你所在的学科或专业领域中，有哪些方面被数学知识深刻地改变了？
在没有系统性数学理论指导的早期，计算机程序的设计更像是一种手艺活，更多依赖于经验和直觉。程序员们可以写出能工作的代码，但很难预测一个程序在不同规模输入下的表现，也难以系统地改进其效率。就像一个厨师知道如何烹饪一道菜，但不知道它需要多少时间才能服务一百个人，或者如何才能在时间更短的情况下让味道更好。
微积分与极限，就像是为算法性能分析引入了“连续性”和“趋势”的概念。在分析一个算法处理数据量增长时的行为时，我们不能一个个去测试，比如处理10个数据、100个数据、1000个数据。微积分提供了一种抽象的工具，让我们能够理解当输入规模“趋向无穷大”时，算法的运行时间或空间占用会如何变化。例如，一个循环结构的算法，其运行时间可能与输入规模n成正比，记作O(n)。这背后的思想，其实就是一种离散的求和，当n很大时，我们可以用积分来近似这个求和，从而得到一个关于n的“平滑”增长趋势。这种对增长率的理解，是判断算法优劣的决定性因素。
离散数学，尤其是图论和组合学，则为我们提供了描述和解决许多计算问题的“语言”和“工具”。
图论：很多现实世界的问题，都可以抽象成图。比如，网络的路由问题（节点是路由器，边是连接），社交网络关系（节点是人，边是关系），甚至是软件依赖关系。图论中的各种算法，如最短路径算法（Dijkstra算法、FloydWarshall算法）、最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）、拓扑排序等，都直接解决了计算科学中的核心问题。过去，这些问题可能只能靠试错或者非常笨拙的枚举来解决，而图论的出现，提供了一种结构化的、高效的解决方法，使得大规模网络的管理、优化成为可能。你可以想象，如果一个地图应用要计算两个地点之间的最短路径，而没有Dijkstra算法，它的效率将不堪设想。
组合学：当我们思考如何高效地排列、组合数据，或者在海量的可能性中找到最优解时，组合学的思想就至关重要。比如，排序算法（快速排序、归并排序）的效率分析，很大程度上依赖于对输入排列组合的理解；旅行商问题（TSP）的NPhard性质，也是组合学研究的结果，它告诉我们对于某些问题，我们可能找不到在多项式时间内解决它的通用算法，从而促使我们转向近似算法或启发式算法。
概率论与统计学：随着数据量的爆炸式增长，如何从海量数据中提取有用的信息，成为了新的挑战。概率论与统计学在机器学习、数据挖掘、信息检索等领域扮演了核心角色。
机器学习：一个机器学习模型，本质上是在从数据中学习一个概率分布或者一个函数。例如，支持向量机（SVM）通过找到最优超平面来分类数据，这个过程涉及到优化理论和概率统计的许多概念。贝叶斯分类器更是直接建立在概率论的基础之上。我们对模型的预测能力、泛化能力的评估，也离不开统计学中的假设检验、置信区间等概念。
随机化算法：有些问题，用确定性算法很难找到最优解，或者效率不高。这时，引入随机性可以设计出更高效的算法。比如，蒙特卡洛方法，通过大量的随机抽样来估计概率或期望值，在模拟、优化等领域有广泛应用。它的正确性与收敛性，都建立在概率论的坚实基础上。
抽象代数与逻辑学：虽然在表面上可能不如微积分或概率论那样直接，但抽象代数和逻辑学为计算机科学提供了更底层的理论支撑。
逻辑学：数理逻辑是计算机科学的基础，尤其是在形式化方法和可计算性理论中。我们如何精确地定义“算法”？什么是“可计算”的问题？什么是“可判定”的问题？这些都离不开逻辑学。图灵机的模型，以及它所揭示的“可计算性边界”，是计算机科学的理论基石，而图灵机本身就是一个逻辑学的产物。此外，逻辑推理在程序验证（证明程序的正确性）、人工智能（知识表示与推理）等领域至关重要。
