如何向常人证明地球是球形的？ 第1页

从拓扑学的角度来考虑或许是个很有意思的问题。

有意思的地方在于，题目中提到有人认为“坐船环游地球一周”即可证明地球表面是个球面（2-sphere），而在flat earth society 所提出的模型（以下简称FET）中，即便“环绕世界一圈，回到起点”也并不能很好地证明“球面说”。事实上，只需要稍微改进一下“环绕地球一圈”这个方法，即可分辨FET与球面模型的区别。

首先想象一下，地球上举办了首届环球马拉松锦标赛（TODO：想个好点儿的例子/*or not*/），比赛路线必须是首尾相接的，像这样：

结果， 没有选手完成比赛，因为赛道太长了。于是，组委会决定逐年缩减赛道长度，直到有人能完成比赛。同时，出于节省成本考虑（就当是这样吧），新赛道是通过贴着地面连续移动旧赛道而形成的。几年下来，马拉松赛道被修成了这样：

对你没看错，因为前些年口碑太差，已经没有人愿意参加比赛了，所以赛道的长度最终归零，赛事委员会 运 营 爆 破。

那么现在问题来了，如果赛委会转而信仰FET，运营爆破可不可以避免呢？首先我们来试图理解一下，从拓扑学的角度来看，FET到底说了什么。就笔者在FES论坛上的观察来看，其信众自身也没有对“平面地球的边界是什么样的”形成统一的意见。在此举两个我看到的说法为例。

首先是吃豆人说，即“从屏幕底端走进去便会从屏幕顶端走出来”。当然，吃豆人的屏幕一般是方形的，而FET模型是个圆盘，这该怎么办？没事捏一捏就好了：

其中 代表FET圆盘边界上的两条线段。至于为什么只用两条就够了，因为对于线段 上任意一点 ，进入 的人都会出现在与之“虫洞相连”的 点。由此，上下两条边界线段可以视为同一条（注意方向），左右边界同理。接下来我们把圆盘变方，使线段 分别映射到 ，同时保留他们之间的“虫洞关系”。不要问我为什么能这么做，你大概不会想听。

接下来，我们可以把方形的上下，左右两条边对应粘好：

于是我们看到了更加直观的吃豆人世界：一个甜甜圈的外表面！回到马拉松组委会的运营问题，我们可以看到，如果最开始的赛道是 或者他们之间的任意组合（e.g. 跑2圈 再跑-1圈 ）的话，无论沿着地球表面（禁止挖坑！）连续挪动赛道多少次，赛道长度都不可能变成零。世界线由此发生了改变，组委会的赛道永不trivial！后人用一句话总结了这段历史：

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下面再来看第二种FET的说法，毕竟之前的吃豆人说看上去有点不自然不神赋：“边界上的这四个（或者一个）端点是怎么选出来的？有什么说法么？”为了避免他们的教义在未来产生分歧，我挑选了一个更加自然的版本：

如上图所示，若走入FET圆盘边界任意一点，便会从其与北极点（圆心）的对称点走出。需要注意的是，当你只有一只右脚跨入地球边界时，你将会暂时拥有两只左脚。（不是我说，这样还能跑马拉松么？）为了直观考虑，现在将这个圆盘视作与之同胚的半球面，马拉松组委会可以设计这样一条赛道：

其中 关于球心对称（注意这里的球心并不在地表，地表是个上半球面）。在这条世界线中，我们的赛道是否会消失呢？一个 直观的想法是“会消失”，因为我们可以这样逐渐重修赛道：

即：每次都将 拉近，直至重合，从而脱离边界，慢慢缩为一点。细心的读者看到这里可能已经要打我了，很好，事实上这样的修法是行不通的。请看下图：

当 点顺时针（从上往下看的话）移动至 时，其对称点 同时也会沿顺时针方向移动至 。也就是说，无论如何拖动 （ ），它都会和赛道的另一端隔着一整个地球，我们的马拉松赛事又一次避免了消失的命运！古人有诗为证：

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综上，用低科技向常人证明地球表面是个球面而非什么FET的方法就是：办几场马拉松

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06/19/2018更新：活过了期末( ´ ▽ ` )ﾉ，来试着对评论区的常见疑问做一些补充：

