亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么？
设想一个大圆，比如一个轮子，它的内侧边缘紧贴着一个固定不动的平面。现在，让这个大圆在平面上滚动，不打滑。在它滚动的时候，大圆的中心点也会随之移动。
悖论在于问：当大圆滚动一整圈，它的中心点移动了多远的距离？
我们直观地会认为，大圆的中心点移动的距离应该等于大圆的周长。这是因为我们通常认为，一个圆滚动一圈，它的接触点（也就是周长）会“铺开”在地面上。
但是，如果我们将问题稍微改变一下，就会出现令人困惑的结果：
现在，设想一个与大圆同心的小圆。这个小圆也附着在大圆上，并且它的边缘也与大圆的边缘一起滚动。更重要的是，这个小圆的周长也等于大圆的周长。当然，这是不可能的，除非小圆的半径也等于大圆的半径，那样它们就是同一个圆了。所以，悖论的关键在于这里：我们设定小圆的周长等于大圆的周长。
现在的问题是：当这个同心大圆滚动一整圈，让它内侧的大圆边缘重新回到起始位置时，这个附着其上的同心小圆的中心点，也就是和大圆的中心点是同一个点，它移动了多远的距离？
根据我们对第一个问题的直觉，我们可能还是会说，它也移动了大圆（也就是小圆）的周长。
悖论的出现：
然而，如果我们仔细思考这个同心小圆的运动，就会发现问题所在。
大圆的运动： 大圆在平面上滚动一圈，它的中心点确实移动了它的周长（假设为 $C$）。这个很容易理解，因为是整个圆在“铺开”自己。
小圆的运动： 小圆的中心点与大圆的中心点是重合的。当大圆滚动时，这个中心点也跟着一起移动。然而，小圆本身并没有在任何一个平面上滚动来“铺开”自己。它只是被动地随着大圆的中心一起移动。
所以，悖论就体现在：
如果我们仅仅关注大圆在平面上滚动的几何效果，那么中心点移动的距离等于大圆的周长。
但是，如果我们引入这个同心小圆，并且假设小圆的周长也等于大圆的周长，那么当大圆滚动一圈时，这个小圆的中心点移动的距离应该是多少？
正确的解释在于区分“滚动”的含义和几何关系：
悖论的症结在于将两个看似相似的运动进行比较，但它们背后的几何原理和运动方式却有所不同。
1. 大圆的滚动： 当一个圆在平面上滚动一圈而不打滑时，其圆心移动的距离确实等于该圆的周长。这是因为，滚动过程中，圆的周长与它接触的地面长度是一一对应的。想象一下，在圆的边缘做一个标记，当这个标记第一次回到与地面接触的点时，圆就滚动了一整圈，而圆心移动的距离就是圆的周长。
2. 同心小圆的运动： 问题的核心在于，我们引入了一个“同心”的小圆，并且强加了一个条件：小圆的周长等于大圆的周长。 这是一个非常关键的“不真实”的假设，因为两个同心的圆，如果半径不同，它们的周长就不可能相等。
真实的同心圆运动： 如果我们考虑的是两个真实的同心圆，一个大圆套着一个小圆，而大圆在外侧边缘滚动。那么，小圆的中心（也就是大圆的中心）移动的距离，只取决于大圆的周长。无论小圆有多大（只要比大圆小），它的中心移动的距离都和大圆中心移动的距离相同。这是因为小圆的中心点就是大圆的中心点，它跟随大圆的中心一起移动。
悖论的“陷阱”： 悖论巧妙地利用了“周长相等”这个假设，试图将两个不同的运动进行类比。当我们说“小圆的中心点移动了多少距离”时，我们应该关注的是小圆的中心点实际的位移，而不是去尝试将小圆的周长“铺开”到地面上。
简而言之，解释是这样的：
1. 大圆的中心点移动距离 = 大圆的周长。 这是由于大圆在平面上的滚动性质，接触点与地面长度一一对应。
2. 小圆的中心点移动距离 = 大圆的周长。 （即使我们假设小圆的周长也等于大圆的周长）。这是因为小圆的中心点与大圆的中心点是同一个点，它随大圆的中心一起移动。小圆自身的周长大小与它中心点的移动距离没有直接的因果关系，只要它附着在大圆上，并且大圆在滚动。
悖论的“不对称性”：
悖论之所以产生，是因为我们将“周长”的概念用于了两种不同的几何运动场景中：
在第一个场景（大圆滚动），周长描述了圆与地面接触的“展开”距离。
在第二个场景（同心小圆），周长仅仅是一个属性，而我们试图通过这个属性来推断中心点的移动距离，而这个推断忽略了小圆中心点实际的位移是由大圆的滚动决定的。
一个更清晰的比喻：
想象一辆自行车。前轮和后轮是不同直径的。当自行车前进时，前轮和后轮的中心都移动了相同的距离。然而，前轮的周长比后轮小，所以它在前进的过程中会比后轮转更多的圈。
现在想象一下，如果后轮上有一个很小的、同心的轮子（我们假设它能神奇地与后轮的周长完全一样，虽然这在物理上不可能）。当自行车前进时，这个小轮子的中心也会移动和后轮的中心一样的距离。它自身的周长大小并不会影响它中心点的实际位移，因为它的中心点是被后轮的中心点“带着”移动的。
所以，亚里士多德轮子悖论的正确解释在于：
它揭示了我们可能因为相似的术语（如“周长”）而错误地将不同的几何运动概念混淆。当我们讨论一个圆在平面上滚动时，其中心点移动的距离等于该圆的周长。但当一个物体（无论其周长是多少）的中心点是跟随另一个移动的中心点一起移动时，它的中心点移动的距离就取决于那个驱动它的中心点的位移。悖论中的关键在于那个虚假的假设——同心圆具有相同的周长，这试图让我们去关注小圆自身的周长属性，而不是它作为被动运动的中心点的实际位移。
