阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗？
要理解为什么它如此棘手，我们需要深入分析其悖论的核心以及“常规逻辑”在这里可能遇到的困境。
悖论的表述：
前提： 阿基里斯是世界上跑得最快的人，乌龟以一个固定的、但比阿基里斯慢得多的速度爬行。比赛开始时，乌龟领先阿基里斯一定距离。
芝诺的论证： 为了追上乌龟，阿基里斯必须首先到达乌龟出发时的位置。但当阿基里斯到达这个位置时，乌龟已经向前爬行了一小段距离。然后，阿基里斯必须再次到达乌龟现在所在的新位置。但此时，乌龟又向前爬了一点点。这个过程会不断重复，每一次阿基里斯到达一个新位置，乌龟总会比他领先一点点。因此，阿基里斯永远无法追上乌龟。
为什么“常规逻辑”难以直接推翻？
“常规逻辑”在这里指的是我们日常生活中使用的、基于离散步骤和有限性的推理方式。芝诺的悖论之所以有效，是因为它巧妙地将一个连续的过程分解成了无限多个离散的、越来越小的步骤。
1. 无限分割和有限距离/时间： 悖论的关键在于“无限分割”。芝诺利用了“分而治之”的思想，将追赶过程分解为无数个阶段。在每一个阶段，阿基里斯需要完成一个有限的任务（到达前一个点），但这个任务的完成又创造了一个新的、更小的任务。问题在于，尽管这些任务的数量是无限的，但每个任务所代表的距离和所需时间都是有限的。
2. 忽略了“无穷级数求和”的收敛性： 这是最核心的原因。在现代数学出现之前，人们很难理解和接受“无限个有限项相加可以得到一个有限的数值”。芝诺的论证似乎暗示，无限个时间间隔相加必然导致无限的总时间，或者无限个距离分割必然导致无限的总距离。
3. 直观与数学的脱节： 我们直观地知道，一个快速跑者最终会追上一个慢速爬行的乌龟。我们的经验告诉我们这是可能的。但芝诺的逻辑却推导出相反的结论。这种直观感受与逻辑推导之间的矛盾，使得悖论令人不安。
4. 关于“无限”的理解问题： 在芝诺的时代，“无限”更多地是一种抽象的哲学概念，而不是一个可以进行严谨数学运算的对象。芝诺的悖论正是利用了人们对“无限”概念的不确定性和混淆。
如何用更现代的“逻辑”和数学来“推翻”它？
虽然芝诺的悖论对我们对运动和连续性的理解提出了深刻的挑战，但它并不是不可解决的。解决它的关键在于引入了微积分的思想和对无穷级数的理解。
1. 无穷级数的收敛性（微积分）： 这是最根本的解决方式。芝诺将追赶过程分解为一系列时间间隔：
阿基里斯到达乌龟起点所需的时间 $t_1$
乌龟在前一阶段爬行的距离，阿基里斯追赶这段距离所需的时间 $t_2$
乌龟再向前爬行，阿基里斯追赶所需的时间 $t_3$
以此类推，这是一个无穷级数：$T = t_1 + t_2 + t_3 + ...$
在现代数学中，我们可以证明，即使这个级数有无限多的项，但如果这些项以特定的方式递减，它们的和可以是一个有限的数值。
举例说明：
假设乌龟领先阿基里斯10米，乌龟的速度是1米/秒，阿基里斯的速度是10米/秒。
第一阶段：阿基里斯跑10米需要 $10 ext{米} / 10 ext{米/秒} = 1 ext{秒}$。在此期间，乌龟爬行了 $1 ext{秒} imes 1 ext{米/秒} = 1 ext{米}$。
第二阶段：阿基里斯需要追赶这额外的1米。追赶1米需要 $1 ext{米} / 10 ext{米/秒} = 0.1 ext{秒}$。在此期间，乌龟又爬行了 $0.1 ext{秒} imes 1 ext{米/秒} = 0.1 ext{米}$。
第三阶段：阿基里斯需要追赶这额外的0.1米。追赶0.1米需要 $0.1 ext{米} / 10 ext{米/秒} = 0.01 ext{秒}$。在此期间，乌龟又爬行了 $0.01 ext{秒} imes 1 ext{米/秒} = 0.01 ext{米}$。
