收敛都是在某度量下而言的吗？依测度收敛是某度量下的收敛吗？
在数学分析中，我们确实会谈论“收敛”，而且这种收敛总是依附于某种度量（或者更广义地说，是某种拓扑结构）。这一点很重要，因为它规定了我们如何衡量“接近”和“相同”。
收敛的根基：度量空间
首先，让我们来理解什么是“度量”。一个度量空间是一个集合 $X$ 加上一个函数 $d: X imes X o mathbb{R}$，这个函数叫做度量，它需要满足几个性质：
1. 非负性: $d(x, y) ge 0$ 对于所有 $x, y in X$。距离总是非负的。
2. 同一性: $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$。只有同一个点之间的距离才是零。
3. 对称性: $d(x, y) = d(y, x)$ 对于所有 $x, y in X$。从 $x$ 到 $y$ 的距离等于从 $y$ 到 $x$ 的距离。
4. 三角不等式: $d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)$ 对于所有 $x, y, z in X$。两点之间的直接距离不会比经过第三点绕路更远。
有了度量 $d$，我们就可以定义“点 $x_n$ 收敛到点 $x$”是什么意思了。
定义： 在一个度量空间 $(X, d)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于点 $x in X$，记作 $x_n o x$ 或者 $lim_{n o infty} x_n = x$，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。
这个定义的核心在于度量 $d$。我们衡量两个点之间的“接近程度”就是通过度量 $d$ 来实现的。$epsilon$ 代表我们希望达到的“任意小的正数”，而 $d(x_n, x) < epsilon$ 就是说，$x_n$ 和 $x$ 之间的距离要比我们设定的任意小的 $epsilon$ 还要小。
举几个例子：
在实数集 $mathbb{R}$ 上，我们通常使用绝对值度量 $d(x, y) = |x y|$。实数序列 $x_n$ 收敛到 $x$ 就是指 $|x_n x| o 0$。
在欧几里得空间 $mathbb{R}^k$ 上，我们使用欧几里得距离 $d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sqrt{sum_{i=1}^k (x_i y_i)^2}$。向量序列 $mathbf{x}_n$ 收敛到 $mathbf{x}$ 就是指它们之间的欧几里得距离趋于零。
在函数空间中，我们也可以定义不同的度量，比如对于有界函数空间，我们可以定义上确界范数（也称为一致收敛的度量）。
所以，是的，我们在谈论序列的收敛时，总是隐含着或明确地指明是在某个度量下进行的。度量提供了我们衡量“接近”的标准。
依测度收敛：一种不同的收敛方式
现在，我们来谈谈“依测度收敛”（convergence in measure）。依测度收敛是概率论和测度论中一个非常重要的概念，它与我们上面讨论的度量空间中的点态收敛（pointwise convergence）或一致收敛（uniform convergence）有所不同。
首先，我们需要一个测度空间 $(X, mathcal{M}, mu)$。
$X$ 是一个集合。
$mathcal{M}$ 是一个 $sigma$代数，它是 $X$ 的子集的集合，满足一些封闭性条件（包含空集，对补运算封闭，对可数并运算封闭）。$mathcal{M}$ 中的集合称为可测集。
$mu$ 是一个测度，它是一个从 $mathcal{M}$ 到 $[0, infty]$ 的函数，满足可数可加性等性质。测度可以理解为一种“大小”或“概率”。
在这样的测度空间中，我们考虑的是一个可测函数序列 ${f_n}$，它们定义在 $X$ 上，取值是实数（或复数）。
定义： 在测度空间 $(X, mathcal{M}, mu)$ 中，一个可测函数序列 ${f_n}$ 依测度收敛于一个可测函数 $f$，记作 $f_n xrightarrow{m} f$，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，有：
$$ lim_{n o infty} mu({x in X : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}) = 0 $$
这里的 ${x in X : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}$ 是指所有使得函数 $f_n$ 和 $f$ 在点 $x$ 处的差的绝对值大于或等于 $epsilon$ 的点的集合。依测度收敛意味着，函数值差异至少为 $epsilon$ 的那些点的“测度”（即“大小”）随着 $n$ 的增大趋于零。换句话说，在“绝大多数”地方，$f_n(x)$ 越来越接近 $f(x)$，尽管在个别点上可能不是这样。
