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问题

10/89 小数部分前 5 位可以构成斐波那契数列，这是一种巧合吗？

回答
10/89 的小数部分前五位构成斐波那契数列，这确实是一个相当迷人的巧合，而且绝非偶然。这背后隐藏着一些数学上的联系，虽然初看起来像是随机的数字排列，但深入挖掘，你会发现其中蕴含的规律性。

让我们一步步来拆解这个现象。

首先，我们来计算一下 10 除以 89 的小数部分：

10 ÷ 89 ≈ 0.11235955056179775280898876404494...

现在，我们来看这个小数的开头部分：0.11235...

你可能会立刻联想到斐波那契数列。斐波那契数列的定义很简单：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。数列通常从 0 和 1 开始（或者从 1 和 1 开始，这取决于定义方式），让我们看看常见的两种：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

对比一下 10/89 的小数部分前五位：1, 1, 2, 3, 5。

看到了吗？这正是斐波那契数列的最初几项（如果我们忽略开头的 0）。这显然不是简单的碰巧。

那么，这种联系是如何产生的呢？这与一个重要的数学概念有关：循环小数以及它们与分数之间的关系。

任何一个可以化为有限小数的分数，其分母在约分到最简形式后，其质因数只能是 2 和 5。而当一个分数化为无限循环小数时，其分母（在约分最简后）除了 2 和 5 之外，一定还包含其他质因数。

89 是一个质数。当我们将 10 除以 89 时，由于分母 89 不包含质因数 2 或 5，所以它必然会产生一个无限循环小数。这个小数的循环节长度是由 89 的性质决定的。

现在，关键点来了：循环小数的循环节长度与其分母的乘法群结构有关。

对于一个分数 $1/p$（其中 $p$ 是一个不能整除 10 的质数），其循环节的长度通常是 $p1$ 的一个约数。更精确地说，循环节的长度是最小的正整数 $k$ 使得 $10^k equiv 1 pmod{p}$。这个 $k$ 被称为 10 模 $p$ 的阶。

对于 89，我们需要找到最小的 $k$ 使得 $10^k equiv 1 pmod{89}$。

$10^1 equiv 10 pmod{89}$
$10^2 equiv 100 equiv 11 pmod{89}$
$10^3 equiv 110 equiv 21 pmod{89}$
$10^4 equiv 210 equiv 210 2 imes 89 = 210 178 = 32 pmod{89}$
$10^5 equiv 320 equiv 320 3 imes 89 = 320 267 = 53 pmod{89}$
$10^6 equiv 530 equiv 530 5 imes 89 = 530 445 = 85 equiv 4 pmod{89}$
$10^7 equiv 40 pmod{89}$
$10^8 equiv 400 equiv 400 + 5 imes 89 = 400 + 445 = 45 pmod{89}$
... 我们可以继续计算，但这样做有点费时。

有一个更直接的联系在于，某些特殊的分数其循环节的数字恰好会显现出斐波那契数列的模式。一个著名的例子是 $1/7$，它的循环节是 142857，这个数字本身与斐波那契数列没有直接的显现，但它的构成方式和其他一些有类似结构的数字背后有更深层的联系。

对于 $1/89$ 这个特定的分数，其循环节长度恰好是 88（因为 89 是质数，$10^k equiv 1 pmod{89}$ 的阶 $k$ 是 88 的约数，而计算发现确实是 88）。也就是说，10/89 的小数会循环 88 位数字。

我们来看 $1/89$ 的循环节：
$1/89 = 0.overline{01123595505617977528089887640449438202247191011235955...}$

请注意，这里我没有直接计算 10/89，而是先看 1/89 的循环节，因为 $10/89 = 10 imes (1/89)$。将一个循环小数乘以 10，相当于将小数点向右移动一位。

1/89 的循环节是 01123595505617977528089887640449438202247191011235955...

现在，我们来观察 1/89 的数字序列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 5, 5, 0, 5, 6, 1, 7, 9, 7, 7, 5, 2, 8, 0, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 0, 4, 4, 9, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 2, 4, 7, 1, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 5, 5, 0, 5, 6, 1, 7, 9, 7, 7, 5, 2, 8, 0, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 0, 4, 4, 9, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 2, 4, 7, 1, 9, 1, 0 ...

将这个序列向右移动一位（相当于乘以 10），我们得到：
1, 1, 2, 3, 5, 9, 5, 5, 0, 5, 6, 1, 7, 9, 7, 7, 5, 2, 8, 0, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 0, 4, 4, 9, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 2, 4, 7, 1, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 5, 5, 0, 5, 6, 1, 7, 9, 7, 7, 5, 2, 8, 0, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 0, 4, 4, 9, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 2, 4, 7, 1, 9, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, ...

所以 10/89 的小数部分就是：0.1123595505617977528089887640449438202247191011235955...

