为什么测度论要建立在σ-代数上？
想象一下，我们想要测量一条线段的长度、一个平面的面积、或者三维空间中的体积。这些直观的“测量”概念，在集合论的框架下，就是对某些集合（例如线段对应的点集、平面区域、立体图形）赋予一个数值。然而，当我们将目光投向更广阔的集合世界，特别是那些可能“病态”的、非直观的集合时，问题就出现了。
问题出在哪里？
如果我们可以随意地为任何子集赋予一个测量值，很快就会遇到麻烦。最直接的问题是可加性。我们直觉上认为，如果一个集合可以被分解成若干个互不相交的子集，那么它的测量值应该是这些子集测量值的总和。比如，一条线段分成两段，总长度就是两段长度的和。
然而，在无限集合的世界里，事情变得复杂。如果我们允许对所有的子集都进行测量，那么我们可能会遇到这样的情况：
1. “不可测量”的集合： 即使是很基础的集合，比如实数轴上的开区间、闭区间，我们很容易定义它们的长度。但如果我们想定义一个在所有子集上都有意义的“长度”函数，并且满足我们期望的性质（例如可加性、单调性），我们会发现，有一些集合似乎就是无法被“测量”得很好。最经典的例子就是维塔利集（Vitali set）。如果我们可以对维塔利集进行长度测量，并且满足平移不变性和可加性，将会导出矛盾。
2. 集合的“数量”问题： 有些集合虽然非常“小”（比如只有有限个点），但如果允许我们对所有子集都能测量，那么关于这些集合的“大小”就可能出现混乱。
3. 可数可加性 vs. 完全可加性： 我们最希望的“测量”性质是“可数可加性”，即如果一个集合可以分解成 countably many (可数个) 互不相交的子集，那么它的测量值就是这些子集测量值的总和。然而，如果我们允许对所有子集都定义测量，就很难保证这种可数可加性在所有集合上都成立。
$sigma$代数的作用：构建一个“测量友好”的集合框架
$sigma$代数就是在这样的背景下被引入的，它的核心作用是从所有可能的子集（幂集）中，精心挑选出一部分“特别的”集合，我们称之为可测集（measurable sets）。 然后，我们只在这部分可测集上定义测度，并要求测度在这部分集合上满足我们期望的性质。
那么，$sigma$代数究竟有什么样的“魔法”呢？让我们来看看它的定义和它带来的好处：
一个集合族 $mathcal{M}$ 是一个集合 $X$ 的 $sigma$代数，如果它满足以下三个条件：
1. 包含全集和空集： $X in mathcal{M}$ 且 $emptyset in mathcal{M}$。
为什么？ 全集 $X$ 是我们研究的整个空间，它的测量值应该是总的“大小”。空集则是一个最简单的集合，其测量值自然应该是零。这是基础，确保我们的测量有明确的起点和终点。
2. 对补运算封闭： 如果一个集合 $A in mathcal{M}$，那么它的补集 $A^c = X setminus A$ 也必须在 $mathcal{M}$ 中。
为什么？ 这是非常自然的性质。如果我们能够测量一个集合 $A$，那么我们自然也应该能够测量“不属于 $A$ 的部分”，即 $A^c$。它们共同构成了整个空间 $X$。如果 $X$ 是可测的，那么它的补集（本身就是空集）也应该是可测的。同理，如果 $A$ 可测，它的补集也应该是可测的。
3. 对可数并运算封闭： 如果 ${A_i}_{i=1}^infty$ 是 $mathcal{M}$ 中的一个可数集合序列，那么它们的并集 $igcup_{i=1}^infty A_i$ 也必须在 $mathcal{M}$ 中。
为什么？ 这就是 $sigma$代数的“核心魔力”所在。它保证了我们可以在可数多个“好”的集合上进行组合，并且结果仍然是“好”的。
关联到可数可加性： 这个性质直接支撑了我们对测度的核心要求——可数可加性。如果一个集合 $B$ 可以被分解成 countably many (可数个) 互不相交的“好”集合 $A_i$（即 $B = igcup_{i=1}^infty A_i$ 且 $A_i cap A_j = emptyset$ for $i eq j$），并且所有 $A_i$ 都在 $sigma$代数 $mathcal{M}$ 中，那么我们就可以 定义 $B$ 的测度为所有 $A_i$ 测度之和：$mu(B) = sum_{i=1}^infty mu(A_i)$。