依测度收敛是某度量下的收敛吗？
答案是：依测度收敛本身不是直接在某个“标准度量”下定义的序列收敛，但我们可以构造一个度量使得依测度收敛等价于在这个新度量下的收敛。
让我们来仔细分析一下：
1. 不是直接的标准度量收敛：依测度收敛的定义不是直接考察 $d(f_n(x), f(x))$ 是否随 $n$ 增大而趋于零，而是考察满足 $|f_n(x) f(x)| ge epsilon$ 的点的集合的测度。这个测度衡量的是“发生显著差异”的点的“概率”或“大小”，而不是所有点的平均差异。
2. 可以构造度量：尽管如此，依测度收敛可以被看作是在一个特定的、稍显复杂的度量下的收敛。这个度量通常定义在函数空间上，但它不是像 $|xy|$ 那样直接在函数值上操作。
考虑一个度量（或伪度量，因为可能为零的函数差不是处处为零）定义如下：
对于两个可测函数 $f$ 和 $g$，定义：
$$ d_m(f, g) = int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
或者在某些情况下，使用更简化的形式，例如：
$$ d_epsilon(f, g) = mu({x in X : |f(x) g(x)| ge epsilon}) $$
（注意，后一种不是一个真正的度量，因为它可能不是对称的，并且不一定满足三角不等式，但它捕捉了依测度收敛的核心思想）。
更常见和严谨的做法是利用一个特定的度量，例如在 $L^p$ 空间中：
在可积函数空间中，考虑 $L^p$ 范数 $||f||_p = (int_X |f(x)|^p dmu(x))^{1/p}$。如果 $f_n o f$ 在 $L^p$ 范数下收敛，即 $||f_n f||_p o 0$，这是一种更强的收敛性。
但依测度收敛的度量要稍微不同。一个与依测度收敛密切相关的度量（严格来说是伪度量，因为它可能为零却函数不相等）可以在可测函数空间上定义为：
$$ ho(f, g) = inf left{ delta > 0 : mu({x in X : |f(x) g(x)| > delta}) < delta ight} $$
这个定义比较复杂，而且它不是我们通常意义下的“距离”。
然而，更直接的联系是，如果我们考虑的是函数空间 $L^0(X, mu)$，即所有可测函数构成的空间（在依测度相等的意义下），我们可以定义一个度量：
$$ d(f, g) = int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
或者，我们也可以考虑由依测度收敛定义的拓扑：一个函数序列 ${f_n}$ 收敛到 $f$ 的拓扑基础是 ${f_n}$ 使得对于任意的 $epsilon > 0$，$mu({x : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}) o 0$。这个拓扑是可以通过一个度量产生的。
具体来说，如果 $mu(X) < infty$，我们可以定义：
$$ d(f, g) = mu({x in X : |f(x) g(x)| ge 1}) + int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
这个 $d$ 是一个度量，并且在该度量下的收敛等价于依测度收敛。
如果 $mu(X) = infty$，情况会更复杂一些，需要更精细的构造，但基本思想是相同的：找到一个度量，使得函数之间“差异”的大小（根据测度的定义）被捕捉。
总结一下：
一切收敛都“依赖于”某种度量或拓扑。 点态收敛、一致收敛都是在标准度量下的收敛。
依测度收敛不是在函数值本身上直接定义的度量收敛，而是关于“差值大于某个阈值的点的测度”的收敛。
但是，存在一种构造，可以定义一个度量，使得依测度收敛就等价于在这个新度量下的收敛。 所以从这个意义上讲，依测度收敛也是在某度量下的收敛。只是这个度量比较特殊，它结合了函数差值和测度。
这就像说，我们讨论“人是否肥胖”，可以根据体重来定义一个标准（类似度量）。而依测度收敛更像是根据“体重指数”（BMI）来判断，它综合考虑了体重和身高，是一种更复杂的衡量标准，但最终也可以归结为一种“肥胖度”的度量。
依测度收敛比点态收敛要弱（如果函数定义域的测度有限，一致收敛蕴含依测度收敛，依测度收敛不一定蕴含点态收敛，点态收敛不一定蕴含依测度收敛）。它在统计学和概率论中非常有用，尤其是在处理极限定理（如大数定律）时。例如，大数定律表明样本均值依概率收敛（在概率测度下），而依概率收敛本质上就是依测度收敛。
收敛的根基：度量空间
首先，让我们来理解什么是“度量”。一个度量空间是一个集合 $X$ 加上一个函数 $d: X imes X o mathbb{R}$，这个函数叫做度量，它需要满足几个性质：
