永远不可能等于 0。所以，${npi}$ 永远落在开区间 $(0, 1)$ 内。
我们现在要问的是，这个序列 ${npi}$ 是否存在一个子列，这个子列的项越来越接近 0？换句话说，是否存在一个子序列 ${n_{k}pi}$，使得当 $k o infty$ 时，${n_{k}pi} o 0$？
要回答这个问题，我们可以借助一个重要的数学概念叫做“均匀分布”。
猜想：实数的倍数在区间上是均匀分布的。
对于一个无理数 $alpha$，由Weyl 定理（或称为Weyl 的判别法），序列 ${nalpha}$ 在区间 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。这意味着：
1. 稠密性： 序列 ${nalpha}$ 的所有项在 $[0, 1)$ 这个区间上是“稠密”的。也就是说，对于区间 $[0, 1)$ 中的任何一个子区间 $[a, b]$（其中 $0 le a < b le 1$），序列 ${nalpha}$ 的项会无限多次地落在这个子区间内。
2. 均匀分布： 进一步，序列 ${nalpha}$ 的项在 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。这意味着，落在 $[0, 1)$ 中任何一个长度为 $L$ 的子区间内的项的比例，随着 $N o infty$ 会趋近于 $L/1 = L$。
回到我们的问题，我们将 $alpha$ 取为 $pi$。根据 Weyl 定理，序列 ${npi}$ 在 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。
现在，我们想找到一个子列收敛于 0。收敛于 0 意味着序列的项越来越小，越来越接近 0。我们可以把“接近 0”看作是落在区间 $[0, epsilon)$ 内，其中 $epsilon$ 是一个任意小的正数。
根据均匀分布的性质，序列 ${npi}$ 会无限多次地落在区间 $[0, epsilon)$ 内。为什么呢？因为 $[0, epsilon)$ 是 $[0, 1)$ 的一个子区间，其长度为 $epsilon$。根据均匀分布的定义，落在 $[0, epsilon)$ 内的项的比例会趋近于 $epsilon$。这意味着有无穷多个 $n$ 使得 ${npi} in [0, epsilon)$。
具体构造子列：
我们可以利用这个性质来构造一个收敛于 0 的子列。
1. 选择一个任意小的正数 $epsilon_1$。 由于 ${npi}$ 均匀分布在 $[0, 1)$，存在某个 $n_1$ 使得 ${n_1pi} < epsilon_1$。
2. 选择一个更小的正数 $epsilon_2 < epsilon_1$。 同样，由于 ${npi}$ 均匀分布，存在某个 $n_2 > n_1$ 使得 ${n_2pi} < epsilon_2$。
3. 继续这个过程。 选择一个序列 $epsilon_k$ 使得 $epsilon_k o 0$（例如，$epsilon_k = 1/k$ 或 $epsilon_k = 1/2^k$）。对于每一个 $epsilon_k$，根据均匀分布的性质，存在一个整数 $n_k$ 使得 $n_k > n_{k1}$（为了保证是子列）并且 ${n_kpi} < epsilon_k$。
这样，我们就构造了一个子列 ${n_kpi}$，满足 ${n_kpi} < epsilon_k$。因为 $epsilon_k o 0$，根据夹逼准则（或者直接的定义），当 $k o infty$ 时，${n_kpi} o 0$。
换个角度思考（不直接引用 Weyl 定理）：
即使我们不直接引用 Weyl 定理，我们也可以通过“鸽巢原理”来直观地理解这一点。
1. 将 $[0, 1)$ 分成 $M$ 个小区间。 对于一个足够大的正整数 $M$，我们考虑区间 $[0, 1)$ 被分成 $M$ 个长度为 $1/M$ 的小区间：$[0, 1/M), [1/M, 2/M), dots, [(M1)/M, 1)$。
2. 考虑前 $M+1$ 个序列值。 现在考虑序列 ${npi}$ 的前 $M+1$ 个值：${1pi}, {2pi}, dots, {(M+1)pi}$。
3. 应用鸽巢原理。 这些 $M+1$ 个值都落在 $[0, 1)$ 这个区间内。我们把 $[0, 1)$ 看作是鸽巢，而这 $M+1$ 个值是鸽子。由于我们有 $M+1$ 只鸽子和 $M$ 个鸽巢（即长度为 $1/M$ 的 $M$ 个小区间），根据鸽巢原理，至少有两个值会落在同一个小区间内。
假设这两个值是 ${n_ipi}$ 和 ${n_jpi}$，其中 $1 le n_i < n_j le M+1$。如果它们落在同一个区间 $[k/M, (k+1)/M)$ 内，那么它们之间的差的绝对值小于 $1/M$：
$|{n_jpi} {n_ipi}| < 1/M$。
${n_jpi} {n_ipi} = (n_jpi [n_jpi]) (n_ipi [n_ipi])$
$= (n_j n_i)pi ([n_jpi] [n_ipi])$
令 $n = n_j n_i$（它是一个正整数）和 $m = [n_jpi] [n_ipi]$（它是一个整数），那么这个差等于 $npi m$。
所以，我们找到了一个整数 $n$（$1 le n le M$）和一个整数 $m$，使得 $|npi m| < 1/M$。
4. 重复构造子列。 这个结果告诉我们，对于任意大的 $M$，我们可以找到一个正整数 $n$ 使得 $npi$ 非常接近一个整数 $m$（即 $|npi m| < 1/M$）。
这意味着 ${npi} = npi [npi]$ 非常接近于 0。实际上，我们找到了一个 $n$ 使得 ${npi} < 1/M$。
我们可以通过迭代这个过程来构造子列。
选择 $M_1$ 足够大，使得 $1/M_1 < 1/2$。找到 $n_1$ 使得 ${n_1pi} < 1/M_1$。
选择 $M_2 > M_1$ 足够大，使得 $1/M_2 < 1/4$。找到 $n_2 > n_1$ 使得 ${n_2pi} < 1/M_2$。
继续选择 $M_k o infty$ 使得 $1/M_k o 0$。为每个 $M_k$ 找到 $n_k > n_{k1}$ 使得 ${n_kpi} < 1/M_k$。
这样我们得到的子列 ${n_kpi}$ 就满足 ${n_kpi} < 1/M_k$ 且 $1/M_k o 0$。根据夹逼原理，${n_kpi}$ 收敛于 0。
结论：
是的，序列 $npi [npi]$ 存在收敛于 0 的子列。这个结论是基于实数倍数在区间上的均匀分布性质，而这个性质是数学上已证实的定理（Weyl 定理）。通过构造性的方法，我们可以选择一个递减趋向于零的数列 $epsilon_k$，并找到对应的整数 $n_k$ 使得 $n_kpi$ 的小数部分小于 $epsilon_k$，从而构成一个收敛于 0 的子列。这个结果也反映了无理数 $pi$ 的倍数在实数轴上的“分散”特性。
网友意见
这个只需证明数列 的下极限为0。记 。则 。对任意正整数 ，有 。由于 ，由抽屉原理，存在 使得 。不妨设前者不小于后者，则 。得证。
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