为什么在运动学中，我们更关心位置的描述而不是轨迹的描述？
在运动学这个物理分支里，我们之所以更侧重于描述“位置”的随时间变化，而不是直接去描绘整个“轨迹”，背后其实有很多深刻的原因。这并非是偷懒或者只看到了事物的表面，而是因为位置的信息，在分析和预测运动方面，提供了更核心、更普适、也更具操作性的工具。
咱们不妨从几个层面来剖析一下：
1. 信息的完备性与效率：
位置信息是轨迹的“基石”： 想象一下，你想要了解一个人一天走了多远，去了哪里。如果你只知道他“一直在走”，或者“兜了一圈”，这信息太模糊了。但如果你知道他在每个时刻（比如上午9点、10点、11点）在哪里（比如家门口、公司、超市），那么你就可以根据这些连续的位置点，自然而然地推演出他走了什么样的路线（轨迹），甚至计算出每段路的距离、方向。 位置数据，尤其是随时间变化的连续位置数据，本身就包含了轨迹的完整信息。
轨迹描述的冗余性： 相反，如果只是给你一堆轨迹数据——比如一段弯曲的曲线，你可能很难从中直接提取出“他在下午2点在哪里”这个关键信息，除非你仔细地在曲线上标记和测量。轨迹本身是连续且可能无限细分的，要完整地“描绘”它，需要大量的信息。而描述好“位置”如何随时间变化，就足够了。
2. 简洁性与普适性：
数学描述的优雅： 在数学和物理学中，我们追求简洁而强大的描述工具。用一个函数 `r(t)` 来表示一个物体在时刻 `t` 的位置向量 `r`，这是一种非常简洁的方式。从 `r(t)`，我们可以通过求导轻松得到速度 `v(t) = dr/dt` 和加速度 `a(t) = dv/dt`。这些都是描述运动状态的关键物理量，而且它们是瞬时的，与物体是否遵循某一特定形状的轨迹无关。
不依赖于“路径”的具体形状： 许多物理定律，特别是牛顿力学的核心，关注的是物体在某一时刻受到的力以及由此产生的加速度。这些定律描述的是“现在”的状态如何影响“未来”的运动，而不关心它“过去”是如何到达现在的位置的。比如，如果你知道一个球在某一时刻的位置、速度和受到的重力，你就能预测它下一刻的位置，而无论它之前是直线飞过来还是抛物线飞过来。位置信息直接与这些基本物理定律挂钩。
3. 预测与控制的能力：
精确预测未来： 知道了物体在某个时刻的位置和速度，并且知道了作用在它身上的力（以及如何随时间或位置变化），我们就能利用运动学方程（或动力学方程）来预测它在未来任何时刻的位置。这种预测能力是工程、航天、游戏开发等众多领域的核心。如果我们的模型只是描述轨迹的形状，而不知道“何时”物体经过了轨迹上的哪一点，那么预测能力就会大打折扣。
控制与导航的基础： 在机器人学、自动驾驶等领域，核心任务是让物体在特定时间内到达特定位置。我们关注的是如何调整控制信号（比如发动机推力、方向盘角度），使得物体的位置能够按照预设的时间位置规划来变化。轨迹可以看作是这种规划的一种表现形式，但最终的目标函数是“在正确的时间到达正确的地点”，这本质上是对位置的控制。
4. 解决问题的角度：
从“状态”到“过程”： 我们可以将物体的“状态”定义为在某一时刻的位置和速度（以及加速度）。运动学方程就是在描述这些状态如何随时间演变。而轨迹，则是这些状态演变过程中，位置在空间中留下的“痕迹”。理解和描述状态的变化，比直接描述痕迹本身，能更深入地揭示运动的本质。
解耦“运动”与“路径”： 很多时候，我们可能只对物体从A点到B点的“位移”感兴趣，而不在乎它走了哪条路。比如，如果你要算从家到公司需要开多久的车，你可能只需要知道家和公司的直线距离（位移），以及平均速度。轨迹的细节（比如绕道了哪里）可能并不影响最终的计算结果。