1. 非负性: $d(x, y) ge 0$ 对于所有 $x, y in X$。距离总是非负的。
2. 同一性: $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$。只有同一个点之间的距离才是零。
3. 对称性: $d(x, y) = d(y, x)$ 对于所有 $x, y in X$。从 $x$ 到 $y$ 的距离等于从 $y$ 到 $x$ 的距离。
4. 三角不等式: $d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)$ 对于所有 $x, y, z in X$。两点之间的直接距离不会比经过第三点绕路更远。
有了度量 $d$，我们就可以定义“点 $x_n$ 收敛到点 $x$”是什么意思了。
定义： 在一个度量空间 $(X, d)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于点 $x in X$，记作 $x_n o x$ 或者 $lim_{n o infty} x_n = x$，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。
这个定义的核心在于度量 $d$。我们衡量两个点之间的“接近程度”就是通过度量 $d$ 来实现的。$epsilon$ 代表我们希望达到的“任意小的正数”，而 $d(x_n, x) < epsilon$ 就是说，$x_n$ 和 $x$ 之间的距离要比我们设定的任意小的 $epsilon$ 还要小。
举几个例子：
在实数集 $mathbb{R}$ 上，我们通常使用绝对值度量 $d(x, y) = |x y|$。实数序列 $x_n$ 收敛到 $x$ 就是指 $|x_n x| o 0$。
在欧几里得空间 $mathbb{R}^k$ 上，我们使用欧几里得距离 $d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sqrt{sum_{i=1}^k (x_i y_i)^2}$。向量序列 $mathbf{x}_n$ 收敛到 $mathbf{x}$ 就是指它们之间的欧几里得距离趋于零。
在函数空间中，我们也可以定义不同的度量，比如对于有界函数空间，我们可以定义上确界范数（也称为一致收敛的度量）。
所以，是的，我们在谈论序列的收敛时，总是隐含着或明确地指明是在某个度量下进行的。度量提供了我们衡量“接近”的标准。
依测度收敛：一种不同的收敛方式
现在，我们来谈谈“依测度收敛”（convergence in measure）。依测度收敛是概率论和测度论中一个非常重要的概念，它与我们上面讨论的度量空间中的点态收敛（pointwise convergence）或一致收敛（uniform convergence）有所不同。
首先，我们需要一个测度空间 $(X, mathcal{M}, mu)$。
$X$ 是一个集合。
$mathcal{M}$ 是一个 $sigma$代数，它是 $X$ 的子集的集合，满足一些封闭性条件（包含空集，对补运算封闭，对可数并运算封闭）。$mathcal{M}$ 中的集合称为可测集。
$mu$ 是一个测度，它是一个从 $mathcal{M}$ 到 $[0, infty]$ 的函数，满足可数可加性等性质。测度可以理解为一种“大小”或“概率”。
在这样的测度空间中，我们考虑的是一个可测函数序列 ${f_n}$，它们定义在 $X$ 上，取值是实数（或复数）。
定义： 在测度空间 $(X, mathcal{M}, mu)$ 中，一个可测函数序列 ${f_n}$ 依测度收敛于一个可测函数 $f$，记作 $f_n xrightarrow{m} f$，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，有：
$$ lim_{n o infty} mu({x in X : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}) = 0 $$
这里的 ${x in X : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}$ 是指所有使得函数 $f_n$ 和 $f$ 在点 $x$ 处的差的绝对值大于或等于 $epsilon$ 的点的集合。依测度收敛意味着，函数值差异至少为 $epsilon$ 的那些点的“测度”（即“大小”）随着 $n$ 的增大趋于零。换句话说，在“绝大多数”地方，$f_n(x)$ 越来越接近 $f(x)$，尽管在个别点上可能不是这样。
依测度收敛是某度量下的收敛吗？
答案是：依测度收敛本身不是直接在某个“标准度量”下定义的序列收敛，但我们可以构造一个度量使得依测度收敛等价于在这个新度量下的收敛。
让我们来仔细分析一下：