总时间 $T = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ...$
这是一个首项为1，公比为0.1的等比无穷级数。其和为：
$T = frac{ ext{首项}}{1 ext{公比}} = frac{1}{1 0.1} = frac{1}{0.9} = frac{10}{9} ext{秒}$。
在 $frac{10}{9}$ 秒后，阿基里斯恰好追上了乌龟。
2. 连续性而非离散性： 悖论将连续的运动过程强行分解为离散的点和时间间隔。但实际上，时间和空间都是连续的。阿基里斯的运动不是一系列孤立的步骤，而是一个平滑的、不间断的过程。在任何一个给定的时间点，阿基里斯都在一个明确的位置上，并且他在不断地接近乌龟。
3. 实际运动的分析（数学模型）：
我们可以用函数来描述他们的位置：
设阿基里斯的起始位置为 $x_A(0) = 0$
设乌龟的起始位置为 $x_T(0) = D$ (领先距离)
阿基里斯的速度为 $v_A$
乌龟的速度为 $v_T$ ($v_A > v_T$)
他们的位置随时间 $t$ 的变化可以表示为：
$x_A(t) = v_A cdot t$
$x_T(t) = D + v_T cdot t$
阿基里斯追上乌龟意味着他们的位置相同：
$x_A(t) = x_T(t)$
$v_A cdot t = D + v_T cdot t$
$v_A cdot t v_T cdot t = D$
$(v_A v_T) cdot t = D$
$t = frac{D}{v_A v_T}$
这个公式给出了一个有限的、明确的时间值，表明阿基里斯确实会在某个时刻追上乌龟。这个公式是通过对运动过程进行整体的数学建模得出的，而不是通过芝诺式的无限分割来推理。
为什么仍然有哲学上的意义？
尽管现代数学解决了阿基里斯追赶乌龟的具体数学问题，但这个悖论仍然具有深刻的哲学意义：
对无限的直观理解挑战： 它迫使我们思考“无限”的本质，以及我们如何才能在逻辑上处理它。
连续性与离散性的讨论： 它引发了关于现实世界是连续的还是由离散的单位构成（例如，量子理论中的量子）的讨论。
语言和概念的局限性： 悖论揭示了语言和日常逻辑在描述复杂数学和物理现象时的局限性。
思维的严谨性： 芝诺的悖论是哲学史上推动逻辑和数学发展的催化剂之一，它鼓励人们更加严谨地思考概念和论证。
总结：
阿基里斯和乌龟的悖论确实不能用我们日常的、基于有限步骤的“常规逻辑”直接推翻。芝诺的论证在表面上是自洽的，因为它利用了无限分割和人们对无限概念的不理解。
然而，一旦我们引入了现代数学的工具，特别是关于无穷级数收敛性的概念和连续性原理，这个悖论的逻辑链条就被打破了。我们可以通过数学模型精确计算出阿基里斯追上乌龟所需的时间。因此，从数学和物理学的角度看，悖论是可以解决的。
尽管如此，这个悖论依然是一个极具启发性的哲学思想实验，它让我们对运动、时间和无限的本质有了更深刻的认识，并推动了逻辑学和数学的发展。
网友意见
简单，一看就懂。
先说一个老段子。
老板问顾客：“披萨切成6块，还是12块？”
顾客说：“6块吧，12块我怕吃不完”
分割线………………………
我补充一下段子，假设顾客每吃到还剩最后一块，就把剩下那一块披萨分成6份，那顾客永远吃不完披萨，但顾客吃不完不代表会被撑死。（这里其实就隐藏了一个条件，只要你不把现有的披萨吃完，那你每一个过程都不可能把披萨吃完）
乌龟被追上所需要的时间就是这块披萨。
虽然你可以把这段时间无限分割。但它的大小是不变的。
这个悖论就等于我让你从1数到2
你就数，1，1.8，1.87，1.876，1.8765…
然后你告诉我，1永远数不到2。
假设阿基里斯追上乌龟需要100秒。
你就在那里念叨：
第1秒他没追上
第2秒，他没追上
第3秒，他没追上
第3.4秒，他没追上
第4.7秒，他没追上
…
你可以无限描述下去。只要你不说到100秒就行。（隐藏的限定条件，只要你在没追上乌龟，你任何一个连续的过程都不可能追上乌龟）
