如何形象地理解纳维-斯托克斯方程？ 第1页

Navier Stokes公式说难挺难，难在其中的张量和向量变换对数学基础有一定的要求；但是它说简单其实也很简单，抛开具体的数学推演，那么它只说了两件事：一件是牛顿第二定律，另一件是坐标变换。

我们先来说一说坐标变换。

流体力学的对象是一个在空间中连续分布、在时间中不断变化的场。这个场的某个性质（例如温度、速度等）可以表示为：

也就是说，在任何一个瞬间，空间的一片区域中这个场的性质在各点的数值。

那么，对这个场的性质描述，就有两个不同的视角。一个叫做control volume，一个叫做control mass。前者表示我们跟定流场中的某一个特定的质点，随着它来观察流场的性质；而后者表示我们在空间中划定一个特定位置，然后看该位置的性质。

例如说一个车站，我们当然可以观察这个车站中的某些性质（我们选取车站这个固定的位置建立坐标系），例如说人口密度。这个车站就是一个control volume。车站中的人都是在不停变化的，但是在任何一个时刻，我们都可以观察到车站中人数是多少 - 它随着时间在变化。

如果说，我们不考虑这个车站，而只跟踪某个人（我们跟踪这个人以他建立坐标系），例如说，民警在视频中发现了一个疑似通缉犯，于是民警就集中观察这个人的行踪。在任何一个时刻，我们都可以观察到这个人移动到不同的地方 - 当然也可能包括车站，民警就会发现这个人附近的人口密度 - 当然，这被观察到的个人口密度也在随着时间变化。

很显然，这两种视角观察到的两种人口密度的时间函数是不同的。它们之间就存在着坐标变换的关系。

按照control mass的视角，其好处就是，因为我们固定了一个特定的微团 - 这是一个封闭系统，我们就可以很容易地对它列牛顿方程，从而得到以其视角下各种运动性质。但是，事实上我们更关心的不是某个特定微团的运动，而是整个流场在空间中的分布，也就是control volume的视角 - 然而这个视角中，我们关注的物质是在不停变化的 -这是一个开放系统，我们很难对它列方程进行计算。所以流体力学中的一个常规套路就是，用control mass建立运动方程，然后用坐标变换把计算结果变换到control volume中。

我们可以来考虑某些极端情况。首先，我们跟踪某一个静止不动的质点。也就是说，这个质点观察到的性质，其实就是空间中固定位置的性质。这种性质的变化，也就是该性质在固定位置随时间的变化，也就是说是对时间的偏导数：

然后，我们考虑一个运动质点在静态场中的情况。注意这里的静态场并不是说流场中的质点不运动，而是指流场的性质在空间中分布，但是这种分布不随时间发生变化。那么，随着这个质点在流场中的运动，它到达不同的地点，就会发现该地点的性质，因而就会发现这种性质随时间的变化。这种变化，不是固定位置上的某性质时间的变化，而是质点在不同时间到达不同位置时看到的不同性质。很显然，这个变化取决于流场空间分布是否均匀（该性质的分布梯度）、以及质点本身的运动速度：

总而言之，在任意流场中，在跟踪某个特定质点下，某性质的变化（我们把它记做 ）就来自两个贡献：一个是流场本身随时间的变化，另一个是质点在一个有空间分布的流场中的运动。也就是说（这里不做数学推导）：

那么现在我们可以来看看牛顿第二定律的事情了：

很显然，应用牛顿第二定律应该是对应着某个特定的质点的（事实上是某个微团），也就是control mass视角。根据牛顿第二定律：

这里的f指的是质点的受力。质点一般会受到两类力的作用，一个是流场中的应力（包括压力和粘滞力），一个是体积力（例如重力）：

其中 是应力张量，g是重力加速度。当我们把应力张量分解成两个部分，一个是法向的压力，一个是切向的粘滞力：

就有：

然后，我们应用坐标变换：

于是我们就有了NS方程。

当然，我们也可以不用牛顿第二定律，而是采用动量传递的角度来看这个方程，也就是动量连续性方程。这样我们就可以直接用control volume来列方程：

某区域的动量的累积量=进出该区域的动量流+该区域受力

也即是：

经过简单的数学变换：

又根据质量连续性方程（质量守恒）我们知道

所以我们最终就得到了：

这和上面是同样的结果。

我们可以看到，第二种方法并不涉及到坐标变换，所以理解上可能更容易一些。