为何要引入同伦群，同伦群可以解决什么问题？
想象一下，我们想区分两个形状，但仅仅看它们的“样子”有时是不够的。比如，一个圆环和一个没有洞的球体，它们在拓扑学的意义上是完全不同的，尽管你可能觉得它们“都挺圆的”。这时，我们就需要更精妙的工具来刻画这些形状的本质区别，而同伦群正是这样一种强大的工具。
简单来说，同伦群（Homotopy Groups）是代数拓扑学中用来研究空间（比如图形、曲面等）的“洞”的性质的一种代数不变量。它们将拓扑学的问题转化成了代数问题，使得我们可以用群论的语言来描述和区分不同的拓扑空间。
为什么需要同伦群？仅仅看“洞”还不够吗？
我们知道，诸如基本群（Fundamental Group）这样的工具，能够捕捉到空间中“一维”的洞，比如圆环表面的“洞”。它通过研究空间中所有闭合曲线（起点和终点重合的路径）的等价类来工作。如果一个空间里有一条“绳子”可以被拉伸成一个点，那么这个空间的“洞”就和空集一样。
然而，世界远比一维的洞要复杂。考虑一个三维空间中的球体，它的表面是二维的。基本群只能告诉我们，在这个球体的表面上，任何闭合曲线都可以被收缩成一个点。这说明球体表面没有“一维”的洞。但球体表面还有其他更“高维”的结构。
假设我们要区分一个二维球面（比如一个气球的表面）和一个三维空间。
基本群 在这两个空间上都是平凡的（也就是只有一个元素，表示“收缩成一点”）。这说明仅凭基本群，我们无法区分它们。
更高维的“洞”： 想象一下，在球体的表面上，我们可以画一个圆。这个圆可以被拉伸成一个点。但是，如果我们试图在球体表面画一个“环面”（torus）的形状，比如一个甜甜圈的形状，我们发现它无法被收缩成一个点。这个“环面”的形状就代表了球体表面一个“二维”的洞。
这正是同伦群派上用场的地方。同伦群，特别是更高伦群 (Higher Homotopy Groups)，用来研究高维的“洞”。
同伦群究竟是研究什么的？
我们以第 n 同伦群 ($pi_n(X)$) 为例。简单来说，第 n 同伦群研究的是从 n 维球面 ($S^n$) 到我们感兴趣的空间 $X$ 的映射的等价类。
n 维球面 ($S^n$): $S^0$ 是两个点， $S^1$ 是圆， $S^2$ 是我们熟悉的球面， $S^3$ 是三维球面，以此类推。
映射: 就是把 $S^n$ 上的点对应到 $X$ 上的点。
同伦等价: 两个映射被称为同伦等价，如果一个可以连续地变形到另一个，就像你用手捏橡皮泥一样，变形过程中不撕裂、不粘连。
第 n 同伦群 $pi_n(X)$ 的元素，就是将 $S^n$ 映射到 $X$ 的所有连续映射的同伦等价类。
举例说明：
1. $pi_0(X)$ (零同伦群)：
研究的是空间 $X$ 的连通分支的个数。
你可以理解为，有多少个“孤立的”部分。
对于一个道路连通的空间， $pi_0(X)$ 是平凡的，只有一个元素（表示所有的点都可以互相到达）。
2. $pi_1(X)$ (基本群)：
研究的是空间 $X$ 中一维的洞。
它包含了从圆 ($S^1$) 到 $X$ 的所有连续映射的同伦等价类。
如果 $pi_1(X)$ 是平凡的（只有单位元），说明空间中没有“一维”的洞，任何闭合曲线都可以收缩成一点。
3. $pi_2(X)$ (二同伦群)：
研究的是空间 $X$ 中二维的洞。
它包含了从二维球面 ($S^2$) 到 $X$ 的所有连续映射的同伦等价类。
例如，我们之前提到的球体表面，它的 $pi_2$ 就不是平凡的，因为它允许嵌入一个“环面”的形状。
4. $pi_n(X)$ (更高同伦群)：
研究的是空间 $X$ 中n 维的洞。
它包含了从 n 维球面 ($S^n$) 到 $X$ 的所有连续映射的同伦等价类。
同伦群能解决什么问题？
同伦群为我们提供了强大的工具来解决以下关键问题：
1. 区分拓扑空间：
最根本的问题。 如果两个空间的同伦群不同（例如， $pi_1$ 不同，或者某个 $pi_n$ 不同），那么它们一定不是同伦等价的，也就不可能是同胚的（也就是不可能通过连续变形互相得到）。
例子：
一个圆环 ($S^1$) 和一个二维球面 ($S^2$)。它们的 $pi_1$ 不同（圆环是无限循环群，球面是平凡群），所以它们不是同伦等价的。
一个二维球面 ($S^2$) 和一个实心球体 ($D^2$)。虽然它们的拓扑性质相似，但它们的同伦群也不同，特别是 $pi_2$。
一个更微妙的例子： 考虑两个三维空间，一个看起来像一个“宇宙飞船”的形状（可能有复杂的内部结构），另一个则简单地是一个三维的“球”。即便它们看起来“都像是三维的”，但它们的同伦群可能会揭示出它们本质上的不同。例如，飞船内部可能有一个“环形”的通道，这会在 $pi_1$ 中体现出来。
