不可列个数的集合交集并集怎么定义？
好的，我们来聊聊不可数集合的交集和并集是怎么回事。这其实是集合论里的基本概念，听起来有点抽象，但理解了就没那么难了。
首先，我们要明确一点：“不可数” 指的是集合的元素数量“太多了”，多到无法用自然数（1, 2, 3…）来一一对应计数。最典型的例子就是实数集（R），或者说所有数轴上的点。你有没有试过给数轴上的点编号？随便取两个点，中间总能找到无数个其他点，你根本没法给它们排个队。
好了，有了这个背景，我们来看看交集和并集在不可数集合上的定义。其实，定义本身和可数集合是一样的，只不过我们在操作和思考的时候要用到更一般化的思维方式。
交集 (Intersection)
我们先从交集说起。集合 $A$ 和集合 $B$ 的交集，我们记作 $A cap B$，它的定义是：
“所有属于集合 $A$ 并且 也属于集合 $B$ 的元素组成的集合。”
用数学语言来说，就是：
$A cap B = {x mid x in A ext{ 并且 } x in B}$
这个定义不管 $A$ 和 $B$ 是可数还是不可数，都是成立的。
打个比方，想象一下我们有两个巨大的抽屉，里面装满了各种各样的东西。
抽屉 A 里装的是所有红色的东西。
抽屉 B 里装的是所有圆形的东西。
那么，$A cap B$ 就是所有既是红色的，又是圆形的东西组成的集合。
现在，如果抽屉里的东西是不可数的呢？比如：
集合 A 是所有实数中大于 5 的数。 ($A = {x in mathbb{R} mid x > 5}$)
集合 B 是所有实数中小于 10 的数。 ($B = {x in mathbb{R} mid x < 10}$)
那么，$A cap B$ 就是所有大于 5 并且小于 10 的实数组成的集合。
$A cap B = {x in mathbb{R} mid x > 5 ext{ 并且 } x < 10}$
这个集合就是开区间 $(5, 10)$。虽然区间 $(5, 10)$ 里面有无数个实数（不可数），但交集的定义依然清晰明了。
我们还可以考虑多个不可数集合的交集。如果有好多好多集合，比如 $A_1, A_2, A_3, dots$ （注意，这里集合的“个数”本身也可能是可数或不可数的，我们后面会单独说），它们的交集就是所有同时属于所有这些集合的元素。
$igcap_{i in I} A_i = {x mid ext{对于所有的 } i in I ext{, 都有 } x in A_i }$
其中 $I$ 是一个索引集，用来标记我们考虑的是哪些集合。
举个例子，考虑一个不可数的集合序列。例如，对于每一个实数 $t in mathbb{R}$，我们定义一个集合 $S_t$ 为：
$S_t = {x in mathbb{R} mid x ge t}$ （所有大于等于 $t$ 的实数）
现在我们想计算所有这些 $S_t$ 的交集，当 $t$ 遍历整个实数集 $mathbb{R}$ 时：
$igcap_{t in mathbb{R}} S_t$
这里面有哪个实数 $x$ 会满足“对于所有实数 $t$，都有 $x ge t$”呢？没有任何一个实数能做到这一点！因为总能找到一个比它更大的实数 $t$。所以，这个不可数集合的交集是空集 ($emptyset$)。
并集 (Union)
接着我们看并集。集合 $A$ 和集合 $B$ 的并集，我们记作 $A cup B$，它的定义是：
“所有属于集合 $A$ 或者 也属于集合 $B$ 的元素组成的集合（允许重复包含的元素只算一个）。”
用数学语言来说，就是：
$A cup B = {x mid x in A ext{ 或者 } x in B}$
同样，这个定义对可数和不可数集合都通用。
继续用抽屉的比方：
抽屉 A 里装的是所有红色的东西。
抽屉 B 里装的是所有圆形的东西。
那么，$A cup B$ 就是所有要么是红色的，要么是圆形的（或者两者都是）的东西组成的集合。
拿实数集举例：
集合 A 是所有实数中大于 5 的数。 ($A = {x in mathbb{R} mid x > 5}$)