阿基里斯每到达一个点，乌龟都向前走了一定的距离。
实际上，就是在描述没追上时的情形。
等于在告诉你，这100秒怎么过的。并且无限细分。
实际上，阿基追上乌龟这一完整事件的描述应该为：
当时间未到达100秒时。
阿基每走到乌龟到达过的地方，乌龟都向前移动了一段距离，并且乌龟移动的这一段距离小于阿基移动的总距离。
当时间等于100秒时，阿基和乌龟处于同一位置。
当时间大于100秒时。
乌龟每到达阿基到达过的位置时，阿基都向前移动了更远的距离。
悖论产生的原因就是它只摘取了其中一段进行描述。
分割线…………………………
更新：评论区老哥有疑问，我多说一点。
提问者要从逻辑上推翻，不涉及微积分。
其实“阿基每到达乌龟走过的位置，乌龟都向前走了一段距离”
这个描述其实就是限定在乌龟没被追上的时候。
既然已经限定了，那当然是无法得出结论阿基能追上乌龟的。
就好比我把一个物理系统的一部分单独拿出来，轻松就能造出永动机。
这句话翻译过来的意思就是，当阿基没追上乌龟的时候，阿基永远追不上乌龟。甚至都可以把距离和速度都排除在外不用管。
换个角度来说。10除以3，等于3.33333………
这个数字是无限长的，但是大小是固定的。并不能因为小数点后面有无数个3，就说它是无限大的。它实际上还是数轴上一个确切的点。
所以阿基追上乌龟的实际时间是确定的，设为t。逻辑上你不能因为存在一个无限接近t但不等于t的数值存在，就说t永远不能到达（微积分里的情况这里不讨论）。这就是悖论所在。
实际上，阿基每到达一个乌龟所到达过的位置。
这个动作重复次数越多，你得出的时间值就越接近t。
相当于就在运算一个无限接近t值的数值。
就等于把3.3333...往后多写了好几位。
或者你也可以理解为把π值往后多算出了几位。
但是π的大小同样是固定的，你不能因为它后面的小数无限多，就说它无限大。它仍旧是个静态的数字，不是动态的。
所以，整个描述就是在运算一个“仅小于t的值”。限定条件已经给出了小于t。
换言之，它就是在对t做无限分割。切披萨的问题。
因为很简单就能得出，当时间小于t时。阿基到达的任一一点，都是乌龟曾经到达过的。
所以“当阿基到达乌龟曾经到过的点时”这个前半句是没有意义的。因为每个点都是乌龟曾经到过的。
那你就可以推论出：阿基无论到达哪个点，乌龟都会向前走一段距离。
这时候，限制条件就出来了。你会发现，当阿基追上乌龟之后，这个描述就不适用了。
因此，从逻辑上来说，它隐藏了一个限定条件：“在阿基追上乌龟之前”
给一个限定条件做无限分割。我们可以轻易写出许多跟这一悖论差不多的悖论。
比如刚刚提到过的π，我们可以说圆不存在。或者说π等于4。网上随便搜一下应该都有证明。
圆上的任意相连的三个点都不在同一条直线上，又因为任意两个点的连线肯定是条直线。
所以任意3个相邻的点，无限放大后，都是一个角。因此圆不存在，应该叫正多边形，或者叫正无限边形。
另外一个无限的分割法：圆的任意一段，越放大，曲率越小，越接近直线。无限放大后，圆其实就是由直线组成。所以不能算圆，应该是正多边形。
其实这又涉及到另外一个数学理解：相邻点无法描述。
比如我们知道数轴是连续的，给出一个B点。设A点和C点是紧挨着B点的两个点。
即A仅小于B，B仅小于C。
实际上这里就是矛盾的。如果A点C点存在，那就证明ABC之间无法再分割，那就不符合数轴可以无限分割。如果A，C不存在，又违背了数轴是连续的。
所以阿基追乌龟的悖论。实际上是在运算无限接近于t的值。而这个值无法用逻辑表述。
微积分去解释这个悖论，无形中也是用了人为规定去解决这个逻辑。
无限分割和连续的矛盾，才是根源。
在我看来，这类问题都只是指出了自然语言讨论抽象概念的无力。
无限这个词，里面坑多到能发展出来新学科。
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