1. 我写答案时对“低科技”和“常人”的理解可能确实出现了偏差... 我脑海中的低科技是：人类不用提高生产力就可以达到的科技水平。比如代数拓扑就是低科技，因为山顶洞人拿着树枝在岩壁上也可能发展出严谨的数学。而航空航天就绝对是高科技了，毕竟不经历多次工业/产业革命是上不了天的。然后说到常人，我想的实际上是：不需要具备任何关于这个宇宙的知识的人。比如你可以不知道重力是什么或者光是如何传播的，但依旧（hopefully）看懂这个答案。
2. 这篇答案的完整逻辑是这样的：如果地球是球面，则任意马拉松赛道都可以缩至一点；而对于另外两种地球模型，存在无法缩为一点的赛程。其实在甜甜圈和射影圆盘上是存在可以收缩的赛道的，毕竟任何群都有个identity element. 那如此说来，如果我们想要证否FET，岂不是需要遍历所有赛道并验证其可收缩性？其实并不用这么麻烦，因为在上述例子中，永不停办的马拉松赛道是可以有意构造出来的。比如在甜甜圈上，你可以让赛道穿且仅穿过 边界一次，从而得到理论上不可收缩的赛道。那么如果这样一条赛道最终还是消失了，我们就可以证明地球不是个甜甜圈（so sad）。
3. 这篇答案事实上略有偏题：我着重介绍了球面模型与FET的分辨方法（i.e. 其基本群不相等），但若是想证明地球表面确实同胚于二维球面，还需要一些不那么直观的证明过程，田某表达能力有限所以就 鸽啦_(:з」∠)_
4. 顺便提一下这个证明需要用到的假设：一、地表的拓扑是其作为三维欧式空间（with standard topology）的子空间，所诱导出的拓扑（i.e. 我们在地表上依据某种规则画了一堆圈圈）；二、地球表面是个无边界的二维流形（i.e. 你站在任意一点，都可以找到一个包含你的圈圈，并且该圈内的地表很像是个光滑的圆盘）；三、地表是紧的（i.e. 对于任意一堆覆盖整个地表的圈圈，你都能从中找到有限个圈，并使它们依然覆盖整个地表）；四、地表是路径联通的（i.e. 任意两个地方都可以用“赛道”相连）。

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扩展阅读：环面与射影圆盘基本群的代数结构

上文提到了甜甜圈的基本群是 ，那么基本群是什么呢？不不不我并不想讲这个... 我们可以试着用一些直观的方法，绕过基本群或者群的定义，来感受一下代数结构和拓扑空间的对应关系。

想象一下，马拉松组委会让我们交一份报告，把甜甜圈上所有不可收缩为一点的赛道全部写下来（若一条赛道可以通过逐渐移动的方式变成另一条，则这两条赛道算作同一条）。emmm... 这要如何下手呀？别急，我们可以一步一步地来。首先， 肯定是一条， 也可以。好像先跑一圈 再跑一圈 也是可以的，我们就把这样的赛道记作 吧。想来，好像 的所有组合都可以，比如让我随便写一条出来： ，这样的话，似乎所有由 这两个字母组成的有限长度的字符串都是可以的？但是这样会不会有重复呢？现在想象一下如下的赛道移动：

我们可以看到，经过上述的移动，赛道 变成了赛道 ！也就是说，对于任何 组成的字符串，我们都可以交换 的顺序从而简化表达。比如之前提到的 就可以简化为 。由此我们发现，我们可以通过两个整数( say )来表达任何赛道（）。于是我们最终上交的报告便是： 。当然还要记着告诉组委会， 这个元素对应着会消失的赛道，千万不要选。

下面来考虑射影圆盘地球。我们的报告在这个位面会变成什么样呢？

我们知道赛道 是不可缩为一点的。于是... 我们是不是可以重复 很多次来得到不同的赛道呢？现在想象一下我们跑了两遍 ，这两次分别用 来表示。现在考虑下面的移动方法：

可以看到， 是可以缩成一个点的。事实上，这个空间里的赛道只有两种：越过边界奇数次的赛道和越过边界偶数次的赛道。于是我们的报告就可以是： ，其中 对应着所有可以缩为一点的赛道。

细心的读者一定已经发现了，这两份报告正是环面和射影圆盘的基本群( •̀ .̫ •́ )✧

参考教材：Algebraic Topology by Allen Hatcher

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  han-di-63 网友的相关建议: 
      