抽象代数：像群论在密码学中扮演着关键角色，例如公钥加密算法RSA的安全性就依赖于模运算群的性质。有限域（Galois Field）在纠错码（例如QR码、ReedSolomon码）的应用中至关重要，这些编码技术保证了数据在传输和存储过程中的可靠性。
总而言之，数学不仅仅是计算机科学的工具，更是其思想的源泉和理论的骨架。从最基础的算法设计，到最前沿的人工智能和大数据分析，数学都在以一种深刻而系统的方式改变着我们认识和改造计算世界的能力。它让原本模糊不清的“效率”有了量化的指标，让难以捉摸的“智能”有了可计算的模型，让纷繁复杂的问题有了结构化的解决方案。离开了数学，计算机科学就像一个没有定理证明的几何学，或者一个没有物理定律的工程学，将寸步难行。
网友意见
提名哲学
1951年由肯尼斯·阿罗（Kenneth J．Arrow）通过数学证明的“阿罗不可能定理”，在哲学界引发了一场持续了几十年的百家争鸣
阿罗不可能定理讲述了这样一个事实：
如果社会成员数量有限，并且候选偏好大于三个，那么不存在一个非独裁的选举机制，可以将个人偏好“理想地”整合为社会偏好排序
其中“理想地整合”应满足地条件如下：
- 能够做出一个明确的社会偏好排序，不会卡bug（比如出现A>B，B>C，C>A的情况）
- 所有社会成员都同意该观点：不存在另外一个社会偏好排序优于通过该选举机制选出的结果
- 对任意两个候选偏好，如果全体成员都不改变他们各自对这两个候选偏好的排名，那么该偏好在选举结果中的位置也不会改变。即：如果有成员改变了自己的偏好排序，那么没有被他改变的候选偏好，在社会偏好中的排名理应也不受影响
阿罗不可能定理的证明非常多，除了由其本人最早于1951年提供的证明[1]外，陶哲轩也曾给出过一个非常简洁漂亮的证明[2]。
这个定理是如何引发哲学界的百家争鸣的呢？
这是因为在政治哲学中，长期存在着“政治的目的是什么”的争论
功利主义（如穆勒、边沁）认为，政治的目的是实现社会总自由的最大化；部分社会契约论者（如诺齐克）认为，政治的目的是最大程度保障每个个体的自由；另有一部分学者（如罗尔斯）[3]认为，政治的目的应当是最大程度地促进公平，资源应该优先被用于改善一个社会中处境最差的社会成员的处境
阿罗不可能定理对上述三种思想流派都产生了影响，其中受冲击最大的之一是罗尔斯
早在1971年，罗尔斯的《正义论》出版时，就有批评者引用阿罗不可能定理，指出不存在这样一个社会偏好排序，可以根据这个排序计算出社会成员的处境排名，因而根本不可能做到“优先改善一个社会中处境最差的社会成员的处境”，因为你根本识别不出谁才是那个“社会中处境最差的社会成员”。
后期的罗尔斯接受了该批评，于1999年重新修订了《正义论》，在新版的《正义论》中，他强调将“识别最差处境社会社会成员”的工作放置于“社会偏好排序”之前，即我们根据任何标准（不一定是追求一个公认的严谨的社会偏好排序）优先遴选出处境最差的人，然后再谈社会偏好排序等其他事
不仅是罗尔斯本人，其他罗尔斯的拥护者也针对这个问题展开了广泛的讨论，其中不乏同样使用数学工具的，例如著名的印度经济学家阿马蒂亚·森（Amartya Sen）
在其1977年的论文[4]中，森放宽了阿罗不可能定理关于“完美”的定义，用社会价值色彩的“个人效用”代替了阿罗的“个人偏好”的概念，并用其来重新定义社会偏好，重新构建了一个新的数学模型，并用该模型证明了罗尔斯提出的优先改善一个社会中处境最差的社会成员的处境”是可行的
数学知识对哲学的影响远远不止我提到的这个例子，其他的例子包括斯坦福大学哲学系教授布莱恩·斯科姆斯（Brian Skyrms）利用控制论中的“李普雅诺夫稳定性理论”，通过求矩阵特征值论述了社会契约的诞生和演化，等等，很值得对哲学感兴趣的数学研究者和对数学感兴趣的哲学研究者一读
参考
- ^ Arrow, K.J., 1951,1963. Social Choice and Individual Values. Wiley, New York.