集合 B 是所有实数中小于 10 的数。 ($B = {x in mathbb{R} mid x < 10}$)
那么，$A cup B$ 就是所有大于 5 或者小于 10 的实数组成的集合。
$A cup B = {x in mathbb{R} mid x > 5 ext{ 或者 } x < 10}$
这个集合实际上就是整个实数集 $mathbb{R}$！因为任何一个实数，要么比 5 大（比如 7），要么比 10 小（比如 3），要么在这两个范围之间（比如 6，它既大于 5 也小于 10，也满足“或者”的条件）。所以，$A cup B = mathbb{R}$。
对于多个不可数集合的并集也是类似：
$igcup_{i in I} A_i = {x mid ext{存在至少一个 } i in I ext{, 使得 } x in A_i }$
举个例子：
我们还是考虑上面的 $S_t = {x in mathbb{R} mid x ge t}$。
现在我们想计算这些集合的并集，当 $t$ 遍历所有实数集 $mathbb{R}$ 时：
$igcup_{t in mathbb{R}} S_t$
这里面有什么实数 $x$ 是属于“某个 $S_t$”的呢？
如果一个实数 $x$ 被包含在某个 $S_t$ 中，意味着 $x ge t$。
现在我们要找的是所有至少属于一个 $S_t$ 的实数。
思考一下，任何一个实数 $x$，比如 7。是不是存在某个 $t$ 使得 $x ge t$? 当然存在！比如我们可以取 $t=0$，那么 $7 ge 0$ 成立。我们甚至可以取 $t=7$，那么 $7 ge 7$ 也成立。
事实上，对于任何一个实数 $x$，你总能找到一个实数 $t$（比如取 $t=x$ 或者 $t=x1$），使得 $x ge t$ 这个条件成立。
所以，这个并集 $igcup_{t in mathbb{R}} S_t$ 就是整个实数集 $mathbb{R}$。
关于集合“个数”的问题
我上面提到“多个不可数集合的交集并集”，这里“多个”本身也可能是一个不可数集合。这就是索引集 $I$ 是不可数集合的情况。
比如我们刚才用的例子：
交集：$igcap_{t in mathbb{R}} S_t$。这里的索引集就是实数集 $mathbb{R}$，它是不可数的。
并集：$igcup_{t in mathbb{R}} S_t$。索引集也是 $mathbb{R}$。
这些定义之所以能成立，是因为它们并没有依赖于“数数”的过程。我们只是在描述“满足某种性质的所有元素的集合”。这个性质可以很简单（比如“属于 A 且属于 B”），也可以复杂（比如“存在某个索引 i 使得 x 属于 A_i”）。
在集合论中，我们并不需要去“列出”或者“数出”这些元素来定义交集或并集，我们只需要描述清楚“这个元素有没有资格被包含在这个集合里”。
总结一下关键点：
1. 定义不变性： 不可数集合的交集和并集定义，与可数集合的定义是完全相同的。我们总是关注元素是否满足“且”（交集）或“或”（并集）的条件。
2. 思维的普适性： 尽管元素数量巨大，但我们不需要真的去遍历它们。集合论的强大之处在于其抽象性和普适性，能够处理这些无限的、难以想象的集合。
3. 索引集： 当我们考虑多个集合的交并集时，这些集合本身的数量也可能构成一个集合，这个集合称为索引集。这个索引集也可能是不 Dalam 的。
理解了这些，你就抓住了不可数集合交并集的本质。它们不是一种新的操作，而是在更广泛、更抽象的集合框架下对现有操作的自然延伸。
首先，我们要明确一点：“不可数” 指的是集合的元素数量“太多了”，多到无法用自然数（1, 2, 3…）来一一对应计数。最典型的例子就是实数集（R），或者说所有数轴上的点。你有没有试过给数轴上的点编号？随便取两个点，中间总能找到无数个其他点，你根本没法给它们排个队。
好了，有了这个背景，我们来看看交集和并集在不可数集合上的定义。其实，定义本身和可数集合是一样的，只不过我们在操作和思考的时候要用到更一般化的思维方式。