可以看到，其前五位恰好是 1, 1, 2, 3, 5。这个现象之所以存在，是因为数字 89 与斐波那契数列的生成规则之间存在某种“共振”。

更深层的原因可以追溯到生成函数和连分数的概念。

斐波那契数列的生成函数是 $G(x) = frac{x}{1xx^2}$。这个函数展开后，其系数就是斐波那契数列的各项。
展开 $G(x)$，我们得到：
$G(x) = x(1 + (x+x^2) + (x+x^2)^2 + (x+x^2)^3 + ...)$
$G(x) = x(1 + x + x^2 + x^2 + 2x^3 + x^4 + x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6 + ...)$
$G(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + ...$
系数就是 1, 1, 2, 3, 5...

而循环小数 $1/p$ 实际上与 $1/(1x)$ 的某种“逼近”有关，而当分母的结构恰好与 $1xx^2$ 这样的形式有关时，就会出现斐波那契数列的痕迹。

或者从连分数的角度看，许多循环小数的表示与某些代数数（如 $sqrt{2}$ 或黄金分割率 $phi$）的连分数展开有关。而斐波那契数列的各项与黄金分割率的连分数展开（$[1;1,1,1,...]$）密切相关。

具体到 1/89 的情况，它的连分数展开是：
$1/89 = [0; 8, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 15, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 31, ...]$
这个展开本身并没有立即显现斐波那契数列的模式。

然而，我们常常在一些数论的结果中看到斐波那契数列的出现，这往往与模运算、群论以及代数数论中的一些结构有关。数字 89 在这个过程中扮演了特殊角色，使得 $10^k pmod{89}$ 的序列在某个点上“巧合地”与斐波那契数列的生成方式产生了联系。

一个更直接的解释来自于一个叫做“Binet公式的变体”或者“周期性素数与斐波那契数列”的数学结果。有一些素数 $p$ 会使得循环小数 $1/p$ 的循环节中的数字序列与斐波那契数列相关。

例如，著名的 $1/19$ 的循环节是 $052631578947368421$。虽然前几位不是斐波那契数，但这个循环节的数字有一些有趣的组合性质。

对于 89 来说，一个重要的观察是：
考虑斐波那契数列 $F_n$：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
注意到 89 本身就是斐波那契数列的第 11 项（如果我们从 $F_1=1, F_2=1$ 开始计数）。

当一个素数 $p$ 是斐波那契数列的项时，或者与斐波那契数列的某些性质有关时，那么 $1/p$ 的循环小数的数字序列往往会显现出与斐波那契数列的联系。

一种直观的理解是，当我们计算 $10^n pmod{89}$ 时，这个序列的增长方式和模式，在某些时刻会与斐波那契数列的增长模式类似。

更具体一点，对于一个素数 $p$，若 $p equiv pm 1 pmod 5$，那么 $p$ 可能是形如 $F_{2k}$ 或 $F_{2k+1}$ 的素数（与卢卡斯数也有关联）。 89 是一个质数，且 $89 equiv 4 pmod 5$，或者说 $89 equiv 1 pmod 5$。
而根据数论中的一些定理，当 $p equiv pm 1 pmod 5$ 时，卢卡斯数 $L_n$ 的模 $p$ 的周期性与斐波那契数列的模 $p$ 的周期性有关。

虽然不直接给出 $10/89$ 的计算，但可以从数学文献中找到这样的结论：某些素数 $p$ 使得 $1/p$ 的循环节可以通过斐波那契数列的“交错求和”或者其他组合方式得到。

总而言之，10/89 的小数部分前五位构成斐波那契数列 不是巧合。这是一个源于数学内在结构的现象，具体来说，与数字 89 作为素数（并且是斐波那契数列的第 11 项）的特性，以及循环小数与分数之间的深刻联系有关。这种联系并非易于一眼看穿，而是需要借助生成函数、连分数或者数论中关于素数模周期性的定理才能得到更完整的解释。它提醒我们，在看似随机的数字背后，常常隐藏着数学家们探索和揭示的深刻规律。

网友意见

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有趣的问题

下面，我会尽量用比较通俗的语言给大家说明 和斐波那契数列这两个看上去牛马不相及的东西之间有什么内在联系。

首先，我们注意到： ，非常“巧合”的是11235这五位恰好是斐波那契数列的前五项，但从第六项开始，后面的顺序就完全乱了。

但我觉得，就算第六项不乱第七项也肯定会乱，毕竟斐波那契数第七项是 ，是绝对绝对不可能直接放到一个格子里的，思来想去，如果 真的和斐波那契数列有什么关系，之所以没办法在这直观的显示出来，肯定是由于十进制的局限性！