- ^ https://www.math.ucla.edu/~tao/arrow.pdf
- ^ 某些思想史学家仍将其归入社会契约论者，因为尽管其结论不同，但分析逻辑仍然是以社会契约的诞生为出发点
- ^ Sen Amartya, On Weights and Measures: Informational Constraints in Social Welfare Analysis [J]. Econometrica. October, 1977:1539-1572
闵可夫斯基距离改变了非常多！
1、闵可夫斯基简介
闵可夫斯基(Hermann Minkowski，1864－1909年)，德国数学家，在数论、代数、数学物理和相对论等领域有巨大贡献。他把三维物理空间与时间结合成四维时空（即闵可夫斯基时空）的思想为爱因斯坦的相对论奠定了数学基础。
闵可夫斯基研究的领域是纯数学。他最具独创性的成就是他在1890年开创的“数的几何”。《Geometrie der Zahlen》（数的几何）首次出版于1910年，但是前240页（共256页）在1896年就已出现。
1907年闵可夫斯基出版了《Diophantische Approximationen: Eine Einführung in die Zahlentheorie》（丢番图逼近：数论导论）。
该文章简要介绍了他在数的几何方面的工作及其在丢番图逼近和代数数理论中的应用。
对数的几何的研究导致了对凸体和填充问题的研究，即给定形状的图形可以放置在另一个给定图形中的方法。
对凸体几何研究的副产品就是著名的闵可夫斯基不等式：
2、闵可夫斯基时空
闵可夫斯基空间是狭义相对论中由一个时间维和三个空间维组成的时空，它最早由俄裔德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，1864~1909）表述。
他的平坦空间（即假设没有重力，曲率为零的空间）的概念以及表示为特殊距离量的几何学是与狭义相对论的要求相一致的。闵可夫斯基空间不同于牛顿力学的平坦空间。
爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学时期的数学老师就是闵可夫斯基。
他在爱因斯坦提出狭义相对论之后，于1907年将爱因斯坦与亨德里克·洛仑兹的理论结果重新表述成（3＋1）维的时空，其中光速在各个惯性参考系皆为定值，这样的时空即以其为名，称为闵可夫斯基时空，或称闵可夫斯基空间。
闵可夫斯基时空可说是爱因斯坦所要发展的相对论理论架构的基础。
3、闵可夫斯基距离对常见的评价体系的影响
闵可夫斯基的空间距离公式，深刻的影响到各个方面，我们日常评价谁厉害，谁牛逼之类的都是闵可夫斯基距离的一个直接运用。
比如高考的录取，其评价过程就是闵可夫斯基的一个简要形式。
比如高考录取，就是依据总分方式。分数越高代表越厉害。
其中上面的I代表考核的科目，上述公式就是曼哈顿距离公式。
上面一个评价过程就是闵可夫斯基距离公式的一个具体运用。
上式为闵可夫斯基的通式。
上表是一组原始数据，其中每列代表的是城市土地安全对应的指标。
运用闵可夫斯基的距离概念。得出如下结果。
上面是不同闵可夫斯基距离之间妥协解的情况下，各个城市的土地安全好坏的情况。
其结论并非唯一。但是大体相同，如湘潭在所有的排序中都是最差的。
过去半年我工作的重心是discrete choice theory（选择理论），在管理学、经济学、交通等等学科都起到了非常重要的作用。
这个领域就是在70年代因数学产生了翻天覆地的变化。并且值得称道的是，催生这一改变的数学并不复杂难懂，而可以称得上简洁优雅。 （历史部分可能不是完全准确，但idea应该大概都对，希望大家见谅）。
我们每个人每天都需要做各种各样的选择，比如早上吃面包还是油条、选择什么交通工具，买哪里的房子。同样组织乃至国家也要做各种各样的选择：是否要投资，是否要贷款，战争与和平，等等。