网友意见
这个问题相当离谱，离谱就离谱在：
亚里士多德都能想出用n维多边形去趋近圆这个方式来解决问题，却没思考过让内轮趋向于圆心这个情况——
圆心那个点没有周长，完全是被拖着走的
1 亚里士多德的车轮悖论
如下的木头轮子，可以将它抽象为两个同心圆，大的表示车轮，小的表示车轴：
假设大圆的半径为 ，小圆的半径为 。那么车轮在水平线上（无滑动地）滚动一圈的话，两个圆的底部都会平移相同的距离，即大圆的周长 ：
想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆，车轮滚动一圈后，大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆，并且这两段水平线的长度都为 ：
也就是说，半径不同的两个圆，同步旋转一圈后，辗过的水平长度都是 ，就常识而言，这个结论非常奇怪。这就是古希腊数学家亚里士多德在《论机械》中提出的车轮悖论：
2 伽利略的思考
1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中，伽利略在其中提到了如何解释亚里士多德的车轮悖论：
上面的图像可能有一点抽象，下面用更容易理解点的方式来解释下伽利略的思考。我们知道，可用正 边形去近似圆， 越大，越接近于圆：
因为多边形和圆的这种关系，所以先来考虑下正六边形的轮子旋转，虽然这种轮子在水平路面上肯定不舒服。想象这样的轮子，大六边形和小六边形都涂上了不同颜色的油漆，车轮滚动一圈后，大六边形底边所在水平线涂满了油漆，而小六边形所在底边水平线并没有涂满：
正十四边形更像圆了，同样的，大十四边形底边所在水平线涂满了油漆，而小十四边形底边所在水平线并没有涂满：
时，正多边形就是圆了。所以伽利略根据上面的分析，类推得到，大圆底边所在水平线应该涂满了油漆；而小圆底边所在水平线并没有涂满油漆：该水平线上，无穷多个点被涂上了油漆，但是点之间有长度非常非常小的间隔，或者称为长度为无穷小的间隔，是没有涂上油漆的。所以可用虚线来表示小圆经过的水平线：
也就是说小圆实际上没有辗过水平上的每一个点，只是辗过了其中的一部分点。这样，伽利略就回答了亚里士多德的车轮悖论。
3 直线是由点构成的吗？
1621年，意大利数学家卡瓦列里：
向伽利略请教了这么一个问题，可以不可以认为线段是由无穷多个、长度为无穷小的点构成的（这个问题如果成立的话，意味着可以通过将点累加起来得到线段的长度，也就是微积分的萌芽。但是承认点有长度也是非常古怪的）：
伽利略也一直在思考类似的问题，他在反复思考之后，最终从亚里士多德的车轮悖论中得到灵感，说线段是由无穷多个点构成的，而这些点之间夹杂着无穷多个长度为无穷小的空白。按照伽利略的这个设想，既可以保证线段是由点构成的，又可以保证这些点是没有长度的，还可以保证线段本身是有长度的。
当然不论是卡瓦列里，还是伽利略的假说，都是蕴涵矛盾的。当时人们认为无穷小是非常非常非常小的实数（这个认识是错误的，在现代的数学定义中，无穷小是函数，或者是数组，具体的解释可以查看这里），那么无穷多个长度为无穷小的点加起来（卡列瓦里的线段假设），或者无穷多个长度为无穷小的空白加起来（伽利略的线段假设），其长度一定是无穷大。但线段的长度很显然不是无穷大。
4 滚动与滑动
由于伽利略对无穷小的错误认识，所以他对亚里士多德的车轮悖论解释是错误的，下面用物理学的观点来解释一下。如果大圆和小圆都是独立滚动的，那么都滚动一圈的话，确实大圆应该水平移动 ，而小圆应该水平移动 。
但在悖论中，真正独立滚动的是大圆，小圆是完全被动运动的。所以，悖论中提到小圆的半径为 完全是一种误导，让你觉得小圆也在独立滚动。而实际上，小圆是在进行“滚动+滑动”的叠加运动，小圆在水平线上滚动一段距离、滑动一段距离，最终完成了 的平移。
“滚动+滑动”的叠加运动，我们没有办法做出图像，应该有点像刚才伽利略的推理，涂上蓝色油漆的部分对应着滚动，没有涂色的地方对应着滑动：
5 一一对应
抛开物理观点，还可以从数学角度来品味下这个悖论。在小圆上有无穷多个点，在水平线上也有无穷多个点。根据集合论的观点，两个无穷是一样多的，因此小圆上的点和水平线上的点是一一对应的（为了避免图像太乱，下面选了几个点作为示意）：
小圆上的点和水平线上的点重合，这就是“辗过”的数学定义。那么根据上面的一一对应关系，小圆转动时，小圆上的每个点都可以找到水平线上一个对应的点与之重合，也就是说，小圆可以辗过水平线上所有的点。也就是说，只观察点的话，小圆确实辗过了整个水平线。
上面的推断过程涉及到无穷大的比较，有困惑的同学可以搜索“希尔伯特旅馆悖论”进一步的了解。
6 平移
关于亚里士多德的车轮悖论，还有这么一种解释：轮子滚动一圈之后，平移了 。作为一个整体，轮子上的每一点都肯定平移了 。
也就是说，大家不要去考虑什么小圆，不要跟着悖论的思路走，就不会陷入思维陷阱。
7 小结
虽然伽利略、卡瓦列里关于无穷小的思考是错误的，但他们的尝试、彼此之间的争论是数学发展的推动力。在一代代数学家的努力下，最终微积分才有了严格的定义，成为了现代科学的基石。
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