这是一个很有意思的问题，我想到了一个经典实验“傅科摆”。

这张图中的设备便是巴黎先贤祠拱顶下的“傅科摆”，是人类第一次用精准的实验，证明了地球存在自转。因为在做这个实验的时候，人类已经意识到了地球是圆的，但即使不知道，这个实验也能说明一些问题。

这是维基百科“傅科摆”词条下的一张示意图，绿色部分为钟摆摆面在地面的投影。当初始晃动钟摆后，摆面会相对于地面顺时针转动。

摆面的转动速度极其细微，而单摆又很难长时间持续摆动，所以生活中不易观测。法国人傅科是以67米长的钢索悬挂着一颗28千克重的铅锤，才完成了这个实验，成功观测到了单摆摆动平面以每小时顺时针方向11°，以32.7小时环绕一圈。

单摆的摆动平面之所以会发生转动，来源便是科里奥利力，简称科氏力。虽然名为“力”，但实际不存在，跟离心力一样是一种假象力，在中学地理和大学物理中都有介绍。

下图来自维基百科“科里奥利力”词条，可以直观解释科氏力。图中圆盘相对于参考系旋转，而黑色质点相对于参考系直线运动，所以黑色质点相对于圆盘的轨迹币便成为了一条曲线。好像有一个外力促使黑色质点的轨迹发生偏移，所以称这个“力”为科里奥利力。

由于地球自转，所以任何在水平方向有速度的物体都会受到科里奥利力。在我印象中，地理必修内容就介绍过科里奥利力对南北半球气旋方向的影响，此外也会导致南北半球河道两侧的冲刷程度不同。

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用大学物理的知识，在牛顿力学的基础上，可以进一步推导出科里奥利力的公式：

其中 和 分别代表质点的质量和运动速度， 代表旋转体系的角速度。补充下，这个公式跟地球形状无关，是由牛顿力学推导得出。

而通过实验观测，可以得出傅科摆摆面转动速度是均匀的，其周期满足：

其中 为维度，例如在北纬30度的地方，傅科摆周期为2天。因为这里使用的纬度，相当于默认了地球是圆的。所以假定我们不知道地球是圆的，那么可以收集不同地理位置的数据，可以测得越靠近赤道，傅科摆周期越长。

再将科氏力公式和傅科摆数据相结合，便能推导出地球是圆的。

接下来我们讨论，如果地球不是球形，而是个平面，那么傅科摆会出现什么样的结果。

场景1：假如地面存在一个轴心，转轴垂直于地面，也就是整个大地沿着轴心转动，那么傅科摆的运动周期跟所处位置无关，永远等于地面的自转周期，而摆面的转动方向取决于自转方向。那么如果两地傅科摆周期不同，即能否定该场景。如果对方承认地球自转周期是24小时，那么一个地方的傅科摆数据就足以否定这个场景。

场景2：假如地面存在一个轴心，转轴平行于地面。这个场景比较诡异，相当于翻天覆地。见下图，请大家把这个圆当作一个平面，而不是一个球。那么角动量方向如图所示，这个时候，水平运动物体所受科氏力的方向永远垂直地面，某些运动角度时科氏力为0。在这一场景中，傅科摆的摆面不会转动。

而其他任何旋转方式，其观测结果都将是各地傅科摆周期相同，等于地球周期。

换句话说，如果地球是个平面，无论它怎么自转，都跟傅科摆的结果对应不上。

综上，我觉得傅科摆实验就可以说明地球是球形的，而且很多科技馆和天文馆都有傅科摆，比如北京天文馆，可以去看一看。这满足题目“从零开始”的要求，因为证明牛顿三定律的实验和傅科摆实验都不复杂。

我知道这个证明并不容易，科氏力的推导需要微积分。但这是我能想到的唯一一个不需要借助现代科技的方法（观测不同地太阳角度，需要电话这种同步沟通工具。获得地球照片需要卫星。）

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如分析有问题，敬请指出。

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  quzhibei 网友的相关建议: 
      