2. 理解空间的结构和性质：
同伦群揭示了空间“隐藏”的结构，这些结构无法通过简单的可视化或基本群来捕捉。
例子：
连通性： $pi_0$ 直接告诉我们空间有多少个独立的“部分”。
“洞”的形状和数量： $pi_n$ 告诉我们空间有多少个“n 维的洞”，以及这些洞是如何“缠绕”的。
3. 研究映射的性质：
同伦群可以用来研究两个空间之间连续映射的性质，比如映射是否可以被“拉平”或者“连续地改变”。
例子：
不动点定理： 在某些情况下，同伦群可以用来证明不动点定理，即某个函数至少有一个点是不变的。
纤维丛 (Fiber Bundles)： 同伦群在理解纤维丛的分类中扮演着核心角色。纤维丛是将一个“基空间”通过“纤维”连接起来的结构，在物理学（如规范场论）和几何学中有广泛应用。
4. 解决微分几何和物理学问题：
许多深刻的几何和物理学概念都与同伦理论紧密相连。
例子：
向量丛 (Vector Bundles)： 向量丛的分类与同伦群有深刻的联系。
规范场论 (Gauge Theory)： 在粒子物理学中，规范场论的许多性质可以通过对真空态空间的同伦群的分析来理解。例如，磁单极子的存在性就与某些空间的同伦群有关。
拓扑量子场论 (Topological Quantum Field Theory, TQFT)： TQFT 的数学基础很大程度上建立在同伦论和同调论之上。
为什么需要“群”？
将这些同伦等价类组织成一个“群”是非常重要的，因为群的代数结构提供了强大的工具：
结合律： 两个“洞”的组合（通过连续变形）也必须是“洞”，并且组合方式具有一致性。
单位元： 存在一个“没有洞”的映射，可以与其他任何映射组合而不改变其性质。
逆元： 对于每一个“洞”，都存在一个“反向”的洞，组合起来可以抵消，形成“没有洞”的状态。
这种群的结构使得我们可以进行计算，进行分类，并建立起不同空间之间的深刻联系。
总结
同伦群并非仅仅是抽象的数学概念，它们是我们理解空间本质、区分复杂结构、并解决许多几何与物理学问题的关键。从最基本的连通性，到高维的“洞”，再到物理世界中那些我们看不见的相互作用，同伦群都提供了深刻的洞察力。它们是将我们感知的几何世界与严谨的代数世界联系起来的桥梁。
网友意见
总结一下学了那么久的同伦论吧
- 虽然说代数拓扑学家的梦想是做出同胚分类，但若真的能构造出拓扑的全性不变量（即两个空间同胚当且仅当这个不变量相同），它必定是和拓扑分类一样复杂的东西，难以计算，没有意义。所以研究一个更容易计算的不变量是更切实际的选择，而容易越计算的东西丢失的信息也越多，同伦不变量就是一个non-trivial的平衡点
一.引入同伦群的原因，同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类型，在整个同伦论中，同伦群是同伦论的核心。
同伦群 的定义是 到 的保持基点同伦类
而说到同伦群就不得不说CW复形，是因为我们有下面定理
CW approximation ：对任何空间 ，都有一个CW复形 ，和弱同伦等价 （即诱导所有阶同伦群的同态 是同构）。值得注意：弱同伦等价只是一个连续映射，并不是等价关系
而又有定理告诉我们弱同伦等价诱导任意系数的同调和上同调的同构，这就非常有意思了，同伦群和同调群两大不变量都在弱同伦等价下不变，所以我们只需研究CW复形的同调或是同伦就能很大程度上推广到任意空间
CW复形是一个聚万千好性质于一身的空间，随便列举一下都可以说个两三行：
- 正规（normal）
- 局部可缩（蕴含局部道路连通）
- 任何CW复形 和它的一个子复形 ， 具有同伦延拓性质，即给定空间 和映射 ， 总可以延拓至 。这个性质在延拓问题上有奇妙的作用：
为了延拓至 （让上图交换），只需要在同伦意义下延拓（让上图同伦交换）即可，障碍理论的延拓思路就是如此
为什么说同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类呢？因为我们有下面定理
Whitehead's Theorem：
1.CW复形之间的弱同伦等价是同伦等价
2.若 是CW复形， 是弱同伦等价，那么 诱导的 和 都是双射
我们知道，CW复形是由胞腔堆砌而成，而若解决了最简单的胞腔：球面 的高阶同伦群，就能在一定程度上解决CW复形的同伦群。 的高阶同伦群的计算是一个古老的问题，至今仍未完全解决，Serre在上世纪50年代用谱序列为工具，证明了
球面高阶同伦群 当 时是有限abel群，除了 是偶数且 时，此时 同构于 直和一个有限群
所以我们只需要计算同伦群的素因子。
最新的进展是王国祯教授计算出了60和61阶球面稳定同伦群素数2的因子，证明了61维球面只有唯一的微分结构，并发表在Annals of Mathematics上。对球面同伦群我们还知之甚少，必须发展新的工具才有望解决