举个例子来对比：
假设我们要描述一架飞机从上海飞往纽约的过程：
轨迹描述： 我们可以说飞机沿着一条大致的弧线飞行，这条弧线穿过了俄罗斯、加拿大等地。这条线本身就勾勒出了飞机的飞行路径。
位置描述： 我们也可以说：
0小时：飞机在上海浦东国际机场，位置 `(31.14, 121.81)` (经纬度)。
2小时：飞机在哈萨克斯坦上空，位置 `(48.02, 66.91)`。
8小时：飞机在加拿大北部，位置 `(60.72, 97.69)`。
13小时：飞机在纽约肯尼迪国际机场，位置 `(40.64, 73.78)`。
从上面的位置描述，你很容易就能画出轨迹。更重要的是，有了这些离散的位置点，你还能计算出：
每个时间段的平均速度。
飞机在不同时间段的飞行方向。
整个航程的总位移（从上海到纽约的直线距离）。
如果我们需要计算飞机在飞行途中的受力情况（比如风力影响），基于其瞬时位置和速度会更加直接。
总结来说， 在运动学中，我们之所以更关注“位置”如何随时间变化，是因为：
1. 位置信息是轨迹的根本，包含轨迹的一切。
2. 以位置为核心的描述更简洁、更数学化，易于推导。
3. 位置信息直接与物理定律相联系，便于理解和预测运动。
4. 基于位置的描述提供了强大的预测和控制能力，是解决实际问题的基础。
可以说，轨迹是位置变化在空间中的一个“结果”或“表现”，而运动学更倾向于从“原因”（力）和“状态”（位置、速度）来理解和预测这个“过程”。
咱们不妨从几个层面来剖析一下：
1. 信息的完备性与效率：
位置信息是轨迹的“基石”： 想象一下，你想要了解一个人一天走了多远，去了哪里。如果你只知道他“一直在走”，或者“兜了一圈”，这信息太模糊了。但如果你知道他在每个时刻（比如上午9点、10点、11点）在哪里（比如家门口、公司、超市），那么你就可以根据这些连续的位置点，自然而然地推演出他走了什么样的路线（轨迹），甚至计算出每段路的距离、方向。 位置数据，尤其是随时间变化的连续位置数据，本身就包含了轨迹的完整信息。
轨迹描述的冗余性： 相反，如果只是给你一堆轨迹数据——比如一段弯曲的曲线，你可能很难从中直接提取出“他在下午2点在哪里”这个关键信息，除非你仔细地在曲线上标记和测量。轨迹本身是连续且可能无限细分的，要完整地“描绘”它，需要大量的信息。而描述好“位置”如何随时间变化，就足够了。
2. 简洁性与普适性：
数学描述的优雅： 在数学和物理学中，我们追求简洁而强大的描述工具。用一个函数 `r(t)` 来表示一个物体在时刻 `t` 的位置向量 `r`，这是一种非常简洁的方式。从 `r(t)`，我们可以通过求导轻松得到速度 `v(t) = dr/dt` 和加速度 `a(t) = dv/dt`。这些都是描述运动状态的关键物理量，而且它们是瞬时的，与物体是否遵循某一特定形状的轨迹无关。
不依赖于“路径”的具体形状： 许多物理定律，特别是牛顿力学的核心，关注的是物体在某一时刻受到的力以及由此产生的加速度。这些定律描述的是“现在”的状态如何影响“未来”的运动，而不关心它“过去”是如何到达现在的位置的。比如，如果你知道一个球在某一时刻的位置、速度和受到的重力，你就能预测它下一刻的位置，而无论它之前是直线飞过来还是抛物线飞过来。位置信息直接与这些基本物理定律挂钩。
3. 预测与控制的能力：