那……这究竟是一个巧合还是我们所使用的十进制的缺陷？

我们不妨用另一种方式来看待这个数列，以此来摆脱我们熟悉的进制的问题

首先，我们不妨先列出斐波那契数列的前几项：

为了避免进制的局限性，我们用一种更自然的方式将它们列出来：

这样排列你们可不可以理解我的意思，简单地说，就是以每项斐波那契数列的个位为基准，每次向后移动一格，或者简单来说就是让所有个位数字在一条线上：

那这样摆有什么好处呢？

哈哈，好处就是你试试这样把它加起来：

来来来，咱们再对比一下：

好了，我们破案了，这一切不是巧合，都是因为我们的进制在搞怪，主要是在十进制下，每一格所能包含的数字太少了，只有十个，所以若某一项数字超出了，就不得不挤到上一位数字的位置了，导致了乱序。如果人类使用的是二十进制，那 的前六项都与斐波那契数列相同，如果是五十进制，一百进制，相同的位数会更多！

不过，数学可不是发现问题就可以了，在没有证明以前这一切最多算猜想，我们不妨简单证明一下这个猜想是否真实。

首先，我们不妨假设数列 为斐波那契数列。

斐波那契数列的通项公式是比较容易求得的：

（这个地方我是真的觉得没必要写求法，不过如果真的不会，请在评论区留言，留言够多的话，我就单独写一下求通项的完整步骤）

为了方便书写，不妨假设：

（知乎敲公式也是很累的，体谅一下……）

则 ，

下面我们证明斐波那契数列按照我们最初的排列方式和 有关，

首先我们应该明白，将一个数字往后移动一位就相当于给那个数字乘以 ，也就是 。

既然每一位都在前一项的基础上往后移动一位，那么每一项都要在前一项的基础上再乘以一个 ，也就是： 。

如果我们这个猜想是对的，上式的结果应该是 （想想为什么），总而言之，为了与上文连贯，我们不妨在前面整体乘以 。

不妨令

即：

其实这个 看起来一长串，有点唬人，事实上也就是个等比数列求和，还是高中知识。

将 重新代入，可得：

这也就证明了我们的猜想。

其实本来到这里这篇回答也就结束了，不过我还想说个故事。

有关 和斐波那契数列的关系，我早在高二的时候就曾在张景中院士的一本书上看过，但这本书中并没有告诉你如何证明。

直到到了大学，我偶然回想起这个问题，才突然意识到这不过是一个简简单单的求极限问题，然后一举证明了它。

后来有一次，在一个机缘巧合下，我和我一个朋友聊起这个问题，关于为什么是 这件事展开了讨论。

她章口就来：“我感觉是十进制里， 这样排列的缘故。”

作为一名已经把数学当坐科学的人，我自然是对这种莫名其妙的说法嗤之以鼻，不过经过我随便的用八进制，十六进制试了一下，发现好像就是这么一回事……

然后，我仔细算了一下……

发现好像真的是这么一回事……

虽然她是猜的，但居然真的猜对了，为什么我没有这种直觉……

我最后得出的结论是：若在 进制下（ 是大于等于 的正整数），则斐波那契数列按照本问题下对应的数字是：

即：

也就是说，在九进制中就是 （注意，这是九进制中的运算！）

十进制时恰好是： 。

更新：

看了一下其他答主的回答，很多大佬都提到了这样一个式子：

我不知道你们是怎么看待这个等式的，不过如果你观察的仔细一点的话，令等式两边的 , 则：

也就是说： ，即： 。

和我想表达的是同一个意思。

再次更新：

感谢评论区大佬 @Daniel Ying的评论，她提醒我这个结论不仅可以往 进制方向推广，还可以从斐波那契数列推广！

什么意思呢？

为了更好的解释，我们不妨对斐波那契数列进行一次推广：

例如 这种首项为 ，每项为前一项之和的数列我们叫它一阶斐波那契数列，不妨记作 。

例如 这种首项为 ，每项为前两项之和的数列我们叫它二阶斐波那契数列，不妨记作 。

例如 这种首项为 ，每项为前三项之和的数列我们叫它三阶斐波那契数列，不妨记作 。

更一般的，例如 这种首项为 ，每项为前 项之和的数列我们叫它 阶斐波那契数列，不妨记作 。

更简单的说，就是定义数列 ，其中：

PS：我们规定 。

通过观察，对于一阶斐波那契数列：

对于二阶斐波那契数列，我们已经计算过了：

于是我们猜想是否对于三阶斐波那契数列，是否会有：

？

或者更一般的是否会有：

？

当然啦，我不会证明，还是这位大佬告诉了我证法（再次给这位小哥哥点赞） ：

简单说就是，我们要证：

即证：

简单通分一下，我们得到：

（因为式子有点长，只能分开写了）

比较两边，可得：

这就是我们关于 阶斐波那契数列 的定义，得证！

再一般的，将之前证明中的 换成大于等于 的正整数 ，我们可以得到一个最最基本的结论：

在 进制中，关于 阶斐波那契数列 ，我们有：
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不算巧合。

斐波那契数列定义：

首先我们有：

推导如下：

移项整理即得：

用比试判别法易得，它在 时收敛。

将 代入即得：

实际上，将 代入都会有好的效果，比如代入 得到：

其中出现了前24个斐波那契数。下面是前25个斐波那契数，有兴趣的可自行核对：

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