由于选择无处不在，经济学家们也希望能够对选择这一行为背后的机理有一个深刻的认识。
第一步是将问题严谨化。假设我们有一个大集合 。在过去的 个回合中，我们于每个回合 提供给目标人群一个子集 供其选择，并观测到一个结果 。那么，假设现在给定一个新的我们并未见过的选择子集 ，我们能否预测目标人群的选择？
不出意外地，在面对这个问题时经济学家们们第一个想到的是理性人假设。也就是说，我们假定每个人对于每一项物品都赋予了一个效用（utility）值，并且会始终选择对其而言效用最大的那一项。 那么，我们只需要根据以往的观察推测出每项物品的效用值就好了。
但事情并没有这么简单。要注意我们的研究对象并不是一个人，而是一个可能会非常大的目标人群。比如说一个火车站附近的一个小卖部要进货，他不会去在意某一个具体的顾客会选择哪种雪糕---每天来来往往地几十万人呢。他更希望得到的是整体性的的信息，比如“百分之十五的人选择了绿舌头“”百分之二十的人选择的是脆皮甜筒。“
也就是说，给定一个choice set（选项集）， 我们需要得到的是一个概率分布。想想也非常合理，毕竟任何一个群体中都有多样性，不能指望每个人都做一样的选择。
那很显然将每一项赋予一个固定的 utility是行不通的。
这个问题卡了整个领域相当长的时间。直到诺贝尔经济学奖得主mcfadden在1979年灵光一闪。 果然大佬就是大佬。
McFadden 首先给每一个item i 赋予了一个fixed utility（固定项） ，代表了目标人群的同质性。然后妙的地方来了。他又给item i赋予了一个random error term（随机误差项） ，用以涵盖目标人群的多样性以及我们测量中可能出现的种种误差。
这两者结合起来也就是说每一个item的utility 是 ，就不再是一个固定值而是一个随机函数了。
现在根据理性人原则，给定一个choice set ， 我们的目标人群选择 item i 的概率是
.
这就是一个概率了！
接下来McFadden 又假定所有的误差项 都是独立的且符合gumbel分布。 于是我们就可以得到一个比简洁的式子了
.
这就是著名的multinomial logit model。
在算力非常捉急的七八十年代，能有一个这样简洁的式子不亚于天降福音。
这个小领域也进入了高速发展的阶段。
现在这个领域呢，用我们可汗的话说，已经进入了勃勃生机，万物竞发的状态。
相关的应用自然是很多了。
然后大家也在建模方面一直努力寻求着突破。比如说不再去假设error term是独立分布，不只有一个fixed utility，或者压根就摆脱这一套框架，或者我们压根就不承认理性人假设。
也有很多工作试图将cs里的算法、学习理论应用在这一领域里。
相关的论文我估计怎么滴得有几万篇吧。
但是，不管这个领域走了多远，我觉得大家都应该记住，一切的一切，始于McFadden老爷爷搞出的那个简洁美好的multinomial logit。
Markov Chain Monte Carlo (MCMC)!
在统计推断和后面的机器学习领域，MCMC绝对是不得不提的一个经典方法。MCMC 提供了一个强大的采样框架，并可以很好的应对样本维度的增长。传统的Monte Carlo采样方法所需要采集的样本数会随着样本维度的增加呈指数增长，而MCMC只是多项式增长。因而在高维空间采样中，MCMC的应用还是比较广泛的。一个比较经典的例子是通过MCMC来估计空间中从A点到B点的最优路径。
另一方面，MCMC有充足的理论保证同时也足够简单，以Metropolis Hastings为例，你只需要计算出markov chain的平稳分布，再构建一个简单的提议分布，就可以进行MCMC采样了。
对MCMC感兴趣的小伙伴可以移步：
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