精确预测未来： 知道了物体在某个时刻的位置和速度，并且知道了作用在它身上的力（以及如何随时间或位置变化），我们就能利用运动学方程（或动力学方程）来预测它在未来任何时刻的位置。这种预测能力是工程、航天、游戏开发等众多领域的核心。如果我们的模型只是描述轨迹的形状，而不知道“何时”物体经过了轨迹上的哪一点，那么预测能力就会大打折扣。
控制与导航的基础： 在机器人学、自动驾驶等领域，核心任务是让物体在特定时间内到达特定位置。我们关注的是如何调整控制信号（比如发动机推力、方向盘角度），使得物体的位置能够按照预设的时间位置规划来变化。轨迹可以看作是这种规划的一种表现形式，但最终的目标函数是“在正确的时间到达正确的地点”，这本质上是对位置的控制。
4. 解决问题的角度：
从“状态”到“过程”： 我们可以将物体的“状态”定义为在某一时刻的位置和速度（以及加速度）。运动学方程就是在描述这些状态如何随时间演变。而轨迹，则是这些状态演变过程中，位置在空间中留下的“痕迹”。理解和描述状态的变化，比直接描述痕迹本身，能更深入地揭示运动的本质。
解耦“运动”与“路径”： 很多时候，我们可能只对物体从A点到B点的“位移”感兴趣，而不在乎它走了哪条路。比如，如果你要算从家到公司需要开多久的车，你可能只需要知道家和公司的直线距离（位移），以及平均速度。轨迹的细节（比如绕道了哪里）可能并不影响最终的计算结果。
举个例子来对比：
假设我们要描述一架飞机从上海飞往纽约的过程：
轨迹描述： 我们可以说飞机沿着一条大致的弧线飞行，这条弧线穿过了俄罗斯、加拿大等地。这条线本身就勾勒出了飞机的飞行路径。
位置描述： 我们也可以说：
0小时：飞机在上海浦东国际机场，位置 `(31.14, 121.81)` (经纬度)。
2小时：飞机在哈萨克斯坦上空，位置 `(48.02, 66.91)`。
8小时：飞机在加拿大北部，位置 `(60.72, 97.69)`。
13小时：飞机在纽约肯尼迪国际机场，位置 `(40.64, 73.78)`。
从上面的位置描述，你很容易就能画出轨迹。更重要的是，有了这些离散的位置点，你还能计算出：
每个时间段的平均速度。
飞机在不同时间段的飞行方向。
整个航程的总位移（从上海到纽约的直线距离）。
如果我们需要计算飞机在飞行途中的受力情况（比如风力影响），基于其瞬时位置和速度会更加直接。
总结来说， 在运动学中，我们之所以更关注“位置”如何随时间变化，是因为：
1. 位置信息是轨迹的根本，包含轨迹的一切。
2. 以位置为核心的描述更简洁、更数学化，易于推导。
3. 位置信息直接与物理定律相联系，便于理解和预测运动。
4. 基于位置的描述提供了强大的预测和控制能力，是解决实际问题的基础。
可以说，轨迹是位置变化在空间中的一个“结果”或“表现”，而运动学更倾向于从“原因”（力）和“状态”（位置、速度）来理解和预测这个“过程”。
网友意见
坐标其实就是轨迹函数的某个离散值。
多数情况下，我们是求不出轨迹函数的解析表达式，只能通过数值解法求离散的函数值。
中学物理涉及的都是很简单的例子，例如自由落体运动的轨迹方程为:
这种情况下，当然是用轨迹方程来描述容易。
然而这类的能求出解析解的简单问题在科研中几乎碰不到。常见的情况是让你求解上百万个原子在相互作用下的运动。
三体问题想要求个解析解都够写三本小说并拿个雨果奖了，别说上百万原子了。这类问题想求解析解几乎是不可能的。
因此，我们只能从 开始，一步步的求 、 、 ....这样离散的数值近似解。
这些离散解，当然就是坐标。
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