1. 不是直接的标准度量收敛：依测度收敛的定义不是直接考察 $d(f_n(x), f(x))$ 是否随 $n$ 增大而趋于零，而是考察满足 $|f_n(x) f(x)| ge epsilon$ 的点的集合的测度。这个测度衡量的是“发生显著差异”的点的“概率”或“大小”，而不是所有点的平均差异。
2. 可以构造度量：尽管如此，依测度收敛可以被看作是在一个特定的、稍显复杂的度量下的收敛。这个度量通常定义在函数空间上，但它不是像 $|xy|$ 那样直接在函数值上操作。
考虑一个度量（或伪度量，因为可能为零的函数差不是处处为零）定义如下：
对于两个可测函数 $f$ 和 $g$，定义：
$$ d_m(f, g) = int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
或者在某些情况下，使用更简化的形式，例如：
$$ d_epsilon(f, g) = mu({x in X : |f(x) g(x)| ge epsilon}) $$
（注意，后一种不是一个真正的度量，因为它可能不是对称的，并且不一定满足三角不等式，但它捕捉了依测度收敛的核心思想）。
更常见和严谨的做法是利用一个特定的度量，例如在 $L^p$ 空间中：
在可积函数空间中，考虑 $L^p$ 范数 $||f||_p = (int_X |f(x)|^p dmu(x))^{1/p}$。如果 $f_n o f$ 在 $L^p$ 范数下收敛，即 $||f_n f||_p o 0$，这是一种更强的收敛性。
但依测度收敛的度量要稍微不同。一个与依测度收敛密切相关的度量（严格来说是伪度量，因为它可能为零却函数不相等）可以在可测函数空间上定义为：
$$ ho(f, g) = inf left{ delta > 0 : mu({x in X : |f(x) g(x)| > delta}) < delta ight} $$
这个定义比较复杂，而且它不是我们通常意义下的“距离”。
然而，更直接的联系是，如果我们考虑的是函数空间 $L^0(X, mu)$，即所有可测函数构成的空间（在依测度相等的意义下），我们可以定义一个度量：
$$ d(f, g) = int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
或者，我们也可以考虑由依测度收敛定义的拓扑：一个函数序列 ${f_n}$ 收敛到 $f$ 的拓扑基础是 ${f_n}$ 使得对于任意的 $epsilon > 0$，$mu({x : |f_n(x) f(x)| ge epsilon}) o 0$。这个拓扑是可以通过一个度量产生的。
具体来说，如果 $mu(X) < infty$，我们可以定义：
$$ d(f, g) = mu({x in X : |f(x) g(x)| ge 1}) + int_X frac{|f(x) g(x)|}{1 + |f(x) g(x)|} dmu(x) $$
这个 $d$ 是一个度量，并且在该度量下的收敛等价于依测度收敛。
如果 $mu(X) = infty$，情况会更复杂一些，需要更精细的构造，但基本思想是相同的：找到一个度量，使得函数之间“差异”的大小（根据测度的定义）被捕捉。
总结一下：
一切收敛都“依赖于”某种度量或拓扑。 点态收敛、一致收敛都是在标准度量下的收敛。
依测度收敛不是在函数值本身上直接定义的度量收敛，而是关于“差值大于某个阈值的点的测度”的收敛。
但是，存在一种构造，可以定义一个度量，使得依测度收敛就等价于在这个新度量下的收敛。 所以从这个意义上讲，依测度收敛也是在某度量下的收敛。只是这个度量比较特殊，它结合了函数差值和测度。
这就像说，我们讨论“人是否肥胖”，可以根据体重来定义一个标准（类似度量）。而依测度收敛更像是根据“体重指数”（BMI）来判断，它综合考虑了体重和身高，是一种更复杂的衡量标准，但最终也可以归结为一种“肥胖度”的度量。
依测度收敛比点态收敛要弱（如果函数定义域的测度有限，一致收敛蕴含依测度收敛，依测度收敛不一定蕴含点态收敛，点态收敛不一定蕴含依测度收敛）。它在统计学和概率论中非常有用，尤其是在处理极限定理（如大数定律）时。例如，大数定律表明样本均值依概率收敛（在概率测度下），而依概率收敛本质上就是依测度收敛。
网友意见
谢邀，第一个是错的。 有些收敛和度量没关系，比如无限维赋范空间上的弱拓扑，它就和度量没关系。它不可能由任何度量引导出来。 本质上的原因是弱拓扑不是第一可数的 (first countable)。值得一提的是， Frechet证明（一般情况下）几乎处处收敛不可能由度量引导出来。
你的第二个问题就有点“模糊”了，因为你没定义“拓扑”，或者说你没说清楚什么叫“是某度量下的收敛”。设 是一个有限测度空间， 是全部可测实值函数构成，那么我们可以定义度量
，
那么可以证明 以测度收敛到 , 当且仅当 . 当然了，这不是唯一的，比较出名的还有(Frechet引入)
Ky Fan使用的则是
具体的可以参考下面这本书。
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