为什么不是有限并？ 如果只要求对有限并封闭，我们会遇到问题。比如，我们可能能够测量长度为 1 的区间 $(0, 1]$，也能够测量长度为 1 的区间 $(1, 2]$。那么我们自然希望能够测量它们的并集 $(0, 2]$ 的长度是 2。如果只要求有限并封闭，我们只能保证有限个区间的并集是可测的。但实数轴上的许多重要集合，例如所有有理数的集合，它们是可数的，可以写成可数个单点集的并集。如果这些单点集是可测的（其长度通常为零），那么它们的无限并集（即所有有理数的集合）是否也应该被包含在可测集合的范畴内，并且能够进行测量呢？$sigma$代数正是为此铺平了道路，它允许我们处理这种“无限次”的组合。
$sigma$代数如何“筛选”出可测集合？
$sigma$代数的作用，可以理解为是在“所有”可能的子集（幂集）和我们“想要”的测度之间搭建的一座桥梁。它不是给所有子集都赋上测度，而是选择了一个允许进行可数运算并且保持性质的集合家族，并在该家族上定义测度。
这样一来，我们就可以确保：
基本集合是可测的： 我们可以从一些基本的、直观的可测集开始构造 $sigma$代数（例如，在实数轴上，开区间是可测的）。
可测集的组合仍然是可测的： 通过 $sigma$代数的性质，我们可以保证，如果是一些可测的集合，通过取补集、可数并（以及由此衍生的可数交集）得到的新集合，也仍然是可测的。
测度性质得到保障： 在这个精心构建的可测集家族上定义的测度，自然就满足了可数可加性等核心要求。
举个例子：实数上的 Borel $sigma$代数
在实数轴 $mathbb{R}$ 上，我们直观上想要测量的集合包括开区间、闭区间。
开区间 $(a, b)$ 是可测的。
闭区间 $[a, b]$ 是 $mathbb{R} setminus ((infty, a) cup (b, infty))$ 的补集，而 $(infty, a)$ 和 $(b, infty)$ 又是开区间。由于 $sigma$代数对补集和可数并（这里是两个区间的并集）封闭，所以闭区间也是可测的。
进一步，任何由开区间通过可数次补集和可数并运算得到的集合，都会被包含在 Borel $sigma$代数中。这包括了像单点集 ${x}$ 这样的集合（可以看作 $[x, x]$），以及更复杂的集合，如 Cantor 集等。
总结来说，测度论建立在 $sigma$代数之上，是因为：
1. 避免了测量“不可测量”的集合： 通过限制测度的定义域，我们避免了像维塔利集那样因违反基本测度性质而导致的矛盾。
2. 保证了测度的核心性质： $sigma$代数的结构确保了测度在可数集运算下保持良好，特别是可数可加性，这是任何有意义的“测量”都必须具备的。
3. 构建了数学上一致且强大的框架： 它允许我们严谨地讨论概率、体积、长度等概念，并且在数学分析、概率论、拓扑学等众多领域发挥着至关重要的作用。
如果没有 $sigma$代数，我们很难为无限集合赋予一个一致且有用的“测量”概念，更不用说发展出像勒贝格积分这样强大的积分理论了。$sigma$代数就像是为测度论量身定做的“规则书”，确保了游戏可以在一个健康且有意义的框架内进行。
网友意见
谢邀，这种问题你需要比较类似但是不同的概念。你找拓扑空间比就算是找错对象了。以下是一个长答案，你得耐下性子听。因为要理解一个概念，你往往需要在一个更大的picture下面考察这个概念。
首先，一般来说“最弱”的一个集合族的概念叫semiring（半环）。 它比algebra还弱一点：
画个图，它们的关系是这样的，也就是说 -代数非常好，这就是教科书喜欢用它的原因，很方便，具体的几个原因我后续解释给你听
下面谈论一个概念，叫做charge，你会发现它和measure和接近，而且本质上两者都可以定义在半环上面。
我什么我们最后选了 -algebra? 需要多谈一些关于积分的内容，其实，如果你只是想定义一个“像”黎曼积分那样的东西，你不需要measure，charge+algebra就足够了。 你可以如下面定义的那样定义step函数的积分，这里已经换成了algebra，因为后续用来证明这个积分和具体的简单函数表达无关还是有点意义的。也就是说，如果 的时候，他们得一样。