交集 (Intersection)
我们先从交集说起。集合 $A$ 和集合 $B$ 的交集，我们记作 $A cap B$，它的定义是：
“所有属于集合 $A$ 并且 也属于集合 $B$ 的元素组成的集合。”
用数学语言来说，就是：
$A cap B = {x mid x in A ext{ 并且 } x in B}$
这个定义不管 $A$ 和 $B$ 是可数还是不可数，都是成立的。
打个比方，想象一下我们有两个巨大的抽屉，里面装满了各种各样的东西。
抽屉 A 里装的是所有红色的东西。
抽屉 B 里装的是所有圆形的东西。
那么，$A cap B$ 就是所有既是红色的，又是圆形的东西组成的集合。
现在，如果抽屉里的东西是不可数的呢？比如：
集合 A 是所有实数中大于 5 的数。 ($A = {x in mathbb{R} mid x > 5}$)
集合 B 是所有实数中小于 10 的数。 ($B = {x in mathbb{R} mid x < 10}$)
那么，$A cap B$ 就是所有大于 5 并且小于 10 的实数组成的集合。
$A cap B = {x in mathbb{R} mid x > 5 ext{ 并且 } x < 10}$
这个集合就是开区间 $(5, 10)$。虽然区间 $(5, 10)$ 里面有无数个实数（不可数），但交集的定义依然清晰明了。
我们还可以考虑多个不可数集合的交集。如果有好多好多集合，比如 $A_1, A_2, A_3, dots$ （注意，这里集合的“个数”本身也可能是可数或不可数的，我们后面会单独说），它们的交集就是所有同时属于所有这些集合的元素。
$igcap_{i in I} A_i = {x mid ext{对于所有的 } i in I ext{, 都有 } x in A_i }$
其中 $I$ 是一个索引集，用来标记我们考虑的是哪些集合。
举个例子，考虑一个不可数的集合序列。例如，对于每一个实数 $t in mathbb{R}$，我们定义一个集合 $S_t$ 为：
$S_t = {x in mathbb{R} mid x ge t}$ （所有大于等于 $t$ 的实数）
现在我们想计算所有这些 $S_t$ 的交集，当 $t$ 遍历整个实数集 $mathbb{R}$ 时：
$igcap_{t in mathbb{R}} S_t$
这里面有哪个实数 $x$ 会满足“对于所有实数 $t$，都有 $x ge t$”呢？没有任何一个实数能做到这一点！因为总能找到一个比它更大的实数 $t$。所以，这个不可数集合的交集是空集 ($emptyset$)。
并集 (Union)
接着我们看并集。集合 $A$ 和集合 $B$ 的并集，我们记作 $A cup B$，它的定义是：
“所有属于集合 $A$ 或者 也属于集合 $B$ 的元素组成的集合（允许重复包含的元素只算一个）。”
用数学语言来说，就是：
$A cup B = {x mid x in A ext{ 或者 } x in B}$
同样，这个定义对可数和不可数集合都通用。
继续用抽屉的比方：
抽屉 A 里装的是所有红色的东西。
抽屉 B 里装的是所有圆形的东西。
那么，$A cup B$ 就是所有要么是红色的，要么是圆形的（或者两者都是）的东西组成的集合。
拿实数集举例：
集合 A 是所有实数中大于 5 的数。 ($A = {x in mathbb{R} mid x > 5}$)
集合 B 是所有实数中小于 10 的数。 ($B = {x in mathbb{R} mid x < 10}$)
那么，$A cup B$ 就是所有大于 5 或者小于 10 的实数组成的集合。
$A cup B = {x in mathbb{R} mid x > 5 ext{ 或者 } x < 10}$
这个集合实际上就是整个实数集 $mathbb{R}$！因为任何一个实数，要么比 5 大（比如 7），要么比 10 小（比如 3），要么在这两个范围之间（比如 6，它既大于 5 也小于 10，也满足“或者”的条件）。所以，$A cup B = mathbb{R}$。