反对所有高票回答， @刘尚 和 @Mandelbrot 的回答不仅无法证明地球是圆的（球），甚至连地球有巨大弧形结构都无法证明。事实上，他们所提出的证明几乎不具有任何排他性，任何一个有边界（无论边界是弧形的或者是直的）的简单地球模型都可以符合他们的证明。他们声称他们的方法可以证明地球是圆的，甚至还可以估算地球半径，都是建立在已经知道地球是球形的基础之上的，是陷入了现代人对地球形状已早有定论的思维误区。

刘尚同学的回答提到了在海边拍摄日落时，发现水面上太阳的倒影比太阳本体要小。答主提供了一个基于地球是球体的解释并给出了光路图。然而这并不能证明地球是圆的，如下图所示的有界平面地球模型仍然可以再现答主提供的光路图。

在我的光路图中，两条实线仍然表示太阳上边缘通过直射和反射进入观察者（小丑）眼睛的光路，虚线仍然表示眼睛所见的海平面方向。如果太阳半径，小丑和海平面距离，小丑站立地点高度满足一定关系，倒影像的张角仍然可以小于太阳本身的张角。

至于我画的海平面为啥是垂直的，这在诸多神话故事，幻想小说的世界观里面都有类似的世界观。比如过了海平面就是一个巨大的瀑布飞流直下涌向世界的另一侧或者宇宙空间，便在骑桶人（这里应该 @李棠溪 ）的奇幻小说《归墟》和电影《加勒比海盗》里出现过类似设定。或者整个地球不过是放在一个巨大的透明鱼缸里面，大海的尽头是鱼缸的透明玻璃，而鱼缸放在上帝的桌上。

而Mandelbrot同学的证明也有类似问题，任何一个有边界的地球模型，包括天圆地方，陆地是如木头一样漂浮在海上、而太阳从海里钻出落下……都可以有不同高度位置日落时间不同的观测结果。例如下图的模型：

个人认为，向没有地球观念的常人解释地球是圆的（球），最简便而又精确的方法便是利用“时差”。让他感受下，同样是北京时间，上海的日出比同一天的成都早一个小时又十分钟。而奇怪的是，北京到广州的距离也差不多同样远，日出时间却只相差十分钟（以春分日为准）。你从北京上午十一点钟上飞机，经过十二小时的飞行你以为你下飞机的时候应该是深夜十一点，结果你却发现目的地西雅图迎接你的是早上不到八点钟的太阳……

见多了时差，就可以轻易理解，能够解释这些的最简单模型就是——地球真的是个球呀！

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  wang-kui-yuan-33 网友的相关建议: 
      

如何向普通人证明圆周率是3.1415926？

如何向普通人证明中国领陆的面积是960万平方公里？

如何向普通人证明阿波罗登月是真事？

你为何要证明？随便拿个地球仪就知道了。随便看一看谷歌地图就知道了。了解一下“欲穷千里目 更上一层楼”就知道了。

但是就是有人不信，别给他证明了。但凡是普通人都知道地球是圆的，偏要说“我没亲眼看到我就不信！”这种人你怎么证明他也不信。

很多复杂的观点，是由基础理论、定律来证明的。但是要证明一个基础理论，有时候明明很简单，就是有人不信。

1+1=2，怎么证明？别证明了，2这个数字的定义就是“比1大1的数字”。

记住，你永远战胜不了一个纯sb，因为他会将你的智商拉低到和他一样低，然后利用他丰富的sb经验战胜你。

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  jiehou1993 网友的相关建议: 
      

直接上高清无码无PS大图不就完事了。还不相信的话，在Google地图里放大，把他随地大小便的照片找出来给他看。

实践是检验理论的唯一标准。

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  liu-shang-53-39 网友的相关建议: 
      

泻药。

同等努力程度的人，用天赋拉开距离。

同等天赋的人，用努力程度拉开距离。

所以题目里这句话，对也不对。

说对，

因为宏观到世界上，努力是人人都可以达到，而天赋却不是人人都有。天赋比努力稀有。

说不对，

因为微观到个体上，有天赋的人之间也有竞争，放弃努力，把一手好牌打烂的人也有。

处理这个事实，我喜欢的态度是：

尽人事，听天命。

这句话的意思不是让人听天由命。

因为尽人事是听天命的前提。

尽人事，是在微观上，尽自己最大的努力，让今天的自己比昨天的好。

听天命，是在宏观上，承认人与人之间差距，不要拿差距过高的人对标，学会和世界和解。

说人话就是：

多磕自己，少跟别人比。

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