然后，我们可以定义积分：
是不是和黎曼积分里的达布上和和达布下和很像，然后你可以定义一个函数可积当且仅当 ,这种积分有两个问题，第一它只能定义在有界函数上，第二，这个积分不具备类似单调收敛、控制收敛那种好用的性质。
所以我们需要把charge换成measure，但是不一定需要 -algebra，我们还是只需要semiring，因为本质上，下面这个东西是我们处理各种积分需要的东西。
发现了没有，类似的结果在rudin上也有，但是因为rudin使用了 -algebra，所以条件 是没有必要，因为这个会自动成立。
这个细微的区别导致的结果是，如果你想定义“半环”上的测度的Lebsgue积分，我们需要考虑在一个“半环”上定义测度后会发生什么。 我们可以定义Caratheodory extension（其实outer measure就可以了，这里只讨论measure）。
这里一堆结果，关键是我们可以注意到extension 本身一个定义在 -algebra 上的measure，而且对于任何一个满足 的半环 , 都是 在这个半环上面的唯一延拓。 这个情况下，对于半环上的测度，我们可以定义如下的积分
然后通过一般的方式，这个积分可以推广到无界函数上，而且具备了单调收敛，控制收敛之类非常好用的结果。而且如果原来的测度定义在一个 -代数上， 这个意义上的“可测”函数（本质上是在 下的可测的）和原来意义上的可测函数最多差一个零测度集合。
另一方面，如果你仔细看各种证明思路，我们注意到“单调性质”很重要，这个性质可以保证，半环上的测度连续性中“条件”变得自动满足，也就说 ，而不需要考虑 是否“可测”。
然后，我们可以注意到下面的结果：一个代数是一个monotoen class当且仅当它是一个 -代数。
综合上面的考虑， -代数自然是最好的初学者应该考虑的概念，可以非常自然地过度到后续的积分理论，它本身具有非常棒的性质，这是教材选取它的原因。当然了，如果你学习一些“真正”的测度论，那么什么半环啊， -class, -class也是非常重要的。由于我的个人知识有限，我就谈这么点东西了。 千万别在测度论学得好的人面前说什么“测度论是建立在 -代数上的”，这有点以偏概全了，虽然我个人不会这样斤斤计较。
PS： 我这里只是谈了一种构造积分理论的路线，还有其他路线。
PS: charge在刻画函数空间 的对偶空间方面具有非常好的作用（这其实也是我学习charge唯一的原因了），只是用测度是不足以刻画大部分此类空间的对偶空间的。
这里的 分别表示 中拓扑生成的 -algebra和algebra。
需要注意的是，这些空间都是charge，没有measure，但是在Hausdorff空间上的tight而且finite的 charge就是一个regular measure。也就是说某些情况就是经典的结论。
ps: 上述的内容来自Aliprantis 的“Infinite Dimensional Analysis.“ 这个教材虽然说是给数理经济学”学生写的“泛函分析教材”，但是就内容来说在“泛函分析”这块上非常深入。我见过的大部分数学专业博士都不具备这个教材以上的泛函分析知识。所以下次见到数理经济学的博士生千万别觉得人家的数学知识就比你“低”，他知道的你未必知道，这叫术业有专攻。当然了，这本书也比较“偏门”，就泛函来说，它有些方面非常深入，有些东西完全不涉及（比如泛函中的算子理论）。但是它在 Banach lattices (AL, AM-spaces), Riesz space 这些方面是比较好的入门教材。
首先我们从数学建模的角度来看待概率公理.
考虑概率测度,自然应该首先收集若干事件构成一个集合, 也就是说我们首先要取样本空间 $Omega$ 的若干子集来构成一个集合, 不妨我们将这个集合记为 $mathscr{F}$, 现在我们暂时不管这个集合具有什么结构, 从概率测度的角度来看, 我们首先看看概率应该满足哪些公理或者说假设.