对于多个不可数集合的并集也是类似：
$igcup_{i in I} A_i = {x mid ext{存在至少一个 } i in I ext{, 使得 } x in A_i }$
举个例子：
我们还是考虑上面的 $S_t = {x in mathbb{R} mid x ge t}$。
现在我们想计算这些集合的并集，当 $t$ 遍历所有实数集 $mathbb{R}$ 时：
$igcup_{t in mathbb{R}} S_t$
这里面有什么实数 $x$ 是属于“某个 $S_t$”的呢？
如果一个实数 $x$ 被包含在某个 $S_t$ 中，意味着 $x ge t$。
现在我们要找的是所有至少属于一个 $S_t$ 的实数。
思考一下，任何一个实数 $x$，比如 7。是不是存在某个 $t$ 使得 $x ge t$? 当然存在！比如我们可以取 $t=0$，那么 $7 ge 0$ 成立。我们甚至可以取 $t=7$，那么 $7 ge 7$ 也成立。
事实上，对于任何一个实数 $x$，你总能找到一个实数 $t$（比如取 $t=x$ 或者 $t=x1$），使得 $x ge t$ 这个条件成立。
所以，这个并集 $igcup_{t in mathbb{R}} S_t$ 就是整个实数集 $mathbb{R}$。
关于集合“个数”的问题
我上面提到“多个不可数集合的交集并集”，这里“多个”本身也可能是一个不可数集合。这就是索引集 $I$ 是不可数集合的情况。
比如我们刚才用的例子：
交集：$igcap_{t in mathbb{R}} S_t$。这里的索引集就是实数集 $mathbb{R}$，它是不可数的。
并集：$igcup_{t in mathbb{R}} S_t$。索引集也是 $mathbb{R}$。
这些定义之所以能成立，是因为它们并没有依赖于“数数”的过程。我们只是在描述“满足某种性质的所有元素的集合”。这个性质可以很简单（比如“属于 A 且属于 B”），也可以复杂（比如“存在某个索引 i 使得 x 属于 A_i”）。
在集合论中，我们并不需要去“列出”或者“数出”这些元素来定义交集或并集，我们只需要描述清楚“这个元素有没有资格被包含在这个集合里”。
总结一下关键点：
1. 定义不变性： 不可数集合的交集和并集定义，与可数集合的定义是完全相同的。我们总是关注元素是否满足“且”（交集）或“或”（并集）的条件。
2. 思维的普适性： 尽管元素数量巨大，但我们不需要真的去遍历它们。集合论的强大之处在于其抽象性和普适性，能够处理这些无限的、难以想象的集合。
3. 索引集： 当我们考虑多个集合的交并集时，这些集合本身的数量也可能构成一个集合，这个集合称为索引集。这个索引集也可能是不 Dalam 的。
理解了这些，你就抓住了不可数集合交并集的本质。它们不是一种新的操作，而是在更广泛、更抽象的集合框架下对现有操作的自然延伸。
网友意见
稍微拓展一下
集合论为了规避你说的“二元算符”的问题，是这么定义交集的(并集同理。)
对任意集合A，∩A={任意x(任意y((y属于A)→(x属于y)))}
也就是说∩A就是对A的所有子集求交。
这个意义下，对每个集合A，∩A和∪A一定是存在的(ZFC内)，存在性分别由分离模式公理和并集公理保证。
这就从根本上回避了怎么遍历这个问题，也就是
在我们处理问题的时候，当我们需要对一族集合求并或者交的时候，我们只需要把这一族集合装进一个新集合里就可以了。
一般的。只要这组集合有角标(或者能给出一组角标/索引)，我们都可以用替换模式公理把它塞到一个新集合里去。然后就可以顺利的求并求交了。
尽管ZFC的这个求交求并的方法很严谨，我们也会失去一些东西，会有一些东西没法求并集交集。比如说全体集合的并，交，直觉上并是全体集合组成的“东西”(类)，而交是空集。但是在集合论里，这些都没法求。这种时候，就需要诉诸一个更大的模型了，比如一个包含V(集合论的宇宙)的模型。
当然这就是一个很大的话题了。
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