二. 高阶同伦群可以看成某个空间的基本群，球面的稳定同伦群
对任意空间 我们有自然同构
所以 ，所以loop space的同伦群相当于都降了一阶
那么
同伦双角锥定理：悬浮映射 是同构当 时，是满射当 时
推论：
时，球面同伦群稳定
三. 为何又要引入谱（spectra）的概念来推广同调理论？
同伦群和同调的关系在很早就被发现：
Hurewicz定理：对于一个 连通（ ）的空间 ，Hurewicz map : 是同构， 是满射。（n连通意思是 ）
这样的联系暗示着同伦论和同调论还有更深刻的联系，每个范畴上我们都可以把空间 到另一个固定的空间 的态射提取出来做出上同调理论，例如de Rham上同调就是在流形的范畴上把光滑函数 提取出来做出的上同调理论。
CW范畴内我们也可以做同样的事情，任意给一个谱： 满足 （ 表示弱同伦等价），我们都有一个CW范畴上的reduced上同调理论
对任给的pointed CW pair ，都有长正和列
当然我们也会得到unreduced上同调理论 （ 表示映射的自由同伦类，即无需保持基点），但在稳定同伦和广义同调理论中，我们通常只关注reduced (co)homology theory，因为由reduced (co)homology theory构成的范畴和unreduced (co)homology theory构成的范畴是范畴等价的
当 时，也就是Eilenberg-Macline spectrum，这时导出的(un)reduced上同调理论竟然和 系数的(un)reduced奇异上同调理论有如下的自然同构
其中 （ 是 中一固定元素）
熟悉范畴的同学就会发现，这是在说奇异上同调 是可表的！
这个定理在障碍理论中起重要作用，而且有很多有趣的结论，例如：
给定CW复形 ，满足 （特别地， 是 连通空间时）
那么
这告诉我们 到 的映射同伦类完全由诱导的同调的同态决定 ：
事实上，谱和（上）同调理论的联系远不止于此，前面提到的奇异上同调 可以由Eilenberg-Macline spectrum表出只是冰山一角，实际上任何cohomology theory都可以由一个谱，这就是Brown表示定理，深刻的揭示了谱和上同调理论的联系。所以研究谱就是在研究上同调理论，两者已是你中有我我中有你，缺一不可。一个non-trivial的例子就是K-theory，以cohomology theory的视角来看K-theory就会发现，Bott周期定理可以用谱的语言来描述：
存在弱同伦等价
这就是Stable homotopy另一个出发点，第一个出发点是原先上文的说到的球面稳定同伦群，通过（球面）谱来研究球面稳定同伦群。那么Stable homotopy的第二个出发点就是研究（上）同调理论，通过谱和谱范畴的同伦不变量来研究（上）同调理论，而stable homotopy的内容实在过于丰富，就此打住。
四. 映射的提升和延拓问题
最后说一说障碍理论，障碍理论完全解决了CW pair 在simple空间 （simple即 道路连通，且 在高阶同伦群 上的作用平凡）上的延拓问题
假设 是simple空间，那么 有principle postnikov tower ，由于 是弱同伦等价，只需将映射延拓到每个 上即可，而延拓至到 的障碍类来自于 ，当每个障碍类都是0时，我们就可以延拓到所有的 上，更多细节可以参考我写的notes
更新：补充一些references
Classical Homotopy Theory :
- Hatcher, Algebraic Topology （几本圣经之一）
- G W. Whitehead, GTM 61 Elements of Homotopy Theory
- Spaniers, Algebraic Topology
Stable Homotopy Theory :
- J.F. Adams, Stable Homotopy and Generalised Homology（经典小蓝本，stable homotopy开山之作）
- Yuli B. Rudyak, On Thom spectra, orientability, and cobordism（非常新的一本stable homotopy教材， 多了很多近二十年来的内容）
- Robert M. Switzer, Algebraic Topology-Homology and Homotopy（学完Hatcher后必看的进阶教材）
类似的话题
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