也就是说,我们考虑定义在集合 $mathscr{F}$ 上的函数,
$$
P:mathscr{F} o mathbb{R},A mapsto P(A)
$$
经过仔细分析古典概率模型我们就会发现, 我们应该对 $P$ 作如下的假设.
* 规范性,即 $P(phi)=0$,
* 非负性: 即对于任意的 $A in mathscr{F} $, 应该有 $P(A)geq 0$.
* 规一性: $P(Omega)=1$.
* 可数可加性: 即 $A_n in mathscr{F}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则有
* $$
P(cup_{n=1}^{infty}A_n)=sum_{n=1}^{infty}P(A_n).
$$
现在我们来推敲上面的假设所蕴含的潜在假设, 事实上, 由于规范性和规一性假设, 显然有
$$
phi ,Omega in mathscr{F}
$$
在可数可加性的假设中, 事实上由如下 的潜在的假设:
> 若 $A_n in mathscr{F}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则 $cup_{n=1}^{infty}A_n in mathscr{F}$,
也就说要求 $mathscr{F}$ 对无交并是封闭的.
继续观察可数可加性假设, 我们发现还蕴含着别的潜在假设.
事实上, 由于 $P$ 具有可数可加性, 那么我们取有限个两两不交集合 $A_1,A_2,dots,A_n in mathscr{F}$, 自然我们可以在后面添加无穷多个 $phi$ 构成序列
$$
A_1,A_2,dots,A_n ,phi,phi,dots
$$
那么由可数可加性就有
$$
egin{align}
P(cup_{k=1}^{n}A_k)=P(cup_{k=1}^{infty}A_k)=sum_{k=1}^{n}P(A_k)+sum_{k=n+1}^{infty}P(phi)
end{align}
$$
由于 $P(phi)=0$,这就导致 $P$ 有限可加性, 即若 $A_1,A_2,dots,A_n in mathscr{F}$ 两两不交, 则
$$
P(cup_{k=1}^{n}A_k)=sum_{k=1}^{n}P(A_k)
$$
我们运用这个事实, 任取 $Ain mathscr{F}$, 当然有 $A cup A^c=Omega$, 因此由有限可加性应该有
$$
P(Omega)=P(A)+P(A^c)
$$
这就是说 $A^c$ 应该在 $P$ 的定义域中,也就是在 $mathscr{F}$ 中, 换句话说, $mathscr{F}$ 应该对补运算封闭.
现在综合起来,我们已经发现在概率公理中对 $mathscr{F}$ 要求必须要满足如下性质.
* $phi ,Omega in mathscr{D}$,
* 补运算封闭,即若 $A in mathscr{D}$, 则 $A^c in mathscr{D}$,
* 对可数不交并封闭: 即若 $A_n in mathscr{D}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则 $cup_{n=1}^{infty}A_n in mathscr{D}$,
这不是别的, 这就是鼎鼎大名的 Dykin 类的条件, 也就是说在概率公理中隐含着要求 $mathscr{F}$ 是一个 Dynkin 类的条件.
(我并不清楚Dynkin 当初是怎么提出Dynkin 类这个概念的, 事实上我怀疑他就是从概率公理中提炼出这个概念)
但是 Dynkin 类还不是 $sigma$ 代数,但是其已经非常接近 $sigma$ 代数的要求了.
那么 Dynkin 类与 $sigma$ 代数 还差多远呢, 答案是还差一个有限交封闭条件,也就是说
> 事实上如果我们对 $mathscr{F}$ 要求对交运算封闭, 那么 $mathscr{F}$ 就将构成 $sigma$ 代数.
当然,我们有什么理由拒绝 $mathscr{F}$ 对交运算封闭类, 这也就是说, 如果 $A,B$ 都是事件,我们却不承认 $Acap B$ 是事件, 这显然不自然, 因此我们应该要求 $mathscr{F}$ 对有限交封闭, 也就是说要求概率测度 $P$ 的定义域是一个 $sigma$ 代数是自然事情.
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